平行四邊形例題

1、1. 如圖，E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上的兩點，且BE/ DF ,求證：BF=DE .證明：四邊形ABCD是平行四邊形, AD=CB , AD / CB,證明：連接AC又 BEDF ,/ BEC= / DFA在厶 CE和 AFDK/ BCE= / DAF，/ BEC= / DFBC=DA CEB AFD BE=DF故BFED為平行四邊形. BF=DE .2. 在四邊形 ABCD中，E、F、G、H分別是 AB、BC、CD、DA的中點，順次連接 EF、FG、GH、HE。請判斷四邊形 EFGH的形狀，并給予證明；/ E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點 HG/ AC EF

2、 / AC HG/ EFX又 HG= EF=?LJaC,四邊形efgh是平行四邊形;3. 求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.同理得DF / AB,四邊形AEDF是平行四邊形, AD與EF互相平分.Z4. 如圖.在ABC BC AC,點 D 在 BC 上，且 DC=AC ,點F,點E是AB的中點，連接EF.(1 )求證：EF/ BC ;(2 )若四邊形BDFE的面積為6，求 AB的面積.解:(1 ) DC=AC,/ AC的平分線 CF 交 AD 于 F,F為AD的中點，點E是AB的中點， EF ABD勺中位線， EIF BC;(2 )T E為 AB啲中位線， EF=?BD , E

3、F/ BD , AEF ABD,/S aef Sa ab=1 : 4,Sa aef S 四邊形 bdef=1 : 3,/四邊形BDFE的面積為6, Sa ae=2 , Sa abd=S ae+S 四邊形 bdef=2+6=8.5如圖，矩形 ABCD 中，AB=8 , AD=10.(1 )求矩形ABCD的周長；(2 ) E是CD上的點，將A沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處 求DE的長； 點P是線段CB延長線上的點，連接 卩人，若厶 PAF等腰三角形，求 PB的長(3 ) M是AD上的動點，在 DC上存在點 N,使厶 MDN沿折痕MN 折疊，點D落在BC邊上點T處，求線段CT長度的最大值與

4、最小值之和。(2)四邊形ABCD是矩形,由折疊對稱性： AF=AD=10 , FE=DE.在 Rt AB中, BF=6. FC=4.在 Rt EC中,42+ ( 8-DE ) 2=EF2，解得 DE=5.分三種情形討論：若 AP=AF , AB 丄 PF , PB=BF=6.若 PF=AF，貝U PB+6=10，解得 PB=4.7若 AP=PF，在 Rt AP中，AP2=PB2+AB 2，解得 PB=.7綜合得PB=6或4或.(3)當(dāng)點N與C重合時，AT取最大值是8 ,當(dāng)點M與A重合時，AT取最小值為4 .所以線段AT長度的最大值與最小值之和為：12 .6邊長為2的正方形 ABCD的兩頂點A、

5、C分別在正方形 EFGH的兩邊DE、DG上(如圖 1)，現(xiàn)將正方形 ABCD繞D點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點第一次落在DF上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中， AB邊交DF于點M , BC邊交DG于點N.（1 ）求邊DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（2 ）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN和AC平行時（如圖2），求正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；（3 ）如圖3，設(shè) MB的周長為p，在旋轉(zhuǎn)正方形 ABCD的過程中，p值是否有變化？請證明你的結(jié)論（1 ）將正方形ABCD繞D點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點第一次落在 DF上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過 程中，DA旋轉(zhuǎn)了竺，從而根據(jù)扇形面積公式可求DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積 .（2 ）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN

6、和AC平行時，根據(jù)平行的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)可求 正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為一一一.（3 ）延長BA交DE軸于H點，通過證明一一-和 -可得結(jié)論.（1 ）VA點第一次落在 DF上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)了竺.45x2: 7E二 DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為一:二 -.（2） mn/ acMNSACD乂 b wq 珀.又.DADC,上 DCN4DAIDCW I5 ZADM = -(90 I在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過程中，12值無變化.7.某公園有一塊三角形的空地ABC (如圖)，為了美化公園，公園管理處計劃栽種四種名貴花草，要求將空地戈UAB成形狀完全相同，面積相等的四塊”為了解決這一問題，管理

7、員張師傅準(zhǔn)備了一張三角形的紙片，描出各邊的中點，然后將三角形ABC的各頂點疊到其對邊的中點上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)折疊后所得到的三角形彼此完全重合.你能說明這種設(shè)計的正確性嗎？45) = 22.5c-旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，正方形 ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 -mu (3)不變化，證明如下:如圖， 延長BA交DE軸于H點，貝UL-WE 二 45： - ZADM，匚 CDX=90匚的-ZADM 二 45: - ZADM,：-.II又.D4=DC一4D丄人-I -.DH 二 DNAH 二又 VmE 二BK 二 451 DM=DM DIH 纟 ADMN二 AM - AH=也亠 CX_.p 二 +BN+BM 二心CX+BN+BM 二 AB+BC 二 4這種設(shè)計是正確的.證明如下： D、E、F是三邊中點， EIF BC , DE / AB , DF / AC，且 EF=BD=CD= ? BC/ E/ BC/ AEF= / C,Z DEF= / EDC,Z BDF= / EFD ,