第九章二重積分(共9頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上微積分教案章節(jié)次數(shù)第39講 第九章 9.1 二重積分的概念與性質教學目的要求1. 理解二重積分的概念，熟悉二重積分的幾何意義。2. 了解二重積分的性質，知道二重積分中值定理。主要內(nèi)容二重積分的概念、定義、幾何意義二重積分的性質重點難點二重積分的性質，知道二重積分中值定理。教學方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習作業(yè)：368頁 習題9-1：1、2、3、備注9.1 二重積分的概念與性質教學目的與要求：理解二重積分的概念，熟悉二重積分的幾何意義；了解二重積分的性質，知道二重積分中值定理。教學重點（難點）：二重積分的性質，知道二重積分中值定理。一、二重積分的概念1、

2、曲頂柱體的體積設有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側面是以的邊界曲線為準線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面(在上連續(xù))且,這種立體稱為曲頂柱體。曲頂柱體的體積可以這樣來計算:用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個小區(qū)域 ,以這些小區(qū)域的邊界曲線為準線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成個小曲頂柱體 。（假設所對應的小曲頂柱體為,這里既代表第個小區(qū)域,又表示它的面積值,既代表第個小曲頂柱體,又代表它的體積值。）從而。由于連續(xù),對于同一個小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大。因此,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是。 整個曲頂柱體的體積近似值為 。為得到的精確值,只需讓這個小區(qū)

3、域越來越小,即讓每個小區(qū)域向某點收縮。為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設個小區(qū)域直徑中的最大者為, 則 2、二重積分的定義定義 設是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù), 將區(qū)域任意分成個小閉區(qū)域：, 其中: 既表示第個小閉區(qū)域, 也表示它的面積。在每個上任取一點，作乘積，并作和。如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分，記作，即其中: 叫做被積函數(shù)；叫做被積表達式；叫做面積元素；與叫做積分變量；叫做積分區(qū)域；叫做積分和。若在閉區(qū)域上連續(xù), 則在上的二

4、重積分存在。由于二重積分的定義中對區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標軸的直線來劃分區(qū)域,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形,因此,可以將記作 (并稱為直角坐標系下的面積元素),二重積分也可表示成為 。3、二重積分的幾何意義若,二重積分表示以為頂,以為底的曲頂柱體的體積。如果是負的，柱體就在面的下方，二重積分的絕對值仍等于柱體的體積，但二重積分的值是負的。如果在的若干部分區(qū)域上是正的，而在其他的部分區(qū)域上是負的，我們可以把面上方的柱體體積取成正，下方的柱體體積取成負，則在上的二重積分就等于這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和。二、二重積分的性質1、線性性：其中:是常數(shù)

5、。2、對區(qū)域的可加性：若區(qū)域分為兩個部分區(qū)域與,則3、若在上, ,為區(qū)域的面積,則： 幾何意義: 高為的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。4、若在上,則有不等式：特別地,由于，有：5、估值不等式設與分別是在閉區(qū)域上最大值和最小值, 是的面積,則6、二重積分的中值定理：設函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù), 是的面積,則在上至少存在一點,使得 例1 估計二重積分 的值, 是圓域。解: 求被積函數(shù) f(x,y)=x2+4y2+9在區(qū)域上的最值：,于是有例2 比較積分與的大小, 其中D是三角形閉區(qū)域, 三頂點各為(1,0),(1,1),(2,0)。解：三角形斜邊方程，在D內(nèi)有，故，于是，因此 。微積分教案章節(jié)

6、次數(shù)第40講 第九章 9.2二重積分的計算教學目的要求1. 熟練掌握二重積分在直角坐標系下的計算方法。2. 能利用極坐標系計算某些特殊的二重積分。主要內(nèi)容二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）廣義二重積分簡介重點難點二重積分的計算。教學方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習作業(yè)：383頁 習題9-2：1、2、4、5、9、11、12、13（1）（3），14備注9.2 二重積分的計算教學目的與要求：熟練掌握二重積分在直角坐標系下的計算方法。 能利用極坐標系計算某些特殊的二重積分。教學重點（難點）：二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）。二重積分的計算是通過兩個定積分的計算(即二次積分)來實

7、現(xiàn)的。一、在直角坐標下二重積分的計算如果積分區(qū)域D為X型：，其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)。的值等于以D為底，以曲面為頂?shù)那斨w的體積。應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得： 如果積分區(qū)域D為Y型：，其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)。 。X型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.如果積分區(qū)域既不是X型區(qū)域，又不是Y型區(qū)域，則可把D分成幾部分，使每個部分是X型區(qū)域或是Y型區(qū)域，每部分上的二重積分求得后，根據(jù)二重積分對于積分區(qū)域具有可加性，它們的和就是在D上的二重積分。例1 改變積分 的次序.解

8、：原式.例2 改變積分的次序.解：原式.例3 計算, 其中是由拋物線及直線所圍成的區(qū)域。解：(法一) , (法二) , 例4 求，其中D是以為頂點的三角形.解：無法用初等函數(shù)表示， 積分時必須考慮次序。注意：在化二重積分為二次積分時，為了計算簡便，需要選擇恰當?shù)亩畏e分的次序。這時，即要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性。例5 求由曲面及所圍成的立體的體積。解: 立體在面的投影區(qū)域為： 二、在極坐標系下二重積分的計算 若，其中函數(shù), 在上連續(xù)，則 若，極點O在區(qū)域D的邊界曲線上，則若，極點O在區(qū)域D的內(nèi)部，則 例6 將下列區(qū)域用極坐標變量表示1、解：2、解：例7 計算，其中D 是由中心在原點，半徑為的圓周所圍成的閉區(qū)域.解：在級坐標系下，注意：本題如果用直角坐標計算，由于積分不能用初等函數(shù)表示，所以算不出來。我們可以利用上面的結果來計算工程上常用的廣義積分 。設 ， ，顯然， 而被積函數(shù)滿足 ,故 再利用例7的結果有