第13講第一類曲線積分

1、第13講第一類曲線積分（第十章第一節(jié)）在第九章中，我們已經(jīng)把枳分的積分域從數(shù)軸上的區(qū)間推廣到了平面上的區(qū)域和空間 中的區(qū)域.本章還將進(jìn)一步把積分的積分域推廣到平而和空間中的一段曲線或一片曲面的 情形.相應(yīng)地稱為曲線積分與曲而積分，它是多元函數(shù)積分學(xué)的又一重要內(nèi)容.本章將介紹 曲線積分與曲而積分的概念及其計(jì)算方法.以及溝通上述幾類積分內(nèi)在聯(lián)系的幾個(gè)重要公 式：格林公式、奧-髙公式和斯托克斯公式.第一節(jié)第一類曲線積分本節(jié)主要內(nèi)容1引例曲線形構(gòu)件的質(zhì)量2第一類曲線積分的概念3第一類曲線積分的性質(zhì)4第一類曲線積分的物理意義5第一類曲線積分的訃算講解提綱:一、引例設(shè)有一曲線形構(gòu)件所占的位置是xOy而內(nèi)的

2、一段曲線厶，它的質(zhì)量分布不均 勻,英線密度為（x,y）,試求該構(gòu)件的質(zhì)量.二、第一類曲線積分的定義與性質(zhì)定義：設(shè)L為xOy而內(nèi)的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)/（x,y）在L上有界.在L上任意插入一點(diǎn)列MiM，,把L分成71個(gè)小弧段.設(shè)第i個(gè)小弧段的長度為3.又©，）為第i個(gè)小弧段上任意取定的點(diǎn).作乘積/©"）丄（21,2,切）,并作和 如果當(dāng)各小弧段長度的最大值兄TO時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為/（x,y）函數(shù)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作卩J/（x，刃心=Hni 工 /©，7 ）U /-I其中叫做被積函數(shù)，l叫做積分弧段性質(zhì)1設(shè)0

3、為常數(shù).則性質(zhì)2設(shè)厶由厶和厶2兩段光滑曲線組成（記為厶=厶+厶2），則L- y)ds = £ f(x.y)ds + J f(x.y)ds.注：若曲線厶可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我們就稱厶是分段光滑的，在 以后的討論中總假定厶是光滑的或分段光滑的.性質(zhì) 3 設(shè)在厶有 /(x, y) < g(x, y),貝lj J f(x, yls 寸 g(x, ylsLL性質(zhì)4 (中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在光滑曲線厶上連續(xù)，則在厶上必存在一點(diǎn)(§,“)， 使< 其中是曲線厶的長度.三、第-類曲線積分的計(jì)算：臨/(a-, y)ds = fx(tly(t)x,2(t)

4、+ y,2(t)dt(1.1)如果曲線厶的方程為y = y(xa<x<b ,貝ljJ /(x, y)$ = f fx, y(x)yj + y'2(x)dx(1.2)如果曲線厶的方程為A=x(y),c<y<J,則(f(x,y)ds =/x(yhy +x,2(y)dy(1.3)如果曲線厶的方程為r = r(6).a<6<j3 ,貝lj(f (x, y)$ = f /(rcos 8、rsin&'(&) +嚴(yán)(&)d8(1.4)例題選講：第一類曲線積分的計(jì)算例1計(jì)算Jl"山，其中厶是拋物線y =卩上點(diǎn)0(0,0)與點(diǎn)

5、B(Ll)之間的一段弧.解：由于L由方程y = x2 (0<x<l)給出，因此J L yy(ls = J* yxy+(x2y2 dx = Xy + 4x2dx-n 1=丄(1 + 4/)% =丄(5、你-1)L12Jo 12例2汁算半徑為R.中心角為2a的圓弧厶關(guān)于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量/ (設(shè)線密度Q = l).解：取以x軸為對稱軸，則/ = J yds利用厶的參數(shù)方程于是/ = y 2血=J： R 2 s in 2 0j(Rsin&)2+(Rcos&)2 &例3計(jì)算曲線積分L(“+y+z')s,其中F為螺旋線x = “cos/, y = "Sin/, z = kt h 相應(yīng)于/從0到2龍的一段弧.解： (x2 + y2 +z2)ds= £7(i/2 +k2t2 )a2 +k2dt課堂練習(xí)1. 計(jì)算曲線積分/=(疋+b)ds,貝中厶是中心在(R0)、半徑為/?的上半圓周.2. 計(jì)算其中厶為雙