第11講空間中垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)

1、空間中垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)I與平面a內(nèi)的任意二條直線(xiàn)都垂直，就說(shuō)直線(xiàn)I丄a.直線(xiàn)I叫作平面a的垂線(xiàn)，平面a叫作直線(xiàn)I 與I的.基礎(chǔ)知識(shí)整合1. 直線(xiàn)與平面存垂直(1 )定義：如果直線(xiàn)平面a互相垂直，記作垂面.直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫作垂足.(2 )畫(huà)法：通常把直線(xiàn)畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖1丄a如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩1丄b條相交直線(xiàn)都垂直，那么該直線(xiàn)與a a? 1 丄 aba此平面垂直a Ab = P(3 )判定定理文字語(yǔ)言付號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言2. 二面角(1)二面角：從一條直線(xiàn)岀發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫作二面角，這條直 線(xiàn)叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作

2、二面角的面.(2 )二面角的記法：如圖，記作：二面角a AB B,也可記作a AB B.(3 )二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角.3. 平面與平面垂直(1 )定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.(2 )判定定理文字語(yǔ)言付號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的a a一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂? a丄卩ya丄卩/直 14.直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言付號(hào)語(yǔ)言如果兩條直線(xiàn)冋時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行2a丄a?

3、 a/bb丄a5.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言付號(hào)語(yǔ)言如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一a丄0a A 0= l個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)? a±01a a垂直于另一個(gè)平面a丄l.典例精析題型一：線(xiàn)面垂直的判定例1:如圖所示，在Rt KBC中，ZB= 90 °，且S為所在平面外一點(diǎn),滿(mǎn)足SA= SB= SC.D為AC的中點(diǎn).求證：SD丄平面ABC.證明：在 RtAABC 中，/B= 90。，且D 為 AC 的中點(diǎn)，二 BD = AD=DC.又tSA = SB= SC, SD 為公共邊， SBDzSAD也zSCD, /ZSDB=ZSDA =ZSCD= 90 °

4、;,SD丄 AD , SD丄 BD, tAD ABD = D ,.SD 丄平面 ABC.變式訓(xùn)練1 :如圖，已知 AB是O O的直徑，C是圓周上不同于 A, B的點(diǎn)，PA丄O O所在的平面，AF丄PC于F,求證：BC丄平面PAC.BC證明：因?yàn)?AB為O O的直徑，所以 BC丄AC.因?yàn)镻A丄平面 ABC,平面ABC，所以PA丄BC.因?yàn)镻AAAC = A，所以BC丄平面PAC.題型二：面面垂直的判定例2 :已知四面體 ABCD的棱長(zhǎng)都相等，E, F, G, H分別為AB,AC, AD , BC的中點(diǎn)求證：平面 EHG丄平面FHG.證明：如圖，取CD的中點(diǎn) M，連接HM , MG , FM ,

5、則四邊形 MHEG 為平行四邊形.連接EM交HG于O,連接尸0.在厶FHG中，O為HG的中點(diǎn)，且 FH = FG,所以FO丄HG.同理可證FO丄EM.又 HG AEM =O,所以FO丄平面EHMG .又 FO 平面FHG，所以平面 EHG丄平面FHG.變式訓(xùn)練2 :如圖，在空間四邊形 ABDC中，AB = BC, CD = DA , E、F、G分別為CD、DA和對(duì)角線(xiàn) AC的中點(diǎn).：求證：平面BEF丄平面BDG.證明：TAB = BC, CD = AD , G 是 AC 的中點(diǎn)，.-.BG± AC,DG 丄 AC,又 EF/AC,.EF丄 BG, EF± DG.EF丄平面

6、BGD.vEF 平面 BEF, 平面BDG丄平面BEF.題型三：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3 :如圖，在三棱錐 P ABC中，PA丄底面ABC , PA= AB , ZBCA=90 °點(diǎn)D , E分別在棱PB, PC上，且DE/BC.(1) 求證：BC丄平面PAC；(2) 是否存在點(diǎn)E使得二面角A DE P為直二面角？并說(shuō)明理由.證明： tPA丄底面 ABC,.PA丄 BC.又ZBCA= 90 °，-AC± BC.又PAPAC = A ,.BC丄平面PAC.(2)存在點(diǎn)E使得二面角 A DE P為直二面角由 知BC丄平面 PAC,又DE/BC,.DE丄平面 PAC又vA

7、E 平面 PAC, PE 平面 PAC,：DE 丄AE, DE丄PE.AZAEP為二面角 A DE P的平面角.又v PA丄底面 ABC,：PA丄AC.：/PAC= 90 ° 在棱PC上存在一點(diǎn) E,使得AE丄PC.這時(shí)，/ AEP= 90。.故存在點(diǎn)E使得二面角A DE P是直二面角.變式訓(xùn)練3 :如圖所示，PA丄平面ABC, AC丄BC, AB= 2 , BC2 ,PB= ：6，求二面角 P BC A的大小.解：vPA丄平面 ABC, BC 平面 ABC,.PA丄 BC.又 AC丄 BC, PAPAC=A ,.BC丄平面PAC又PC 平面PAC,.BC丄PC.又 BC 丄 AC,

8、 azPCA 為二面角 P BC A 的平面角.在 Rt APBC 中，：PB =' 6 ,BC=J2 ,PC= 2.在 Rt AABC 中，'-AB = 2 , BC= 2 ,AC= ;' 2. 在 Rt APAC 中,cos ZPCA=2C,CiZPCA= 45。，即二面角 P BC A 的大小為 45 °題型四：線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用例4 :如圖，在正方體 ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在A1D、AC 上，且 EF丄 A1D , EF丄 AC.求證：EF/BD1.證明：如圖所示，連接 AB1、B1C、BDJ.DD1丄平面ABCD , AC 平

9、面ABCD.DD1丄AC.又 tAC 丄 BD，且 BD nDD1 = D ,.AC丄平面 BDD 1./BD1 平面 BDD1 ,.BD1 丄 AC.同理可證 BD1 丄 B1C.1BD1 丄平面 AB1C./EF±A1D , A1D /B1C,.EF丄B1C.又 EF丄 AC ,且 AC PB1C= C,/EF丄平面 AB1C,.EF/BD1.變式訓(xùn)練3 :如圖，在正方體 ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在A1D、AC上，且EF丄A1D, EF丄AC.若G是AB的中點(diǎn)，貝U E在A1D上什么位置時(shí)，能使 EG丄平面ABiC?解：若EG丄平面ABiC，因?yàn)锽Di丄平面 A

10、BiC，所以EG/BDi.因?yàn)镚為AB的中點(diǎn)，所以E為ADi的中點(diǎn)，即E為AiD的中點(diǎn)時(shí)，EG 丄平面ABiC.題型五：面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用 例5 :已知平面 PAB丄平面ABC，平面PAC丄平面 ABC，求證：PA丄平面 ABC.證明：如圖所示，在 BC上任取一點(diǎn) D，作DF丄AC于F, DG丄AB于G,BC平面PAC丄平面 ABC，且平面PACA平面ABC = AC,：DF丄平面PAC,又丁PA 平面PAC,.DF丄PA,同理 DG丄PA,又vDF ADG = D 且 DF 平面 ABC, DG 平面 ABC,PA丄平面 ABC.變式訓(xùn)練5 :如圖所示，邊長(zhǎng)為 2的等邊 PCD所在的平面

11、垂直于矩形 ABCD所在的平面,BC= 2 ：'2, M為BC的中點(diǎn).求證： AM丄PM .證明：如圖連接 AP矩形ABCD中，AD丄DC, BC丄DC,又平面PDC丄平面 ABCD，平面 PDC A平面ABCD = DC,：AD丄平面 PDC, BC丄平面PDC，又I PD 平面PDC, PC 平面PDC,AD 丄 PD, BC丄PC,在 RtAD 和 Rt APMC 中，易知 AP2= AD2 + PD2B2+ 22= i2 , PM2= PC2 + MC2 = 22 +2= 6,2= 6 ,.AP2= PM2 + AM2,.AM 丄 PM.又vRtABM 中，AM2 = AB2

12、+ BM2 = 22 + (2- 題型六：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 例6 :如圖，正方形 ABCD所在平面與平面四邊形 ABEF所在平面互相垂直， ABE是等腰直角三角形，AB = AE, FA= FE,ZAEF= 45 °(i)求證：EF丄平面BCE;設(shè)線(xiàn)段CD、AE的中點(diǎn)分別為 P, M，求證：PM /平面BCE.證明：因?yàn)槠矫?ABEF丄平面 ABCD , BC 平面ABCD , BC丄AB,平面ABEFA平面ABCD = AB ,所以BC丄平面 ABEF.所以BC丄EF因?yàn)锳BE為等腰直角三角形， AB = AE，所以/AEB= 45。又因?yàn)? AEFBCABE= B,所以EF丄平

13、面BCE.(2)取BE的中點(diǎn)N ,1連接 CN，MN，貝U MN統(tǒng)§ AB綊=45。，所以ZFEB= 90。，即EF丄BE因?yàn)锽C 平面BCE, BE 平 面 BCE,PC,所以PMNC為平行四邊形.所以 PM /CN.因?yàn)镃N在平面BCE內(nèi)，PM不在平面 BCE內(nèi)，所以PM /平面BCE.變式訓(xùn)練6 :如圖，四棱錐 SABCD中，SD丄平面 ABCD , AB /DC, AD丄DC, AB = AD=1 , SD = 2 , BC丄BD , E為棱SB上的一點(diǎn)，平面 EDC丄平面SBC.(1)證明：DE丄平面SBC;證明：SE= 2EB證明：(1)連接BD, vSD丄平面ABCD，

14、故BC丄SD,又TBC丄BD, BD PSD = D ,.BC丄平面BDS,；BC丄DE.作BK丄EC, K為垂足，因平面EDC丄平面SBC, 故 BK丄平面EDC, BK丄DE. 又 vBK 平面SBC, BC 平面SBC,DB2BK ABC= B,.DE丄平面 SBC.由(1)知 DE丄SB , DB = .；2AD = ：2 /-SB . SD2 +廠(chǎng)SD DB 2M62yj6,aSE= 2EB., DE=右, EBDB2-de2-7 , SE= SB- EB=T三.方法規(guī)律總結(jié)1 線(xiàn)面垂直的判定定理是證明線(xiàn)面垂直的主要方法，證明的關(guān)鍵是在平面 內(nèi)找到兩條相交直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直.2 在證

15、明面面垂直時(shí)，一般方法是從一個(gè)平面內(nèi)尋找另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，若這樣的直線(xiàn)圖中不存在，則可通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)解決(所作輔助線(xiàn)要有利于題目的證明)，即由線(xiàn)面垂直證面面垂直.3 .空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面之間的垂直關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：4 會(huì)用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理證明平行問(wèn)題，用面面垂直的性質(zhì)定理證明垂直問(wèn)題. 四：課后練習(xí)作業(yè)一、選擇題1 .設(shè)I、m為不同的直線(xiàn)，a為平面，且I丄a,下列為假命題的是（B ） A .若 m 丄 a,貝 U m /IB .若 m 丄 I,貝U m /aC.若 m /a,貝 U m 丄 ID .若 m /I,貝 U m 丄 a【解析】A 中，若I丄 a, m 丄 a,

16、 則m /1,所以A正確；B中，若I丄a,m丄I,貝y m/ a或ma,所以B錯(cuò)誤；C中，若I丄a, m /a ,則m丄I,所以C正確；若I丄a , m /I ,貝U m丄a ,所以D正確.2 .在正方體 ABCD Ai B1C1D1中，與AD 1垂直的平面是（A ）A .平面 A1DCB1 B .平面 DD1C1C C .平面 A1B1C1D1 D .平面 A1DB【解析】連接 A1D、B1C ,由ABCD A1B1C1D1為正方體可知， AD1丄A1B1, AD1丄A1D.故AD1丄平面 A1DCB1.A . BC / 平面 PDFB. DF丄平面PAE3 .如圖，在正四面體 P ABC中

17、，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè) 結(jié)論中不成立的是（C ）【解析】由題意知 BC/DF，且BC丄PE, BC丄AE.：PEnAE= E,PAE丄平面ABC也成BC丄平面PAE,.BC /平面PDF成立，DF丄平面PAE成立，平面 立.4 .設(shè)a、B是兩個(gè)不同的平面，I是一條直線(xiàn)，以下命題正確的是 （C ）A.若I丄a，a丄卩，則I卩 B .若I/ a, all 3,貝U I卩C.若I丄a , al 3 ,貝U I丄3 D .若l/a , a丄3貝U I丄3【解析】A錯(cuò)，可能I/3； B錯(cuò)，可能I/3； C正確；D錯(cuò)，不一定I丄35 .設(shè)平面a丄平面3 ,且a A 3= I,直

18、線(xiàn)a a,直線(xiàn)b 3 ,且a不與I垂直，b不與I垂直,那么a與b（ B ）A .可能垂直，不可能平行C.可能垂直，也可能平行B .可能平行，不可能垂直D .不可能垂直，也不可能平行【解析】當(dāng)a , b都平行于I時(shí),a與b平行，假設(shè)a與b垂直，如圖所示,由于垂直，在b上任取一點(diǎn) A,過(guò)點(diǎn)A作b '丄平面a丄平面3 , b '丄平面a ,從而b '丄I ,又由假設(shè)a丄b易知a丄平面3，從而a丄I,這與已知a不與I垂直矛盾, 假設(shè)不正確，a與b不可能垂直.6 .空間四邊形 ABCD,若AB、AC、AD與平面BCD所成角相等，貝U A點(diǎn)在平面BCD的射影是厶BCD的（A ）A.

19、外心 B .內(nèi)心C.重心 D .垂心【解析】設(shè)A點(diǎn)在平面 BCD內(nèi)的射影為 0可知，OABBzOAC也/OAD QB =QC = QD, 點(diǎn)Q為外心.7 .下列說(shuō)法中正確命題的個(gè)數(shù)為 （B ）如果直線(xiàn)I與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直，則 I丄a;如果直線(xiàn)I不垂直于 a ,則a內(nèi)沒(méi)有與I垂直的直線(xiàn)；如果一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直， 則該直線(xiàn)與此平面必相交；如果一條直線(xiàn)和平面的一條垂線(xiàn)垂直，該直線(xiàn) 必在這個(gè)平面內(nèi)；如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直，該直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的任一直線(xiàn).B. 1C. 2【解析】如圖（1）所示，I與a相交（不垂直），此時(shí)也有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與I垂直故錯(cuò)誤；如圖（2）所示，I與a平行，此時(shí)

20、平面內(nèi)也存在 無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與I垂直，故錯(cuò)誤；如圖（3）所示，直線(xiàn)I與平面a的 垂線(xiàn)m垂直，但I(xiàn)不在平面a內(nèi)；由線(xiàn)面垂直的定義可知，正確.8 .如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別為邊 BC, CD的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF, EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體，使 B、C、D三點(diǎn)重合于點(diǎn) G，則下 列結(jié)論中成立的是（A ）A. AG丄平面EFGB. AH丄平面EFGC. GF丄平面AEFD . GH丄平面AEF【解析】 AG丄GF, AG丄GE, GF AGE= G,：AG 丄平面 EFG.9 .如圖，在四邊形 ABCD 中，AD /BC, AB = AD，/BCD = 45 

21、6;，啟AD = 90 °，將ZABD沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD，構(gòu)成四面體 ABCD，則在四面體ABCD中，下列命題正確的是（B ）A .平面 ADC丄平面BDCB.平面 ABD丄平面 ABCC.平面 ABC丄平面BDCD .平面 ADC丄平面ABC【解析】在圖中，/ BAD = 90 °,AD = AB, a/ADB = ZABD = 45 °. vAD /BC,；zDBC=45 °.又/BCD = 45 °.azBDC= 90。，即BD丄CD.在圖中，此關(guān)系仍成立.v平面 ABD丄平面 BCD,.CD 丄平面 ABD.vBA 平

22、面 ADB , /.CD 丄 AB.vBA 丄 AD , /.BA 丄平面 ACD.BA 平面ABC,/.平面ABC丄平面ACD.10 .如圖，在正方體 ABCD A1 B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)，并且總保持 AP丄BD1,則動(dòng)點(diǎn)P在（A ）A .線(xiàn)段B1C上B.線(xiàn)段BC1上【解析】連接BC.因?yàn)槠矫鎍丄平面3,且an 3= I，又因?yàn)锽D 平面且BD丄I,所以BD丄平面a.又-/BC 平面a,.BC丄BD.所以CBD”1/7也是直角三角形.在RtBAC中，BC= 32 + 42= 5.在RtCBD 中，CD = ,；52 + i22= i3.所以 CD 長(zhǎng)為 i3 cm.C

23、. BBl中點(diǎn)與CCi中點(diǎn)的連線(xiàn)上D. B1C1中點(diǎn)與BC中點(diǎn)的連線(xiàn)上【解析】連接 AC, BiC, ABi，由線(xiàn)面垂直的判定可知 BDi丄平面ABiC.若AP 平面ABiC，貝U AP丄BDi.這樣只要P在BiC上移動(dòng)即可.二、填空題ii .如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，平面 ACDi與平面 BBiDiD的位置關(guān)系是.垂直【解析】 ABCD是正方形， AC丄BD.又TDiD丄平面 ABCD , AC 平面ABCD ,.DiD丄AC.tDiD ADB = D ,.AC丄平面 BBiDiD./AC 平面ACDi，平面ACDi丄平面BBiDiD.i2 .如圖所示，已知 PA丄平面a

24、, PB丄平面卩，垂足分別為 A、B, aA3= l,/APB= 50 ° 則二面角aI卩的大小為 i30 °【解析】如圖，設(shè)平面 PABAI= 0,連接AO , BO , AB,PA丄 a, I a, PA丄 I同理 PB丄 I，而 PBPPA= P,丄平面PAB,.I丄AO, I丄BO, a/AOB即為二面角a I供勺平面角.結(jié)合圖形知/ AOB+ ZAPB= i80 °,.AOB = i30 °.i3 .如圖，已知平面 a丄平面3,在a與卩的交線(xiàn)I上，取線(xiàn)段 AB = 4 ,AC、BD分別在平面a和平面卩內(nèi)，它們都垂直于交線(xiàn) AB，并且 AC=3

25、cm , BD = i2 cm，貝U CD =.i3 cm不同直線(xiàn)，給出四個(gè)論斷：m丄n；a丄卩；n丄卩；m丄a.以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:若，則（或若，則）【解析】利用面面垂直的判定，可知？為真；利用面面垂直的性質(zhì)，可知 為真.15 .如圖平面 ABC丄平面 BDC,ZBAC=ZBDC= 90 °，且AB = AC= a，貝U AD =【解析】如圖所示，取 BC的中點(diǎn)E,連接ED, AE,tAB = AC,/AE丄BC,：平面ABC丄平面 BDC. .-AE丄平面 BD.AE丄 ED.在 RtXBC 和 RtBCD 中, AE = ED

26、=気二2 2a,/ 在 Rt AED 中，AD = .AE2 + ED2= a.三、解答題16 如圖所示，AB是圓0的直徑，PA垂直于圓面，M是圓周上任意一點(diǎn)，丄平面PBM.AN丄PM，垂足為證明：設(shè)圓0所在的平面為a, PA丄 a,且 BM a, /.PA丄 BM.又TAB為O 0的直徑，點(diǎn)為圓周上一點(diǎn)， AM丄BM ,直線(xiàn)PAAAM = A,.BM丄平面PAM .又AN 平面PAM ,BM 丄AN.這樣，AN線(xiàn)垂直.故 AN丄平面PBM.17 如圖所示，過(guò) S引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線(xiàn)段=ZASC= 60 ° ,zBSC= 90 °.求證：平面 ABC丄平面BSC.【證

27、明】（法一）取BC的中點(diǎn)D，連接AD , SD.v/ASB= ZASC,且 SA= SB= AC , /AS = AB = AC.aAD 丄 BC.又ABS是正三角形， BSC為等腰直角三角形， BD=SD.AD2 + SD2 = AD2 + BD2 = AB2 = AS2.由勾股定理的逆定理，知 AD丄SD.又SDQBC= D , /AD丄平面BSC.又 AD 平面ABC,平面ABC丄平面 BSC.(法二)同法一證得 AD丄BC, SD丄BC,則/ADS即為二面角 A£ £ 2 2 2BC S的平面角./zBSC= 90 ° 令 SA= 1，則 SD = T，A

28、D = -, aSD2+ AD2= SA2.ZADS = 90 °：平面 ABC丄平面 BSC.18 .如圖，在三棱錐 S-ABC中，SA丄平面ABC, AB丄BC, DE垂直平分SC,分另U交 AC、SC 于 D、E,且 SA = AB = a, BC= .； 2a(1) 求證：SC丄平面BDE;(2) 求平面BDE與平面BDC所成二面角的大小.(1)證明：T SA丄平面 ABC, 又 AB、AC、BD 平面 ABC,SA丄AB, SA丄AC , SA丄BD ,.SB= : SA2 + AB2 = ' ：'2a. TBC = ；2a,SB = BC.E 為SC 的中

29、點(diǎn)，E±SC.又 DE丄SC,BEADE = E,.SC丄平面 BDE.(2)由 及 BD 平面 BDE, 得BD丄SC.又知BD丄SA,：BD丄平面 SAC. /-BD丄AC且BD丄DE.zCDE為平面BDE與 平面 BDC 所成二面角的平面角. AB 丄 BC, AC = ,AB2+ BC2= 3a.Rt SAC 中，tanSA V3ZSCA= = 一，/SCA= 30 °.：ZCDE= 60。，即平面 BDE 與平面 BDC 所成二面角為AC 360 °19.如圖，已知三棱錐 A BPC中，AP PC , AC BC , M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且 PMB為正三角形.(1) 求證：DM