平面直角坐標變換

1、§ 5、7 平面直角坐標變換為了考慮同一圖形在不同得坐標系下得方程之間得尖系，我們首先需要建立同一個點在 不 同得坐標系下得坐標之間得矢系，這就就是坐標變換得問題，因為我們研究得圖形就是點得 軌 跡.我們僅考慮平而直角坐標變換.設(shè)在平面上給出了由兩個標架丿與0i廠所決泄得右手直角坐標系，這里F與J以 及廠與/就是兩組坐標基向量，它們就是平而上得兩個標準正交基，我們依次稱這兩個坐標系為 舊坐標系與新坐標系.由于坐標系得位巻完全由原點與坐標基向雖所決泄,所以新坐標系與舊坐標系之間得矢 系， 就由在0J,丨中得坐標以及卩與/在0. i, J中得分量所決宦.任一直角坐標變換總可以分解成移軸（

2、也叫坐標平移）與轉(zhuǎn)軸（也叫坐標旋轉(zhuǎn)）兩個步驟.1 移軸如果兩個標架0： /.門與（y,i, f /得原點O與O不同在0； /,丿丿中得坐標為 （X03），但兩標架得坐標基向量相同，即有i，=i, j '二 J那么標架（0*； r,可以瞧成就是由標架/將原點平移到0'點而得來得（圖5、7、1 ） 這種坐 標變換叫做移軸（坐標平移）.設(shè)P就是平而內(nèi)任意一點，它對標架0； J與O-；，得坐標分別為（x,y）與圖 5、7、171 ）（5、7-2）（），則有于就是有 故 x：y） = xo,y。 + xyf根據(jù)向量相等得定義得移軸公式為從中解出*與y 1，就得逆變換公式為Ob823OOO

3、dO O2 轉(zhuǎn)軸若兩個標架 O； I,； 與0i4/得原點相同，即0二（X但坐標基向量不同，且有Z （W） =G，則標架O：力巧可以喘成就是由標架（0:2 繞0點旋轉(zhuǎn)a角而得來得 （圖5、7、2）.這種由標架 0-i到標架O：廠廠得坐標變換叫做轉(zhuǎn)軸（坐標旋轉(zhuǎn)）.下而推導轉(zhuǎn)軸公式.設(shè)P就是平而內(nèi)任意一點，它對<0：/, j 與 Oi A得坐標分別為（X,y丿與（），即有因為Z （uz ） = a,新舊坐標基本向量之間有矢系于就是有圖 5、 7、 2因為0與O就是同一點，故可直接得到轉(zhuǎn)軸公式：o o oo a oa oo oo （5 ' 7 3）從（5、73）中解出X'與y；

4、就得到用舊坐標表示新坐標得逆變換公式：0 32 0 °0 00。（5、74 ）式中得a為坐標軸得旋轉(zhuǎn)角.（5、74）式也可瞧成就是由標架 0乍丿繞0旋轉(zhuǎn)一刀角變到0-ij得轉(zhuǎn)軸公式 * 根甥線性代數(shù)得理論，（5、73）可寫為，這里得坐標變換得矩陣就是一個正交矩陣，因而其 逆矩陣，逆變換公式可以直接由寫出.3般坐標變換公式在一般情況下'由舊坐標系變成新坐標系Of、總可以分兩步來完成.即先移軸使 坐標原點與新坐標系得原點0重合'變成坐標系0=然后再由輔助坐標系”轉(zhuǎn)軸而成新坐標系圖 5、7、3）.設(shè)平而上任一點P得舊坐標與新坐標分別為 么，y）與（才，V）,而在輔助坐標系（

5、T 小中得坐標為（AT V）,那么由（5、71）與（5、7-4）分別得與由上兩式得一般坐標變換公式為（5、7-5）由（5、75）解岀門丫便得逆變換公式 “0。（ 5、76）平面直角坐標變換公式（5 >7-5）就是由新坐標系原點得坐標（砂y。）與坐標軸得旋轉(zhuǎn)角a 決左得.4 由給定得新坐標軸確定得坐標變換確左坐標變換公式，除了坐標平移與旋轉(zhuǎn)外,還可以有其它方法.假泄已給岀了新坐標系得兩坐標軸在舊坐標系中得方程，并規(guī)立了一個軸得正方向，就 可 以確建又一種坐標變換公式.設(shè)在直角坐標系xOy里給左了兩條相互垂直得直線Iz :其中如果取直線八為新坐標系中得橫軸0”，而直 線/ ：'為縱軸

6、0夕,并設(shè)平面上任意點M得舊坐 標與新坐標分別就是（X、y）與（xy'）.因為 lx ' I就是點M （x,y）到0軸得距離，也就就是M 點到/ ?得距離（圖5、7、4 ），所以有同理可得°°于就是在去掉絕對值符號以后，便得到一個坐標變換公式O 0 boO OOO “（5、77 ）為了使新坐標系仍然就是右手坐標系，可將（5、7-7）式與公式（5、7-4）比較來決左（5、 7-7 ）中得符號.因因此（5、77）中得第一式右端得x得系數(shù)應與第二式得右端得y得系數(shù)相 等，所以（5、77）得符號選取要使得這兩項得系數(shù)就是同號得.這種坐標變換得方法常用來在求得一般中心

7、二次曲線得主直徑得情況下,用兩條主直徑作 為新坐標軸，把二次曲線得方程化為標準方程.以上給出得坐標變換得公式（5、75）、（5 >7-6）與（5、77）實質(zhì)上都就是一樣得.* 5.坐標變換下代數(shù)曲線及其次數(shù)得不變性在直角坐標系下,如果我們所討論得平而曲線得方程能寫成F （xy） = 0得形式，其中F （x,y）就是矢于a與y得多項式，那么這種方程就叫做代數(shù)方程,它所表示得平而曲線叫做代數(shù) 曲線不就是代數(shù)曲線得曲線叫做超越曲線代數(shù)方程得次數(shù)叫做代數(shù)曲線得次數(shù).由于上面給出得幾個坐標變換公式都就是一次式（線性得），而任何代數(shù)方程經(jīng)過一次式得 變換之后必然還就是代數(shù)方程，任何超越方程經(jīng)過一次式

8、得變換之后也必然還就是超越方程因 此有命題5、7、1曲線得代數(shù)性與超越性在線性坐標變換下保持不變.另一方面，代數(shù)方程得次數(shù)在一次式得變換之下也就是保持不變得，因此還有命題5、7、2代數(shù)曲線得次數(shù)在線性坐標變換下保持不變.例1已知新坐標系得対軸與V軸得方程分別為3x4y + 6=0與4x + 3>- -1 7= 0 ,求坐標變 換公式，并求點A （0,1）矢于新坐標系得坐標.解 由題意，設(shè)M （%, y）就是舊坐標系下任一點，其新坐標為（），則有根據(jù)上面得符號選取法則得變換公式為若選第一個坐標變換公式'則點A （0,1）尖于新坐標系得坐標就是（-14/5,2/5）:若選第二個，則點A（0,1）矢于新坐標系得坐標