縮放秒殺橢圓

1、縮放變換：縮放的意思為：縮小和放大都自如。在歐兒里德幾何中，均勻縮放是放大或縮小物體的線性變換; 縮放因子任所有方向上都是一樣的；它也叫做位似變換。均勻 縮放的結(jié)果相似（在幾何意義上）于原始的物體。更一般的是在每個坐標(biāo)軸方向上的冇單獨縮放因子的縮放; 特殊情況是方向縮放（在一個方向上）。形狀可能變化，比如矩形 可能變成不同形狀的矩形，還可能變成平行四邊形（保持在平行 于柚的線之間的用度，但不保持所有的向度）?？s放的d生質(zhì)：以x軸拉伸（壓縮）kM咅，y軸拉伸（壓縮借為例 縮放后坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)、斜率等以相應(yīng)比例變化 坐標(biāo) x=xVki, y=y7k：t （x y*）=（kix, by） 方程 f（x

2、, y尸0, Rx/ki, Wk）=0 斜率 k - A y 7 A x-k>A y/k iA x=k?k/k 面積 S'Nxf kikWxy kkS長度 r"（lTe22xJ：（l+（kkkJ*k4x=T（k"kk）心+k、）WI橢圓（橢圓是圓經(jīng)過拉伸或壓縮之后得到的圖形） 橢圓與圓的方程極其相似，C : x7a2+y3/b?=l, 將y替換為ay'/b可化為圓C* : x*+y 利用圓的特殊陛質(zhì)解題然后回歸原坐標(biāo)系即可一、切線對于橢圓的切線，常規(guī)做法是設(shè)宜線方程，X關(guān)立，判別式，而 離手通常會克接爲(wèi)出切線式.但也免不了代入求解的過袒 相比千橢圓的切

3、線更容易求出，即圏心到直線距離恰為 半徑。因此，求橢圓切線時可先縮放成虬 用點到直線距離公式求解然后凹?xì)w原坐標(biāo)系即可1 .橢圓C : x:/8+y72=i與斜率k=l/2的直線1相切, 則切點的坐標(biāo)為解：將x軸壓縮為原來的1/2,即x=2x 斜率變?yōu)閗f=2k=l,橢圓化圓C : x,2+y*-=2 顯然r與c相切于點（i, 1）或（,-1） 則原坐標(biāo)系中I與C相切于點（-2, I）或（2, -I）2橢圈C : x?4-/3=i上的點到立線I : x-2y-l=0距離的取值范國為 解：橢80 C與1相交,最小距離為0最大距離即為橢圓C與I平彳亍的切線與1之間的距癡 役切線L : x-2y-b=

4、0.與1距離為d縮放 y=v3y72, C1 ：x、yN F ： x3yb二0C*與 If相切.r=!W2=2. b=4 平行線間距離d=|b-l/<5=<5或3 <5/5 則點到直俎巨離的取位范國為O呵3.過定點（4, 0）的直線I與橢圓C : x2/4±y:=i有公共點， 則立線1的斜率k的取值范囲為.解：設(shè)I ： my=x4 （即使給出斜率k.也要設(shè)反斜率m. 過x軸上定A.還是使用m相對較快） 縮放 x=2x*, C : x,:+y,2=l, r : my,=2x,-4 d=4/V（4+nr）<l, nr>12, k:<l/!2, ke-3

5、/6, 3/6 解：結(jié)合圖象.只需求出k的臨界值，即切線斜率縮放 y=yV2, k'=2k, C : x,2+y,2=4（橫向或是縱向縮放隨急 對于X軸上定縮放縱坐標(biāo)計算量相對較?。┕垂啥ɡ砑跋嗨疲ɑ蛉呛瘮?shù)河求kW03 k=k72=±3/6, kW（3/6, 3/64已知直線I : cos0x+sinOy=2與橢圓C : x2+3y2=6有公共點, 則0的取值范國為_.解：縮放 x=3x V ：、3cos0xqsin0y=2, C : x,?+y,2=2 d=2/7(3cos'B+sin®wP2.即 cos:0>l/2 故0 G 卜衣4+kzr,力4

6、+k?i (k G Z)注：對于橢圓的切線問題，還可以利用柯西不等式求解， 計算量與縮放變換差不多。2解:16=(x:/4+y73)(4+ 12)>(x-2yf=b2-46W4時有交點，b=±4時相切3解:mM=(x74-y:)(4-m2)>(x-my)2= 16, m312 時有交點 4解：6cos'O2sinJ0=(x:+3y:)(cos"O+sin:O/3)=(cos6x+sin0y)2=4, cos柜 1/2 時有交點二、弦對于橢圓的弦的問題常規(guī)做法是設(shè)直線方程聯(lián)立，利用 韋達定理設(shè)求出弦長。而圓中的弦只需點到直線距離公式結(jié) 合勾股定理即可求出。

7、因此.求橢圓的孩時.可先縮放成亂 在圓中求解，然后 回歸原坐標(biāo)系即可。題目中往往并未要求解出弦長，而是求兩段長度的比值。 在同一直線或平行線上的線段.放縮祈后比位不變?？s放成 風(fēng)利用圖的特殊注質(zhì)求解，可減少計再量。5已知A、B分別是橢圓C ： x2/4-y2= 1的上頂點和右頂點. 直線1 : y=kx交橢圓于E. F兩點，交線段于點D,若 |DE|=6|DF|, P!'J k=解：縮放 x=2心(？：亡+護=1, 1* : ykx*|DE1=6|DF|, |OD|=(6/7- l/2)|DF|=5/7作DP丄x軸于點P,設(shè)|0P冋 則|AP|=|DP|=lt而 |OP|!+|DP|?

8、=OD| 即 r+(l-ty=(5/7)2解得 t=3/7 或 4/7, 2k=|DP|/|OP =(1 -t)/t=3/4 或 4/3 k=3/8 或 2/36已知幼點P與雙曲線心2產(chǎn)3=1的兩個隹.點F). F、的 距離之和為定值2a(a>V5).且cosZ.EPF：的最小值是川9 求動點P的軌跡方程.(2)若過定點0(0, 3)的宜線交點P的紈跡干M.N兩點，且 DM|=k|DN|.求實軟k的取值范國.解：珊也 0), F：(<5, 0), |F.F：|=25設(shè) PFipa-i, |PF】Fa【cos 乙 F PF：=(a ft):>(a-t):-20/2(a+t)(a

9、-t) =2(a<5)(a:-t:). 1>I-10/a2=-1/9 當(dāng)且僅當(dāng)1=0,即|PFiHPF：|=a Ht,等號成主 尸3, C :込9一牛1(2)端啟 x=3x92. C : x+yM上頂A A(0, 2),下頂點B(0. -2)曲雙創(chuàng)線定理得DM |DN -AD| BD -5CADMsiDB 可證) k-DM/jDN|=5/DNf. 1<DN|<5. l/5<k<5 |DI：rDN|. k?l 綜上，kel l)U(l. 5)7.過定A(0, I)的宜線I被橢聞C : x74-y:=l裁得的弦長的最大值為 解：設(shè) I ： y=kx+l.縮放 x

10、=2x C*: x沖F ： y'=2kx*l設(shè)1交橢圓于A(l. 0). B.作OP丄1于點Pd=l/,(4k;+l). L,=2Ml-d )=4'k7(4k-l)L=L*x2 V(k?+iy(4k 1 )=8Mtk-(k2-f 1 X(4k2+1)=2v12k?(4k;+4y3(4k + l )曲3/3當(dāng)且僅當(dāng)12k;=4kM.即k=±«2/2時.等號成立8過定點P(G 0)的直線I交橢圓C : x沁*2=1于M, N兩點， 若|PMF3|PN|.則直線I的方程為.解：設(shè) 1 ： my=x+V3,縮放 y=V3y73, C : x,2+yr2=6, V :

11、 myf3x93 作 OQ丄 1 干AQ. |OQ|=3A»(tn-4-3). |QM|=2|QN 即|OM|:-|OQ|4(|OP|'-|OQp)t 6-9/(nr+3)=43-9/(nr+3) in=±'6/2 1 : y=±W6x/3+l2)三、斜率縮放后斜率比值不變，因此原坐標(biāo)系內(nèi)平 行線縮放后依舊平行。原坐標(biāo)系內(nèi)斜率積 表示兩直線垂直，在橢圓內(nèi)斜率積疔/的兩 直線經(jīng)縮放成圓后垂直，存在一些特殊生質(zhì)。9.已知 A、B 是橢圓 C : x7a-+y7b'=l(a>b>0)長軸的 兩個端點，M, N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點

12、, 直線AM、BN的斜率分別為ki、k：,且kk#O, 若Ik.l+IM的最M直為1,貝U橢圓的離心率為解:縮放 y=by'/a, C : x'2+y,2=a2k? kuM, ki,kBM=kik2xa*/b2=-1kk二bVa', |ki|+|kN2V|kk|=2b/a=l10過橢圓C : x74+y2=l內(nèi)一點P(l, 1/2M乍兩條直 線AB、CD,分別交橢圓于A、B、C、D四點, 若AC/BD,則直線AC的斜率為.解：縮放 y=y72, C1 :P，(l, -1)A'C/B'D',由平面幾何纟訊只可知，OP丄A'C' k.

13、vtl/kop-= 1, kAc=k.vc/2= 1/2四.定值定點 直線I交橢圓c : x2/a2+y2/b:= I于A、B兩點，AB 中點為P,則AB與OP的斜率之積為-b7a證明：縮放y=byVa, OP丄ABk(ipk I, kopk.xB=-b'/afc注：點差法也可證明11 過點P(2 2)的直線1交橢圓C : x'/4+/=l于A、B,若線段 AB中點Q的橫坐標(biāo)為I則直線丨的方程為_解：設(shè)直線1 : m(y-2尸x+2則Q(l, nV4)m(-m/4-2)=l+2F m=-2 或6(舍去),1 : x+2y+2=O 過橢圓C : x7a2+y2/b;=l上一點P作

14、斜率互補的 兩條直線交橢圓于A、B兩點，則AB與OP的 斜率之積為b7a20證明:縮放y=by7a,作PQ丄x軸交C于Q' 連接OQ； X'軸垂直平分PQ, k“二® PQ平分弧 AB, OQ 丄AB, koQkvB-=-l kork¥B= 19 kwkAB=b12.過橢圓 C : x74+y73=l 上一點 P(l, 3 作斜率互補的兩條直線交橢圓于A、B 兩點，則AB的斜率為解：3k/2=3/4, k=l/2 過原點0作互相垂直的兩條射線交橢圓C ： x'/a'+y河=1 于 A. B 兩點，l/|OA|2+l/OB|-=l/a-+l/b

15、證明：設(shè)0A斜率為k,縮放y=by7a,連NA交x軸干C 則 |OC|=|OA|N( 1十疋尸QA啊(l+a'k7b), OA|=a Up|0A|W(l+k:y(l+a'k7b 同理|OB|W(1 +k:)/(k:+a7b:) l/|OAf+”|OBf=l/a*l 加13直線1交橢圓C : x2/4+y2=l于A、B兩點,若 OA±OB,求,|OA|OB|的最小值.解:l/|OA|2+l/|OB|M/4>2/|OA|OB|, |OA|OB|>8/5 直線I交橢圓C : x7a'+/b2=l于A、B兩點,若OA. OB斜率 之積為-b7a:則|OA|

16、'+ OB|：=a'b “AOB 面積為 ab/2.汪明：縮放y=by7a,設(shè)OA斜率為k連A'A交x軸于C 則QC|=|OA|/( l+bV/alO-AlV( 1|OW|=a, O7V丄OB即|OA|:=a:(l +b:kr7a>(l +F).同理|OB|:=a:(kt：+b7a:y( 1+F) OA|-+|OB|W+b 厶AOB為等腰直角三角形,S7/2, S=ab/214.直線1交橢圓C : x2/4+y2=l于A、B兩點， 若OA、OB斜率之積為-1/4.求|OA|OB |的最大值(2)<i£AOB面積為定值解:(1)|OA|2+|OB|=

17、5>2|OA|OB|, |OA|OB|<5/2(2)顯然,S=115A、B為橢圓C : x74*y =l上兩點，滿足厶AOB的面積為1.(1) 求證：xi'xj與均為定值(2) 若AB中點為P,求|OP|AB|的最大值解：(l)|OA|'+|OB|'=x/+yi4x/+y,=x,+x?+lX|2/4+】xJ/4=5 x,+x,=4. y/+yj=l(2)|OP|AB|=P(xEX2)'/4"y +y»'4N(x x：)Wyy$ =,(Xi：+x2：*yi：y/)-4(x X2-+-yiy2)：/2<5/2過直線xn上

18、任意一點P作直線PA、PB與橢圓C : x2/a2+yW=l相切于A、B兩點， 則弦AB過定點(a%, 0)o 證明：縮放y=by*/a, OP交AB于Q,AB交x軸于M, PN丄x軸于N由射影定理得QAf=|OQ|OP|由相似得 |OM|/|()Q|=|()P|/|ON| |OM|=|OA|7|ON|=a7|t|,定點 M(a2/t, 0)16過點P(l, 0於直線1交橢圓C : x74+y2=l于A、B兩點，作A、B兩點的切線，若存在 交點，求交點的軌跡.解：顯然，x=4 過橢圓C : x加+y沁=1的隹點F作互相垂直的兩條直線分別 交橢圓于 A、B、C D 四點，則 l/|AB|+l/|

19、CD =(a?+b>2ab 證明：設(shè) AB : y=k(x+c),縮放 y二by爍 A'B* : byVa=k(xc) 取 AB中點 P OP=|kc|N(k'+b站) ABF2|APF2«(|CTaTQPf)=2bx,(k-l)/(kJ+b7a2) AB|=|AB|x、lF+l)W(kTb'+l)=2Li(k'+l)/(kLb'/d) 同理，|CD|=2a(k2+iy(l+b¥/a:), l/|AB|+l/CD|=(a-+b2)/2ab217過橢圖C : x74+y:=l的焦點F作互相垂直的兩條直線分別交 橢圓干A、B. C、

20、D四點,求四邊形ABCD面積的缺卜值 解:1/|AB|+”|CDF5A2N(|AB|CD|), S=|AB|CD|/2>32/25五、面積求橢圓內(nèi)三角形及四邊形面積最值是圓錐曲線中很 常見的題型，常規(guī)做法是設(shè)直線方程，聯(lián)立后用韋達 定理求弦長，點到直線距離公式求高，底乘高求面積, 利用不等式求極值。高手通常會使用向量叉乘?？s放后面積成比例變化，在圓中求面積可以更快地 得出表達式，甚至可以立接利用幾何意義求出最值。 譬如圓內(nèi)接多邊形為正多邊形時面積最大，圓心及圓 上兩點連成的三角形為等腰直角三角形時面積最大。1 &橢圓C : x;/4+y-=l內(nèi)接矩形面積的最大值為 解：縮放 y=y72, C* : x'，+y4C"內(nèi)接矩形為正方形時面積最大注：同理可求內(nèi)接三角形最大值 縮方陽為等邊三角形時面積最大 S'“=3U3, S杠=S'Q2=3p3/219.平行于x軸的直線1交橢圓C : x2/4+y2