直線的一般式方程和點(diǎn)的對(duì)稱問題教師版

1、直線的一般式方程知識(shí)點(diǎn)一 直線的一般式方程1.若方程AxByC0表示直線，則A、B應(yīng)滿足的條件為()AA0 BB0CA·B0 DA2B20答案D解析要使AxByC0表示直線，需A、B不同時(shí)為零(包括一個(gè)為0，另一個(gè)不為0)，顯然A、B項(xiàng)均不滿足，C項(xiàng)中表示A與B同時(shí)不為零，也不滿足，只有D項(xiàng)正確2直線(2m25m2)x(m24)y5m0的傾斜角為45°，則m的值為()A2 B2 C3 D3答案D解析由已知得m240，且1，解得：m3或m2(舍去).知識(shí)點(diǎn)二 平行、垂直問題3.直線mx4y20與直線2x5yn0垂直，垂足為(1，p)，則n的值為()A12 B2 C0 D10答

2、案A解析由兩直線垂直得2m200，m10，將(1，p)代入10x4y20得p2，將(1，2)代入2x5yn0得210n0，n12.4已知點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：AxByC0外一點(diǎn)，則方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A過點(diǎn)P且與l垂直的直線B過點(diǎn)P且與l平行的直線C不過點(diǎn)P且與l垂直的直線D不過點(diǎn)P且與l平行的直線答案D解析點(diǎn)P(x0，y0)不在直線AxByC0上，Ax0 By0C0，直線AxByC(Ax0By0C)0不經(jīng)過點(diǎn)P.又直線AxByC(Ax0By0C)0與直線l：AxByC0平行故選D.知識(shí)點(diǎn)三 直線一般式方程的應(yīng)用5.設(shè)直線l的方程為(m22m3)x(2m2m1)y2

3、m6，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)l在x軸上的截距是3；(2)斜率是1.解(1)由題意，得由式，得m3且m1.由式，得3m24m150，得m3或m.m.(2)由題意，得由式，得m1且m.由式，得3m2m40，得m1或m.m.6求分別滿足下列條件的直線l的一般式方程；(1)斜率是，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是6；(2)經(jīng)過兩點(diǎn)A(1,0)，B(m,1)；(3)經(jīng)過點(diǎn)(4，3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等解(1)設(shè)直線l的方程為yxb.令x0，得yb.令y0，得xb，6，解得b±3.直線l的方程為yx±3，化為一般式為3x4y±120.(2)當(dāng)m1時(shí)，

4、直線l的方程是，即y·(x1)；當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程是x1.綜上，所求直線l的方程是x(m1)y10或x10.(3)設(shè)l在x軸，y軸上的截距分別為a，b.當(dāng)a0，b0時(shí)，l的方程為1.直線過(4，3)，1.又|a|b|，解得或當(dāng)ab0時(shí)，直線過原點(diǎn)且過(4，3)，l的方程為yx.綜上所述，直線l的方程為xy10或xy70或3x4y0.課堂練習(xí)：7直線xy10的傾斜角是()A150° B30° C60° D120°答案A解析直線的斜率k，故其傾斜角為150°.8直線5x2y100在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則有()Aa2，

5、b5 Ba2，b5Ca2，b5 Da2，b5答案B解析直線5x2y100可以化為截距式方程1，所以a2，b5.9兩直線l1：mxyn0和l2：nxym0在同一坐標(biāo)系中，則正確的圖形可能是()答案B解析化一般式為斜截式，得l1：ymxn，l2：ynxm，可見兩條直線的斜率、截距恰好互換，所以選B.10已知直線mxny1平行于直線4x3y50且在y軸上的截距為，則m、n的值分別為()A4和3 B4和3C4和3 D4和3答案C解析由題意得n0，于是直線可化為yx.由，得m4，n3.11已知直線(a2)x2ay10與直線3axy20垂直，則實(shí)數(shù)a的值是()A0 BC0或 D或答案C解析當(dāng)a0時(shí)，兩直線

6、分別為2x10，y20，此時(shí)兩直線顯然垂直；當(dāng)a0時(shí)，兩直線的斜率分別為，3a，所以·3a1，解得a.故選C.二、填空題12直線l與直線m：3xy20關(guān)于x軸對(duì)稱，則這兩條直線與y軸圍成的三角形的面積為_答案解析由題意可得直線l：3xy20，則直線l，m與y軸圍成的三角形的面積為×4×.13如果對(duì)任何實(shí)數(shù)k，直線(3k)x(12k)y15k0都過一個(gè)定點(diǎn)A，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是_答案(1,2)解析解法一：取k3，方程為7y140，y2；取k0.5，方程為3.5x3.50，x1.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)；將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程得(3k)2(12k)15k0，所以直線恒經(jīng)

7、過點(diǎn)A.解法二：將k當(dāng)作未知數(shù)，則方程可寫成(x2y5)k3xy10.因?yàn)閷?duì)于任意k值，等式成立，所以x2y50,3xy10，解得x1，y2，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)14已知直線l與直線3x4y70平行，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，則直線l的方程為_答案3x4y±240解析設(shè)l：3x4ym0(m7)，令y0得x；令x0得y.直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，××24，m±24.直線l的方程為3x4y±240.三、解答題15求滿足下列條件的直線方程(1)經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，且斜率等于直線3x8y10斜率的2倍；(2)過點(diǎn)M(

8、0,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的周長(zhǎng)為12.解(1)因?yàn)?x8y10可化為yx，所以直線3x8y10的斜率為，則所求直線的斜率k2×.又直線經(jīng)過點(diǎn)(1，3)，因此所求直線的方程為y3(x1)，即3x4y150.(2)設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為(a,0)，因?yàn)辄c(diǎn)M(0,4)在y軸上，所以由題意有4|a|12，解得a±3，所以所求直線的方程為1或1，即4x3y120或4x3y120.16(1)已知直線l1：2x(m1)y40與直線l2：mx3y20平行，求m的值；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：(a2)x(1a)y10與直線l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解(1)由l1：2

9、x(m1)y40，l2：mx3y20知：當(dāng)m0時(shí)，顯然l1與l2不平行當(dāng)m0時(shí)，l1l2，需.解得m2或m3，m的值為2或3.(2)由題意知，直線l1l2.若1a0，即a1時(shí)，直線l1：3x10與直線l2：5y20顯然垂直若2a30，即a時(shí)，直線l1：x5y20與直線l2：5x40不垂直若1a0，且2a30，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.當(dāng)l1l2時(shí)，k1·k21，即·1，a1.綜上可知，當(dāng)a1或a1時(shí)，直線l1l2.對(duì)稱問題點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱17.若直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線l2恒過定點(diǎn)()A(0,4) B(0,2)C(2

10、,4) D(4，2)答案B解析直線l1：yk(x4)經(jīng)過定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0,2)又直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，故直線l2恒過定點(diǎn)(0,2)18已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)C(1，y)的對(duì)稱點(diǎn)是B(2，3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是()A4 B. C. D.答案D解析由題意知解得d.點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱19點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(5,2) B(2，5)C(5，2) D(2，5)答案C解析解法一：設(shè)P(2,5)和Q(m，n)關(guān)于直線yx對(duì)稱，則PQ的中點(diǎn)R在直線yx上，且kPQ×(1)1.解得對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(

11、5，2)20.求點(diǎn)P(4,2)關(guān)于直線l：2xy10的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)解解法一：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由PPl及PP的中點(diǎn)在l上得方程組即解得P.解法二：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，PPl于M，PP的方程為(x4)2(y2)0，即x2y0，解方程組得PP與l的交點(diǎn)M，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得得故P.距離最短問題21已知A(1,6)，B(5,2)，點(diǎn)P在x軸上，則使|AP|BP|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案(4.0)解析A(1,6)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(1，6)，則|PA|PA|，當(dāng)P點(diǎn)為AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，|PA|PB|取得最小值，又AB的方程為，即2xy80，令y0，得x4，P(4,0)22.某地A，B兩村在一直

12、角坐標(biāo)系下的位置分別為A(1,2)，B(4,0)，一條河所在直線的方程為l：x2y100.若在河邊l上建一座供水站P，使分別到A，B兩鎮(zhèn)的管道之和最省，問供水站P應(yīng)建在什么地方？解如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB交l于P，因?yàn)槿鬚(異于P)在直線l上，則：|AP|BP|AP|BP|>|AB|，因此供水站只能建在P處，才能使得所用管道最省設(shè)A(a，b)，則AA的中點(diǎn)在l上，且AAl，即解之得即A(3,6)所以直線AB的方程為6xy240.解方程組得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故供水站P應(yīng)建在P處反射問題23如圖所示，已知A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過的路程是()A2