數(shù)學(xué)建模時(shí)間序列分析

1、基于Excel的時(shí)間序列預(yù)測(cè)與分析1時(shí)序分析方法簡(jiǎn)介1.1時(shí)間序列相關(guān)概念1.1.1 時(shí)間序列的內(nèi)涵以及組成因素所謂時(shí)間序列就是將某一指標(biāo)在不同時(shí)間上的不同數(shù)值，按照時(shí)間的先后順序排列而 成的數(shù)列。如經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中每年的產(chǎn)值、國(guó)民收入、商品在市場(chǎng)上的銷(xiāo)量、股票數(shù)據(jù)的變化 情況等，社會(huì)領(lǐng)域中某一地區(qū)的人口數(shù)、醫(yī)院患者人數(shù)、鐵路客流量等，自然領(lǐng)域的太陽(yáng) 黑子數(shù)、月降水量、河流流量等等，都形成了一個(gè)時(shí)間序列。人們希望通過(guò)對(duì)這些時(shí)間序 列的分析，從中發(fā)現(xiàn)和揭示現(xiàn)象的發(fā)展變化規(guī)律，或從動(dòng)態(tài)的角度描述某一現(xiàn)象和其他現(xiàn) 象之間的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律，從而盡可能多的從中提取出所需要的準(zhǔn)確信息，并 將這些知識(shí)和

2、信息用于預(yù)測(cè)，以掌握和控制未來(lái)行為。時(shí)間序列的變化受許多因素的影響，有些起著長(zhǎng)期的、決定性的作用，使其呈現(xiàn)出某 種趨勢(shì)和一定的規(guī)律性；有些則起著短期的、非決定性的作用，使其呈現(xiàn)出某種不規(guī)則性。 在分析時(shí)間序列的變動(dòng)規(guī)律時(shí)，事實(shí)上不可能對(duì)每個(gè)影響因素都一一劃分開(kāi)來(lái)，分別去作 精確分析。但我們能將眾多影響因素，按照對(duì)現(xiàn)象變化影響的類(lèi)型，劃分成若干時(shí)間序列 的構(gòu)成因素，然后對(duì)這幾類(lèi)構(gòu)成要素分別進(jìn)行分析，以揭示時(shí)間序列的變動(dòng)規(guī)律性。影響 時(shí)間序列的構(gòu)成因素可歸納為以下四種： 趨勢(shì)性(Trend),指現(xiàn)象隨時(shí)間推移朝著一定方向呈現(xiàn)出持續(xù)漸進(jìn)地上升、下降或平穩(wěn)的變化或移動(dòng)。這一變化通常是許多長(zhǎng)期因素的結(jié)果

3、。(2) 周期性(Cyclic)，指時(shí)間序列表現(xiàn)為循環(huán)于趨勢(shì)線上方和下方的點(diǎn)序列并持續(xù)一年 以上的有規(guī)則變動(dòng)。這種因素是因經(jīng)濟(jì)多年的周期性變動(dòng)產(chǎn)生的。比如，高速通貨膨脹時(shí) 期后面緊接的溫和通貨膨脹時(shí)期將會(huì)使許多時(shí)間序列表現(xiàn)為交替地出現(xiàn)于一條總體遞增 地趨勢(shì)線上下方。(3) 季節(jié)性變化(Seasonal variation，指現(xiàn)象受季節(jié)性影響，按一固定周期呈現(xiàn)出的周期波動(dòng)變化。盡管我們通常將一個(gè)時(shí)間序列中的季節(jié)變化認(rèn)為是以1年為期的，但是季節(jié)因素還可以被用于表示時(shí)間長(zhǎng)度小于1年的有規(guī)則重復(fù)形態(tài)。比如，每日交通量數(shù)據(jù)表現(xiàn) 出為期1天的“季節(jié)性”變化，即高峰期到達(dá)高峰水平，而一天的其他時(shí)期車(chē)流量較小

4、， 從午夜到次日清晨最小。動(dòng)。不規(guī)則變化(Irregular movemenl)，指現(xiàn)象受偶然因素的影響而呈現(xiàn)出的不規(guī)則波 周期性、季節(jié)性變動(dòng)的估計(jì)值之間的 偏差，它用于解釋時(shí)間序列的隨機(jī)變動(dòng)。不規(guī)則因素是由短期的未被預(yù)測(cè)到的以及不重復(fù) 發(fā)現(xiàn)的那些影響時(shí)間序列的因素引起的。時(shí)間序列一般是以上幾種變化形式的疊加或組合出現(xiàn)的(如圖1.4) 0&0005QQ04QQQ5000Z0001000苫冨 S舄 黑I Stea圖1.3 季節(jié)型序列圖1.2趨勢(shì)序列605040沖2013573111315圖1.4含有季節(jié)與趨勢(shì)因素的序列1.1.2 時(shí)間序列的分類(lèi)根據(jù)其所研究的依據(jù)不同，可有不同的分類(lèi)：(1

5、) 按所研究的對(duì)象的多少來(lái)分，有一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列。如某種商品的銷(xiāo) 售量數(shù)列，即為一元時(shí)間序列；如果所研究對(duì)象不僅僅是這一數(shù)列，而是多個(gè)變量，如按 年、月順序排序的氣溫、氣壓、雨量數(shù)據(jù)等，每個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)著多個(gè)變量，則這種序列為多 元時(shí)間序列。按時(shí)間的連續(xù)性可將時(shí)間序列分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列兩種。如果某一 序列中的每一個(gè)序列值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間參數(shù)為間斷點(diǎn)，則該序列就是一個(gè)離散時(shí)間序列；如 果某一序列中的每個(gè)序列值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間參數(shù)為連續(xù)函數(shù)，則該序列就是一個(gè)連續(xù)時(shí)間序 列。(3)按序列的統(tǒng)計(jì)特性分，有平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列兩類(lèi)。所謂時(shí)間序列的 平穩(wěn)性，是指時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不會(huì)隨著

6、時(shí)間的推移而發(fā)生變化。平穩(wěn)序列的時(shí)序圖直觀上應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無(wú)明顯趨 勢(shì)及無(wú)周期特征；從理論上講，分為嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)兩種。相對(duì)的，時(shí)間序列的非平穩(wěn)性， 是指時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化。(4)按序列的分布規(guī)律來(lái)分，有高斯型(Guassian)和非高斯型時(shí)間序列(non-Guassian)1.2時(shí)間序列分析概述時(shí)間序列分析是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)分析方法，它研究的是代表某一現(xiàn)象的一串隨時(shí) 間變化而又相關(guān)聯(lián)的數(shù)字系列(動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù))，從而描述和探索該現(xiàn)象隨時(shí)間發(fā)展變化的規(guī)律 性。時(shí)間序列的分析利用的手段可以通過(guò)直觀簡(jiǎn)便的數(shù)據(jù)圖法、指標(biāo)法、模型

7、法等來(lái)分析,而模型法應(yīng)用更確切和適用也比較前兩種方法復(fù)雜，能更本質(zhì)地了解數(shù)據(jù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和復(fù) 雜特征，以達(dá)到控制與預(yù)測(cè)的目的。時(shí)間序列分析方法包括：(1) 確定性時(shí)序分析：它是暫時(shí)過(guò)濾掉隨機(jī)性因素(如季節(jié)因素、趨勢(shì)變動(dòng))進(jìn)行確 定性分析方法，其基本思想是用一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù) y二f t來(lái)擬合時(shí)間序列，不同的變 化采取不同的函數(shù)形式來(lái)描述，不同變化的疊加采用不同的函數(shù)疊加來(lái)描述。具體可分為 趨勢(shì)預(yù)測(cè)法(最小二乘)、平滑預(yù)測(cè)法、分解分析法等；(2) 隨機(jī)性時(shí)序分析：其基本思想是通過(guò)分析不同時(shí)刻變量的相關(guān)關(guān)系，揭示其相關(guān) 結(jié)構(gòu)，利用這種相關(guān)結(jié)構(gòu)建立自回歸、滑動(dòng)平均、自回歸滑動(dòng)平均混合模型來(lái)來(lái)對(duì)時(shí)間序

8、列進(jìn)行預(yù)測(cè)。為了對(duì)時(shí)間序列分析方法有一個(gè)比較全面的了解，現(xiàn)將時(shí)間序列分析方法歸納如下:發(fā)展水平分析確定性時(shí)序分析時(shí)間序列分析隨機(jī)性時(shí)序分析趨勢(shì)變動(dòng)分析*采用移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法等周期波動(dòng)分析趨勢(shì)加周期波動(dòng)分析”'一元/多元時(shí)序分析、可控/不可控時(shí)序分析采用自回歸模型、滑動(dòng)平均模型等馬爾可夫分析貝葉斯分析，1.3確定性時(shí)間序列分析由1.1的介紹，我們知道時(shí)間序列的變動(dòng)是長(zhǎng)期趨勢(shì)變動(dòng)、季節(jié)變動(dòng)、循環(huán)變動(dòng)、不 規(guī)則變動(dòng)的耦合或疊加。在確定性時(shí)間序列分析中通過(guò)移動(dòng)平均、指數(shù)平滑、最小二乘法 等方法來(lái)體現(xiàn)出社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的長(zhǎng)期趨勢(shì)及帶季節(jié)因子的長(zhǎng)期趨勢(shì)，預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展趨 勢(shì)。1.3.1 移動(dòng)平均

9、法通過(guò)對(duì)時(shí)間序列逐期遞移求得平均數(shù)作為預(yù)測(cè)值的一種方法叫移動(dòng)平均法，它是對(duì)時(shí) 間序列進(jìn)行修勻，邊移動(dòng)邊平均以排除偶然因素對(duì)原序列的影響，進(jìn)而測(cè)定長(zhǎng)期趨勢(shì)的方 法。其簡(jiǎn)單的計(jì)算公式為：預(yù)測(cè)值=最后n個(gè)值的平均其中：n=被認(rèn)為是與預(yù)測(cè)下一個(gè)時(shí)期相關(guān)的最近的時(shí)期數(shù)采用Excel進(jìn)行移動(dòng)平均時(shí)，在【數(shù)據(jù)分析】選項(xiàng)中選擇【移動(dòng)平均】，并在對(duì)話(huà)框中輸入數(shù)據(jù)區(qū)域和移動(dòng)間隔即可。說(shuō)明：n的選擇：采用移動(dòng)平均法進(jìn)行預(yù)測(cè)，用來(lái)求平均數(shù)的時(shí)期數(shù)n的選擇非常重要，這也是移動(dòng)平 均的難點(diǎn)。因?yàn)閚取值的大小對(duì)對(duì)所計(jì)算的平均數(shù)的影響較大。當(dāng)n=1時(shí)，移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值為原數(shù)據(jù)的序列值。當(dāng)n =全部數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)時(shí)，移動(dòng)平均值等于且

10、為全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均 值。顯然，n值越小，表明對(duì)近期觀測(cè)值預(yù)測(cè)的作用越重視，預(yù)測(cè)值對(duì)數(shù)據(jù)變化的反應(yīng)速度也越快，但預(yù)測(cè)的修勻程度較低，估計(jì)值的精度也可能降低。反之，n值越大，預(yù)測(cè)值的修勻程度越高，但對(duì)數(shù)據(jù)變化的反映程度較慢。不存在一個(gè)確定時(shí)期n值的規(guī)則。一般n在3200之間，視序列長(zhǎng)度和預(yù)測(cè)目標(biāo)情況 而定。一般對(duì)水平型數(shù)據(jù)，n值的選取較為隨意；一般情況下，如果考慮到歷史上序列 中含有大量隨機(jī)成分，或者序列的基本發(fā)展趨勢(shì)變化不大，則n應(yīng)取大一點(diǎn)。對(duì)于具有趨勢(shì)性或階躍性特點(diǎn)的數(shù)據(jù)，為提高預(yù)測(cè)值對(duì)數(shù)據(jù)變化的反應(yīng)速度，減少預(yù)測(cè)誤差，|n值取較小一些，以使移動(dòng)平均值更能反映目前的發(fā)展變化趨勢(shì)。一般n的取值

11、為315。具體取值要看實(shí)際情況，可由均方差 MSE來(lái)評(píng)價(jià)（MSE的概 念在第3節(jié)“預(yù)測(cè)方法的評(píng)估”中介紹）。1.3.2 指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法是對(duì)過(guò)去的觀測(cè)值加權(quán)平均進(jìn)行預(yù)測(cè)，使第t 1期的預(yù)測(cè)值等于t期的實(shí)際觀測(cè)值與第t期指數(shù)平滑值的加權(quán)平均值，即預(yù)測(cè)值=：（上期值）+ （1 - ：）（上次預(yù)測(cè)值）(1-1)一次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型為：M t 1 =yt 1 M t其中：Mt 第t期預(yù)測(cè)值；yt 第t期的實(shí)際觀測(cè)值；:平滑系數(shù)，且0 ：1將 M t 丄二-.yt2 - 1 - M 匸Mt_2二= yt_2亠 1.1 - - m t_3t(1-2)代入(1-1)式中,可得：M t八： 1 -

12、9; yti -0公式(1-2)中各項(xiàng)系數(shù)和為：t丄t? 1 一 1 一 1 一當(dāng)tT叱時(shí)，Qo()t0,系數(shù)和T 1所以，可以說(shuō)Mt是t期以及以前各期觀察值的指數(shù)加權(quán)平均值，觀察值的權(quán)數(shù)按遞推 周期以幾何級(jí)數(shù)遞減，各期的數(shù)據(jù)離第t期越遠(yuǎn)，它的系數(shù)愈小，因此它對(duì)預(yù)測(cè)值的影響 也越小。(1-3)公式(1-1)稍作變換可得：Mt=Mt亠:s yt Mt可見(jiàn)，Mt .1是t期的預(yù)測(cè)值Mt加上用調(diào)整的t期的預(yù)測(cè)誤差ytMt。因此，簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法用于預(yù)測(cè)實(shí)際上是根據(jù)本期預(yù)測(cè)誤差對(duì)本期預(yù)測(cè)值作出一定的調(diào)整后得到的 下一個(gè)預(yù)測(cè)值，即：新的預(yù)測(cè)值=老的預(yù)測(cè)值+老預(yù)測(cè)值的誤差對(duì)老預(yù)測(cè)值所作的調(diào)整的幅度視:的大小

13、而定。說(shuō)明：平滑系數(shù):的選擇：:的取值對(duì)平滑效果影響很大，:越小平滑效果越顯著.:取值的大小決定了在平 滑值中起作用的的觀察值的項(xiàng)數(shù)的多少，當(dāng)取值較大時(shí)，各觀察值權(quán)數(shù)的遞減速度快，因 此在平滑值中起作用的觀察值的項(xiàng)數(shù)就較少；而當(dāng)取值較小時(shí)，各觀察值權(quán)數(shù)的遞減速度很慢,因此在平滑值中起作用的觀察值的項(xiàng)數(shù)就較多。如果用移動(dòng)平均數(shù)與指數(shù)平滑法相比，要使兩者具有相同的靈敏程度，移動(dòng)平均數(shù)n的 取值與指數(shù)平滑法中:的取值有如下關(guān)系：n 11 - ：當(dāng)取值0.050.3之間時(shí)，如果要使移動(dòng)平均具有相應(yīng)的靈敏程度，則N的取值為:Ct0.050.10.20.3n391995.66 6當(dāng)取值較小時(shí)，指數(shù)平滑法的

14、平滑能力較強(qiáng)，而:取值較大時(shí)，模型對(duì)現(xiàn)象變化的反應(yīng)速度較快。一般來(lái)說(shuō):取值的大小應(yīng)當(dāng)視所預(yù)測(cè)對(duì)象的特點(diǎn)及預(yù)測(cè)期的長(zhǎng)短而定。一 般情況下，觀測(cè)值呈較穩(wěn)定的水平發(fā)展，:值取0.10.3之間；觀測(cè)值波動(dòng)較大時(shí)：，值 取0.30.5之間;觀測(cè)值呈波動(dòng)很大時(shí),:值取0.50.8之間。采用Excel進(jìn)行指數(shù)平滑預(yù)測(cè)步驟如下：1、選擇在【數(shù)據(jù)分析】選項(xiàng)中選擇【指數(shù)平滑】；2、在【輸入?yún)^(qū)域】中輸入數(shù)據(jù)區(qū)域；3、在【阻尼系數(shù)】輸入1_：的值(注：阻尼系數(shù)=1)；4、在【輸出區(qū)域】中選擇預(yù)測(cè)結(jié)果輸出位置；單擊【確定】即可1.3.3 趨勢(shì)預(yù)測(cè)(1)線性趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型：yt = a - bt用最小二乘法求待定參數(shù)a、b

15、決定于標(biāo)準(zhǔn)方程組:E y =送 a + b瓦 t2 二“Z ty =瓦 t+b£ tb =(ty 7 八 y) t2；二 t )a = y - bt趨勢(shì)預(yù)測(cè)的誤差可用線性回歸中的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)衡量。公式為：Sy =Z W-?i )2i唱n 2(2)二次曲線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型:=a bt-ct根據(jù)最小二乘法推導(dǎo)待定參數(shù)a、b、c的標(biāo)準(zhǔn)方程組：Z y = n a+bt+ct ,« Z ty = a t +b送 t2 +c送 t3,玄 t2y =a£ t2 +b遲 t3 +吃 t4.(3) 指數(shù)曲線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型：yt =ab(，其中a、b為未知數(shù)。在這里必須要把指數(shù)先通過(guò)變量

16、代換轉(zhuǎn)化為直線趨勢(shì)才能用最小二乘法來(lái)求參數(shù)，即：兩邊取對(duì)數(shù)ln y?t =1 n a - tln b，再根據(jù)直線形式的常數(shù)確定方法，可求得In a、In b，最后取反對(duì)數(shù)得到a、b的值從總體上來(lái)說(shuō)，確定性時(shí)序分析刻畫(huà)了序列的主要趨勢(shì)是直觀簡(jiǎn)單、便于計(jì)算，但是 比較粗略的，不能?chē)?yán)格反映實(shí)際的變化規(guī)律，為了嚴(yán)格反映時(shí)序的變化必須結(jié)合隨機(jī)時(shí)序 分析法進(jìn)一步完善對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的分析以便進(jìn)行決策。1.4隨機(jī)性時(shí)間序列分析1.4.1 平穩(wěn)隨機(jī)時(shí)間序列分析在隨機(jī)性時(shí)間序列分析中，分為（寬）平穩(wěn)時(shí)序分析和非平穩(wěn)時(shí)序分析。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 其統(tǒng)計(jì)特性（均值、方差）不隨時(shí)間的平移而變化，在實(shí)際中若前后的環(huán)境和主要條件

17、都不 隨時(shí)間變化就可以認(rèn)為是平穩(wěn)過(guò)程（寬平穩(wěn)過(guò)程），具有（寬）平穩(wěn)特性的時(shí)序稱(chēng)平穩(wěn)時(shí)序。平穩(wěn)時(shí)序分析主要通過(guò)建立自回歸模型 （ar，Autoregressive Models、滑動(dòng)平均模型 （ma ，Moving Average Models）和自回歸滑動(dòng)平均模型 （arma ，Autoregressive Moving Average Models）分析平穩(wěn)的時(shí)間序列的規(guī)律，一般的分析程序可用下面框圖表示：（1）自回歸模型AR p如果時(shí)間序列Xt t =1,2 -是平穩(wěn)的且數(shù)據(jù)之間前后有一定的依存關(guān)系，即 Xt與前面 XtxXtd-X有關(guān)與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)（白噪聲）無(wú)關(guān)，具有p階的記

18、憶，描述 這種關(guān)系的數(shù)學(xué)模型就是P階自回歸模型可用來(lái)預(yù)測(cè)：Xt 二 XXtd：pX 一 at（1-4）鳥(niǎo),訂是自回歸系數(shù)或稱(chēng)為權(quán)系數(shù)；at為白噪聲，它對(duì)Xt產(chǎn)生的響應(yīng)，它本身就是前 后不相關(guān)的序列，類(lèi)似于相關(guān)回歸分析中的隨機(jī)誤差干擾項(xiàng)，其均值為零 ，方差為二a'的白 噪聲序列。上面模型中若引入后移算子B，則可改為：(1-5)1 _B 1 _B2 2 _ Bp Xt = at記:B _ JB _ B2 一-B p則(1-4)可寫(xiě)成BXt=at(1-6)稱(chēng):B =0為AR p模型的特征方程。特征方程的P個(gè)根打i =1,2,P被稱(chēng)為的特征 根。如果p個(gè)特征根全在單位圓外，即| ，i -1 i

19、 =1,2，P(1-7)則稱(chēng)AR p模型為平穩(wěn)模型，(1-7)被稱(chēng)為平穩(wěn)條件。由于是關(guān)于后移算子B的多項(xiàng)式, 因此AR P模型是否平穩(wěn)取決于參數(shù)匚、，：、。(2)滑動(dòng)平均模型MA q如果時(shí)間序列=1,2， 是平穩(wěn)的與前面Xt，Xt?Xp無(wú)關(guān)與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)(白噪聲)有關(guān)，具有q階的記憶，描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)模型就是q階滑動(dòng)平均模型可用來(lái)預(yù)測(cè)：X t = at - J® 丄 Kat72(1-8)上面模型中若引入后移算子B，則可改為：Xt = 1 7B - -B2 - JqBq at自回歸滑動(dòng)平均模型ARMA p,q如果時(shí)間序列Xt t =1,2 -是平穩(wěn)的與前面Xt，XLXt_

20、p有關(guān)且與其以前時(shí)刻進(jìn) 入系統(tǒng)的擾動(dòng)(白噪聲)也有關(guān)，則此系統(tǒng)為自回歸移動(dòng)平均系統(tǒng)，預(yù)測(cè)模型為：Xt -，1Xt_L ，2Xt_2 *，pXt_p = at -Kat_L，T2at_2 ，Tqat_q(1-9)即 1 B B22 -B p - X t = ：1 - B - v2B2 -入 Bq at1.4.2 非平穩(wěn)時(shí)間序列分析(1-10)在實(shí)際的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中我們收集到的時(shí)序大多數(shù)是呈現(xiàn)出明顯的趨勢(shì)性或周期性， 這樣我們就不能認(rèn)為它是均值不變的平穩(wěn)過(guò)程，要用模型來(lái)預(yù)測(cè)應(yīng)是要把趨勢(shì)和波動(dòng)綜合 考慮進(jìn)來(lái)，是它們的疊加。用模型來(lái)描述：Xt t Yt7表示X t中隨時(shí)間變化的均值(往往是趨勢(shì)值),Y

21、t是X t中剔除叫后的剩余部分，表示零均值平穩(wěn)過(guò)程，就可用自回歸模型、滑動(dòng)平均模型或自回歸滑動(dòng)平均模型來(lái)擬合。要解模型Xt =叫Yt，分以下兩步：(1) 具體求出7的擬合形式，可以用上面介紹的確定性時(shí)序分析方法建模，求出4 ,得到擬合值，記為?t。對(duì)殘差序列汶七-？t 進(jìn)行分析處理，使之成為均值為零的隨機(jī)平穩(wěn)過(guò)程，再用平穩(wěn) 隨機(jī)時(shí)序分析方法建模求出Yt,通過(guò)反運(yùn)算，最后可得X.t Yt。2 2007年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的預(yù)測(cè)根據(jù)上面討論的時(shí)序分析的方法，本文將之綜合應(yīng)用到對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的分析預(yù)測(cè)中。本 文選取1978-2006歷年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值作為時(shí)序數(shù)據(jù)，進(jìn)行建模并預(yù)測(cè)。我們從畫(huà)出的走勢(shì)圖（如圖2.1）

22、知道這一時(shí)間序列是具有明顯趨勢(shì)且不含有周期性變 化經(jīng)濟(jì)波動(dòng)序列，即為非平穩(wěn)的時(shí)間序列，對(duì)此序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè)需要用上面介紹的非平 穩(wěn)時(shí)間序列分析方法。采用模型：IIoIIono5DOOO(2-1)磧 oepggoepg 啊口 epg ij m * q q jl , p q- q. q * ij年份圖2.1 歷年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值時(shí)間序列圖從圖形（圖2.1）中我們可以判斷出國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的確定趨勢(shì)是按指數(shù)趨勢(shì)發(fā)展的，因此叫可以用趨勢(shì)方程表示：ab t，其中a,b為待定參數(shù)。利用19782006年數(shù)據(jù)及利用對(duì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的趨勢(shì)進(jìn)行擬合，對(duì)指數(shù)曲線線性化， 即兩邊取對(duì)數(shù)Ig厶=lg a t ig b，在Exc

23、el中進(jìn)行對(duì)其進(jìn)行回歸分析，結(jié)果見(jiàn)表 2.1-2.2 于是，可得如下估計(jì)模型與擬合圖，如圖2.2所示。2lg ?t =3.4499- 0.0656 t R = 0.9878（2-2）表2.1SUMMARY OUTPUT回歸統(tǒng)計(jì)Multiple R0.9939R Square0.9878Adjusted R Square0.9873標(biāo)準(zhǔn)誤差0.0632觀測(cè)值29方差分析dfSSMSFSignificance F回歸分析18.72448.72442183.84422.27299E-27殘差270.10790.0040總計(jì)288.8323Coefficients標(biāo)準(zhǔn)誤差t StatP-valueIn

24、tercept3.44990.0241143.18141.9465E-40X Variable 10.06560.001446.73162.273E-27表22tlg片lg氣tlg比lg吃13.55923.5155164.53954.498823.60623.5810174.66994.564433.65493.6466184.76704.629943.68693.7121194.83184.695553.72383.7777204.87194.761063.77343.8432214.89404.826673.85563.9088224.91424.892283.95253.9744234.

25、95174.957794.00874.0399244.98825.0233104.07784.1055255.02195.0888114.17404.1710265.06785.1544124.22814.2366275.13525.2199134.26834.3021285.26085.2855144.33484.3677295.32105.3511154.42554.4333305.41660 * l *十+占.| i(I51015202530圖22 指數(shù)曲線線性化擬合圖2.2中可以看出實(shí)際值與擬合(2-2)取反對(duì)數(shù)得:(2-3)從統(tǒng)計(jì)量R2 = 0.9878來(lái)看,模型通過(guò)了檢驗(yàn)，且擬合圖

26、值很接近，說(shuō)明國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值是符合指數(shù)長(zhǎng)期趨勢(shì)的。再把模型?t = 2817 .7570361.162940根據(jù)擬合的值，這里求出殘差序列匕=Xt -?，數(shù)據(jù)見(jiàn)表2.3，殘差序列圖如圖2.3所示。表2.3年份國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)值-t殘差序列Yt年份國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)值氣殘差序列Yt19783624.103276.88347.22199334634.4031536.873624.1019794038.203810.82227.38199446759.4036675.4710083.9319804517.804431.7586.05199558478.1042651.3615826.7419814862

27、.405153.86-291.46199667884.6049600.9618283.6419825294.705993.62-698.92199774462.6057682.9316779.6719835934.506970.22-1035.72199878345.2067081.7611263.4419847171.008105.95-934.95199982067.4678012.044055.4219858964.409426.73-462.33200089468.1090723.3-1255.20198610202.2010962.72-760.52200197314.8010550

28、5.73-8190.93198711962.5012748.98-786.482002105172.34122696.79-17524.45198814928.3014826.29102.012003116898.40142688.97-25790.57198916909.2017242.09-332.892004136515.00165938.67-29423.67199018547.9020051.5-1503.602005182321.00192976.66-10655.66199121617.8023318.69-1700.892006209407.00224420.21-15013.

29、21199226638.1027118.23-480.132007260987.173000D-40000 lO1020-ill- 伙農(nóng)S咚俎奩鄴留樣黑-3圖2.3殘差序列散點(diǎn)圖觀察殘差序列的散點(diǎn)圖可知，該序列有很大的波動(dòng)性，可認(rèn)為是非平穩(wěn)的。將殘差序列Yt ( t=1,2, , ，29)進(jìn)行差分使其平穩(wěn)化，觀察其差分散點(diǎn)圖如圖2.4所示，可認(rèn)為：2次差分后序列是平穩(wěn)的，即令7 二 Yt 2建丄 丫心(t =3,4,29)(2-4)得到序列Wt ；0從而我們可以認(rèn)為 絢是平穩(wěn)的250002U0UD15000 yjloooo ilH報(bào) o-5000-100001次差分20000100000100

30、00-2000030000注-300003000D3000D圖2.4 差分后散點(diǎn)圖將序列 W 零均值化：由數(shù)據(jù)求得 W =-156.95,令(2-5)w t = Wt W得到序列，從而算出序列的樣本自相關(guān)函數(shù)?k與樣本偏相關(guān)函數(shù)?kk，結(jié)果如表2.4如圖2.5-2.6所示從自相關(guān)一偏自相關(guān)圖可以看出，?k隨著k的增大而衰減，有拖尾現(xiàn)象，而偏相關(guān)函數(shù)編在k = 2就落人隨機(jī)區(qū)（在零附近波動(dòng)），W k034，則可認(rèn)為睞k在"2是截尾的。所以初步判斷殘差序列為 AR 2模型。表2.4kWt?k十kkkWt陽(yáng)申平kk1162513.85680.00450.04692173565.68150.

31、00540.01493135.45350.85020.850218-1086.630.0080.01264-79.2220.6507-0.2619-3128.9570.0089-0.04115126.99260.3401-0.525820-3803.9130.0049-0.10376227.62110.0466-0.115221-3855.320.0016-0.05177594.5258-0.19650.096622-1534.831-0.0052-0.03148528.7978-0.3675-0.0556232054.3562-0.0153-0.05229-613.855-0.4463-0.

32、063724-1468.156-0.02370.006110429.1792-0.44030.021425-2240.851-0.03140.0309111071.3997-0.36050.0432261224.3654-0.0354-0.012112-1166.4244-0.2412-0.036274789.974-0.0323-0.035613-578.8757-0.1276-00549-0.0234-0.0519141130.3866-0.05-0.157129-22968.6090-0.0107-0.0523151574.9984-0.0071-0.00073

33、0圖2.5 自相關(guān)函數(shù)圖2.6 偏相關(guān)函數(shù)注：偏相關(guān)函數(shù)的計(jì)算是用SPSS軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)得到的。因?yàn)镋xcel中計(jì)算很繁瑣，有一定的困難。(2-6)設(shè)模型為Wt 二 1 wt '：2wt a ' at需要估計(jì)I的值，得出解如下:甲=1.0 7 1 5?2 - -0.2 6 0 39+0.8502 湛= 0.85020.8502 幽 +申2 = 0.6507代入(2-6)式，AR 2模型為Wt =1.0715 Wt- 0.2603 Wt_2 - at由特征方程 :B =0 可得：1-1.0715 B 0.26030解此方程得特征根=2.6863，2 =1.4300由忸| "

34、關(guān)1，則可判斷此模型為平穩(wěn)的AR(2 )模型。由表 2.5 得到?, = E wt 2 =43917126.35pf p、2乞=?0 瓦雪'?j =?0 1 -遲曹j ?jyI 7 丿=43917126.35 X (1-1.0715 X 0.8502+0.2603 X 0.6507=11347654.49為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃侠硇裕?jì)算殘差et =wt -憶的自相關(guān)函數(shù)(如表2.5-2.6 )Wt = % wt 丄 一 $2Wt 二t =5,6,29表2.5tWtv?tettWtv?tet3135.4535173565.68152283.62551282.05894-79.222018-108

35、6.63033166.2708-4252.89875126.9926-120.1450247.141319-3128.9569-2092.4713-1036.48416227.6211156.694170.929920-3803.9128-3069.8275-734.08927594.5258210.8399383.684721-3855.3201-3261.4251-593.89178528.7978577.7847-48.987522-1534.8309-3140.81701605.99019-613.8550411.8517-1025.7092232054.3562-641.031526

36、95.388710429.1792-795.39171224.570124-1468.15552600.7592-4068.9185111071.3997619.6519451.751525-2240.8510-2107.8775-132.968612-1166.42441036.2894-2202.7186261224.3654-2018.91093243.277013-578.8757-1528.7091949.8383274789.97401895.20112894.7680141130.3866-316.64501447.03232822558.05494813.754817744.2

37、973151574.99841361.8906213.108329-22968.609022924.1256-45892.7339162513.85681393.37121120.481830-30482.7263根據(jù)殘差分析檢驗(yàn)方法，由n = 25，取,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量:4626 = .、： 25 T2 k 計(jì)算 T k , k =1,2,，6k A.匸1 n -k由匸k二丄,山二et ik，得到結(jié)果見(jiàn)表2.5-2.6。%n i丄表2.6kP(k )2P (k)1-0.29940.08972-0.04190.00183-0.06140.00384-0.03010.000950.08690.0075

38、6-0.02920.00096則可得乂k =0.1045，26 =25 0.1045 =2.6025k 土查 2 分布表，當(dāng) m =6 時(shí)， 2 0.01 = 44.314 ，20.05 = 37.652因?yàn)?6 = 2.6025 ： 37.652，我們可認(rèn)為1為白噪聲序列，所以所建的模型是合適的由 AR(2 序列的預(yù)測(cè)公式：Wt =1.0715 Wtj 0.2603 Wt< +at當(dāng) t =30 時(shí)，W?30 =1.0715( -22968 .6090 )- 0.260322558 .0549 - -30482 .7262于是，根據(jù)公式(2-4)、(2-5),預(yù)測(cè)值Y?0 皿0 +2丫

39、二-丫匚-30482 .7262 -156.95 - 2(-15013 .21 )10655 .66-50010 .4362那么，由(2-1)、(2-3),2007年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)值為：於3。= ?30丫?0 = 260987 .17 50010 .4362= 210976 .7338 （億元）用該模型預(yù)測(cè)所得的值見(jiàn)表2.7，圖2.6為新的預(yù)測(cè)值擬合圖。表2.7（數(shù)據(jù)來(lái)源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2006）年份國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)擬合 預(yù)測(cè)值殘差序列殘差序列2次差分殘差差分零均值化殘差 預(yù)測(cè)值最終 預(yù)測(cè)值誤差19783624.103276.88347.2219794038.203810.82227.381

40、9804517.804431.7586.05-21.49135.4519814862.405153.86-291.46-236.18-79.2219825294.705993.62-698.92-29.96126.99-946.065047.56247.1419835934.506970.22-1035.7270.67227.62-1106.655863.5770.9319847171.008105.95-934.95437.57594.53-1318.636787.32383.6819858964.409426.73-462.33371.85528.80-413.349013.39-48.9

41、9198610202.2010962.72-760.52-770.81-613.85265.1911227.91-1025.71198711962.5012748.98-786.48272.23429.18-2011.0510737.931224.57198814928.3014826.29102.01914.451071.40-349.7414476.55451.75198916909.2017242.09-332.89-1323.38-1166.421869.8319111.92-2202.72199018547.9020051.50-1503.60-735.83-578.88-2453.4417598.06949.84199121617.8023318.69-1700.89973.431130.39-3147.9220170.771447.03199226638.1027118.23-480.131418.041575.00-693.2426424.99213.11199334634.4031536.873097.532356.902513.861977.0533513.921120.48199446759.4036675.4710083.933408.733565.688801.8745477.341282.06199558478