數(shù)學(xué)建模試卷2009(答案)

1、華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)建?？荚嚲恚ò腴_卷）20092010學(xué)年度第一學(xué)期成績(jī)一二三四五六合計(jì)分?jǐn)?shù)101020202020100學(xué)號(hào)專業(yè)班級(jí)姓名、選擇題（每題2分，共10分）（1）建模預(yù)測(cè)天氣。在影響天氣的諸多因素及相互關(guān)系中，既有已知的又有許多未知的 非確定的信息。這類模型屬于（b ）。a.白箱模型 b. 灰箱模型 c. 黑箱模型（2）在城鎮(zhèn)供水系統(tǒng)模型中，水箱的尺寸是（ca.常量 b. 變量 c. 參數(shù)異常點(diǎn)來源于（c ）（3）在整理數(shù)據(jù)時(shí)，需處理和分析觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的誤差,a.隨機(jī)誤差b.系統(tǒng)誤差c.過失誤差（4）需對(duì)一類動(dòng)物建立身長(zhǎng)與體重關(guān)系的模型。在對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，如已有 30組數(shù)

2、據(jù)，且參數(shù)估計(jì)精度要求較高，應(yīng)采用（b ）估計(jì)參數(shù)。a.圖解法 b. 統(tǒng)計(jì)法 c.機(jī)理分析法（5）在求解模型時(shí)，為了簡(jiǎn)化方程有時(shí)會(huì)舍棄高價(jià)小量（如一階近似、二階近似等） 由此帶來一定的誤差，此誤差是（ a ）。a.截?cái)嗾`差 b.假設(shè)誤差c.舍入誤差、填空題（每空1分，共10 分）（1）已知函數(shù)y = 1 a sin x i亠a" 2 cos x，當(dāng)a很小時(shí)，一階近似為（y=l+as（n ） x ），當(dāng)很小時(shí)，二階近似為（ y = l+ a0dx+a22），而當(dāng)X很小時(shí)，一階近似為（y=l+aG）x+a%2），二階近似為1（ y=1a，x 2a 2 = 2a 4 x ）。2（2）學(xué)校共

3、有3個(gè)系，甲系103人，乙系63人，丙系34人。學(xué)生會(huì)共設(shè)有20個(gè)成員, 按Hamilton方法分配名額為（10 ,6 ,4 ），按Q值法分配名額為（11 ,6,3）_3（3）使用三次樣條函數(shù)S3 x = :g害 畔匸亠»進(jìn)行插值在兩節(jié)點(diǎn)間S3 X是（3 ）次多項(xiàng)式，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上S3 x既連續(xù)又（光滑 ）。S3 X中共有（n+3）個(gè)待定系數(shù)，可由（ 插值 ）條件唯一確定、生活在阿拉斯加海濱的鮭魚服從 Malthus （馬爾薩斯）生物總數(shù)增長(zhǎng)律:0.003 pt，其中P（t）是t時(shí)刻鮭魚總數(shù)，t按分計(jì)。在時(shí)刻t =0, 群鯊魚 dt定居在這片水域，開始捕食鮭魚，鯊魚捕殺鮭魚的速率為0.

4、001 P2（t）。此外，由于在它們周圍出現(xiàn)意外情況，平均每分鐘有0.002條鮭魚離開阿拉斯加水域。（1） 考慮到這兩種因素，試修正馬爾薩斯生物總數(shù)增長(zhǎng)律；（5分）（2） 假設(shè)在t =0時(shí)存在一百萬條鮭魚，當(dāng)t時(shí)發(fā)生什么情況？ （ 15分）解：（1）修正后的馬爾薩斯生物總數(shù)增長(zhǎng)律為:3#dP tdt2= 0.003 p t -0.001 p:0.002(2)令:e,2f t i= 0.003 p t - 0.001 p t - 0.002整理:2e,p 3 p 2 = 0 二 p -2 ii p -1= 0平衡解：pi =2 p1f t =0.003 -0.002 p tf 2 = 0.003

5、 - 0.004 二-0.001 : 0f 1 = 0.003 - 0.002 =0.0010平衡點(diǎn)p = 2是穩(wěn)定的。即：lim p = 2 當(dāng)t時(shí)還剩兩條鮭魚。t j:#四、沿河有三城鎮(zhèn)甲、乙和丙，污水需處理后才能排入河中。三城鎮(zhèn)單獨(dú)建立污水處理 廠分別需投資230萬元、160萬元和230萬元。如甲、乙聯(lián)合建廠，需投資 350萬 元；乙、丙聯(lián)合建廠，需投資 365萬元；甲、丙聯(lián)合建廠，需投資 463萬元；三城 合作建廠，需投資556萬元。如果聯(lián)合建廠，各城鎮(zhèn)如何分擔(dān)費(fèi)用？ （20分）解：將分擔(dān)費(fèi)用問題轉(zhuǎn)化為效益分配問題。即三城合作建廠節(jié)約了投資，產(chǎn)生了效益, 可以用Shapley值方法分配

6、這個(gè)效益。此問題為3人合作對(duì)策。I =1,2,3?定義特征函數(shù)：聯(lián)合建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約的投資計(jì)算1：s11,2 1,3 1,2,3 v(s)0 t40064V(S- 1)00025v(s)- v(s- 1)0400P 39s1223w( s )1/3 11/61/6r 1/3w( s ) v(s)- v(s- 1 06.67013v._=0,v1=v2 =v3 =0v 1,2 ; = 230160 - 350 二 40v 2,3 ; = 160230 - 365 = 25230230 - 463 : 0= v 1,3 =0v I= 230160230 - 556 = 64l.v s -v s

7、-1 1 I - 6.6713 = 19.671 vw ss _ 1計(jì)算2：計(jì)算3：s21,2 2,3 1,2,3 v(s)0 :402564v(s- 2)0000v(s)- v(s- 2)04025P 64s1223w( s )1/3:1/61/61/3w( s ) v(s)- v(s- 206.674.1721.336.674.1721.33= 32.17s31,3 2,3 1,2,3 v(s)0 :02564v(s- 3)00040v(s)- v(s- 3)0025P 24s1223w( s )1/3 :1/61/6r 1/3w( s ) v(s)- v(s- 3004.178w | s

8、 lv s v . 2 /1 =5由 F 二 1 ,二 2 = 0=Vi ,其中為未知函數(shù)3 v = ' w ： I s| ： v s ： - v s - ',3 = 4.178 = 12.17S3分配向量為： G V =19.67 ,32.17 ,12.17在聯(lián)合建廠總投資額556萬元中各城的分擔(dān)費(fèi)用為：甲城：230一 Jv=乙城：160-譏v=丙城：230-3v=230-佃.67= 210.33萬元160- 32.17= 127.83萬元230- 12.仃=217.83萬元7由 F 二 1 ,二 2 = 0=Vi ,其中為未知函數(shù)#由 F 二 1 ,二 2 = 0=Vi ,

9、其中為未知函數(shù)五、建模描述阻尼擺的運(yùn)動(dòng)周期。質(zhì)量為m的小球系在長(zhǎng)度為I的線的一端，稍偏離平衡位置后小球在重力 mg作用下做往復(fù)擺動(dòng)。考慮阻力，并設(shè)阻力與擺 的速度成正比，比例系數(shù)為k。（1）求擺動(dòng)周期t的表達(dá)式。（15分）（2） 討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計(jì)算原型擺的周期。（5分）解：（1）設(shè) f t,l ,m,g,k =0, m =5量綱：ltl=Tml=Mg 丄 LT0 10 1量綱矩陣：A= 0 010.10 020 11-1010001J00有m-r =5-3=2個(gè)基本解。y21 1 1 1即：；=l2 m2k二2 = tl 2 g2F 二 1,二2 =0 與 f t

10、,l,m,g,k =0 等效。1 11 1r由二2 =tl 2g2= t = l2 g 2 - 2 =Z -2g#由 F 二 1 ,二 2 = 0=Vi ,其中為未知函數(shù)#由 F 二 1 ,二 2 = 0=Vi ,其中為未知函數(shù)#由 F 二 1 ,二 2 = 0=Vi ,其中為未知函數(shù)#由 F 二 1 ,二 2 = 0=Vi ,其中為未知函數(shù)設(shè)對(duì)原型有:t(2)物理模擬的比例：又設(shè)g二g k二k1 1則當(dāng)-_ =時(shí)，即I=m成立時(shí)，就有:m m l m#由 F 二 1 ,二 2 = 0=Vi ,其中為未知函數(shù)#由 F 二 1 ,二 2 = 0=Vi ,其中為未知函數(shù)#由 F 二 1 ,二 2

11、= 0=Vi ,其中為未知函數(shù)六、一垂釣俱樂部鼓勵(lì)垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給予獎(jiǎng)勵(lì)， 俱樂部只準(zhǔn)備了一把軟尺用于測(cè)量，請(qǐng)你設(shè)計(jì)按照測(cè)量的長(zhǎng)度估計(jì)魚的重量的方 法。假定魚池中只有一種鱸魚，并且得到8條魚的數(shù)據(jù)（胸圍指魚身的最大周長(zhǎng)） 設(shè)：，其中w為魚的重量，I為魚的身長(zhǎng)，:-為待定參數(shù)。試用以下數(shù) 據(jù)確定參數(shù)。（20分）身長(zhǎng)（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）76548211627374821389652454 :胸圍（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6解：直接用已給數(shù)據(jù)擬合設(shè) w = ： l - = in w = inI in l = Y = a bX身長(zhǎng)（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）765482 111627374821389652454胸圍（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6X3.613.46 13.783.613.473.813.583.47:均值3.60Y6.646.187.066.606.187.246.486.12均值6.56x -X0.01-0.140.180.01-0.130.21-0.02-0.13Y Y0