數(shù)學(xué)物理方程-第五章格林函數(shù)法

1、第五章格林函數(shù)法在第二章中利用分離變量法求出了矩形區(qū)域和圓域上位勢方程Dirichlet 問題的解.本章利用Green函數(shù)法求解一些平面或空間區(qū)域上位勢方程Dirichlet問題.另外，也簡單介紹利用Green函數(shù)法求解一維熱傳導(dǎo)方程和波動方程半無界 問題.應(yīng)指出的是：Green函數(shù)法不僅可用于求解一些偏微分方程邊值問題或初 邊值問題，特別重要的是，它在偏微分方程理論研究中起著非常重要的作用.§ 5 1格林公式在研究Laplace方程或Poisson方程邊值問題時，要經(jīng)常利用格林(Green) 公式，它是高等數(shù)學(xué)中高斯(Gauss)公式的直接推廣.設(shè)門為R3中的區(qū)域，沽' 充

2、分光滑.設(shè)k為非負(fù)整數(shù)，以下用Ck(")表示在 門上具有k階連續(xù)偏導(dǎo)的實函數(shù)全體，CkC)表示在上具有k階連續(xù)偏導(dǎo)的實 函數(shù)全體.如u 廠C()C(C)=C0()，表示u(x,y,z)在門具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)而在門上連續(xù).另外，為書寫簡單起見，下面有時將函數(shù)的變量略去 . 如將P(x, y, z)簡記為P，- P(x,y,z)簡記為蘭或PX等等.ex6x設(shè) P(x,y,z)，Q(x, y,z)和 R(x,y,z). cZ)，則成立如下的 Gauss公式FP cQ cR! ()dV 二 Pdydz Qdydx Rdxdy(1.1)門 x:yz土i或者FPEQFRiii()dV 二(Pco

3、s-：】 Qcos： Rcos )ds (1.2)：x；：y：z土i如果引入哈米爾頓(Hamilton)算子：' =(厶，厶，二)，并記F = (P,Q, R)，ex cy cz則Gauss公式具有如下簡潔形式hi Fdv = F nds(1.3)Q6其中n =(cos,cos :,cos )為的單位外法向量.注1 Hamilton算子是一個向量性算子，它作用于向量函數(shù) F = (P,Q,R)時,其運算定義為燈 F =(P,Q,R):x : y z；:P g ；:R=十十:x :y :z形式上相當(dāng)于兩個向量作點乘運算，此即向量F的散度divF .而作用于數(shù)量函數(shù)f(x,y,z)時，其運

4、算定義為'、fL'、L、jx 鋼；zf f f：x' jy' :z形式上相當(dāng)于向量的數(shù)乘運算，此即數(shù)量函數(shù)f的梯度grad f .設(shè) u(x, y, z)，v(x, y,z) C2()，在(1.3)中取 F = v得直接計算可得illv)dV = u' v nds(1.4)'、v)二 U v lv(1.5)其中 v = vxx - vyy -vzz.將(1.5)代入到(1.4)中并整理得cvi i iu vdV 二 u ' ds I, u 'vdV Q40(1.6)(1.6)稱為Green第一公式.在(1.6)中將函數(shù)u， v的位

5、置互換得,r- uiiiv udV 二 v ds hi v 'udV(1.7)自(1.6)減去(1.7)得-v uiii(u ：v-v u)dV = (u v ' )ds Q五衍吊(1.8)(1.8)稱為Green第二公式.設(shè)點 P0(,)"，點 Hxyz) R3，rPoP =|P° -PI =(X- )2 (y- )2 (z- )2.引1入函數(shù)丨(P,R)二，注意丨(P,R)是關(guān)于六個變元(x, y, z)和，)的函數(shù)4叫p且-(P,P0 -(P),P).如無特別說明，對b求導(dǎo)均指關(guān)于變量(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù). 直接計算可得-(PR) =0, P = P

6、°即-(P,P。)在F3中除點P0外處處滿足Laplace方程.設(shè)名0充分小使得 B=B(r®=p(x,y,z)|p pjm町ua.記g=g b,則：G - 一 B .在Green第二公式中取v (P,P0),= G .由于在區(qū)域G內(nèi)有工=0，故有u iiiT <ud(u)dsg?；：n；：n或者iiiCudV = (u)ds亠 ii(u)dsG丑向矽Icn(1.9)在球面汨上,.:n _:r薊4 1)4"rP0P1冴-4nr2，因此bS(心(1.10)其中 p(x,y,z)： B.同理可得.；：u I 1：:uu ,.、B 點石BdS。，八Z)(i.ii)

7、其中 P(xyz)將(1.10)和(1.11)代入到(1.9)中并令；、p(x,y,z) > P0(,)，0 ，此時有(x ,y ,z ) > 0， n并且區(qū)域G趨向于區(qū)域門，因此可得-it- . . . - ud. .(uu)ds u(,)，Qq m 川“嗚嚕-噲叫“ udV(1.12)(1.12)稱為Green第三公式.它表明函數(shù)u在門內(nèi)的值可用門內(nèi)的厶u值與邊界 ：門上u及的值表示n注2 在二維情形，Green第一公式和Green第二公式也成立.而對于Green1 1第三公式，需要取丨(P,P。)一I n,其中P°，)"，P(x,y)R2，2兀 r仏p=|

8、P0-P|- (X)2(y- )2 .此時Green第三公式也成立.§ 5 2 Laplace 方程基本解和 Green函數(shù)基本解在研究偏微分方程時起著重要的作用本節(jié)介紹Laplace方程的基本 解，并在一些特殊區(qū)域上由基本解生成 Green函數(shù)，由此給出相應(yīng)區(qū)域上Laplace 方程或Poisson方程邊值問題解的表達(dá)式.下面以Dirichlet問題為例介紹Laplace 方程的基本解和Green函數(shù)方法的基本思想.5. 2.1基本解設(shè)Pc( , , )R3，若在點P。放置一單位正電荷，則該電荷在空間產(chǎn)生的電位分布為(舍去常數(shù)；o)u(x,y, z)二-(PR)=14 rP0P(2

9、.1)129易證：-(P, F0)在R3R滿足-u =0 .進(jìn)一步還可以證明1，在廣義函數(shù)的 意義下丨(P,R)滿足方程- u- (P,F0)(2.2)其中(P, F0)(x- )：(y- Yz- ). - (P, F0)稱為三維Laplace方程的基本解.當(dāng)n=2時，二維Lap lace方程的基本解為(2.3)其中 P0( , )，P(x,yr R2，rp°p.(x- J2 (y- )2 .同理可證，】(P,P。)在平面上除點P0(,)外滿足方程沁=0，而在廣義函數(shù)意義下-(P,P0)滿足方程(2.4)- u- (P,R)其中、(P,R) (X )、(y - ).注1根據(jù)Lapla

10、ce方程的基本解的物理意義可以由方程(2.2)和(2.4)直 接求出(2.1)和(2.3)，作為練習(xí)將這些內(nèi)容放在本章習(xí)題中.另外，也可以利 用Fourier變換求解方程(2.2 )和(2.4)而得到Lap lace方程的基本解.5. 2.2 Green 函數(shù)考慮如下定解問題：f (x, y, z), (x,y,z)門u(x,y,z)二(x, y, z), (x, y,z) (2.5)(2.6)三公式可得在公式（2.7） 自由項求出，即有u（,）二（u-u ）ds iiudV的右端，其中有兩項可由定解問題（2.5） （ 2.6 ）的邊值和(2.7): u而在ds中,u dsds'j ；

11、nmm、udV二-f d.VQQ赳 在邊界:-上的值是未知的.因此須做進(jìn)一步處理.Pu注2若要求解Neum訕問題，即將（26 ）中邊界條件換為（x,山.AT此時，在方程（2.7 ）右端第二項 u ds中，u在邊界上的值是未知的, 而其余兩項可由相應(yīng)定解問題的邊值和自由項求出.如何由（2.7 ）得到定解問題（2.5）-（2.6）的解？ Green的想法就是要消去（2.7）右端第一項-ds.為此，要用下面的Green函數(shù)取代（2.7 ）中的基本解.設(shè)h為如下定解問題的解一 h =0 ,(x, y,z)門 h 一 -,(x, y,z) ；：11在Green第二公式中取v二h得(2.8)(2.9)或者

12、iiihidV 二 (u-h-ds QG衍 衍(2.10)u(x, y,z) C2)-C1)是(2.5) (2.6)的解，則由 Green 第131#將（2.7）和（2.10）相加得#(2.11)(2.12)(2.13)u( , , ) = (G u )ds ! ! ! G ：udV其中 G(P,R) h.由(2.2)和(2.8)( 2.9)可得，G(P,p0)是如下定解問題的解一 ：G - (P,R), P(x,y,z) "G(P,R) =0, P(x,y,z) G(P,P0)稱為Laplace方程在區(qū)域門的Green函數(shù).由于G在沖上恒為零，由(2.11河得u( , , ) -

13、- u ds 11 iGudV(2.14)因此，若求出了區(qū)域的Green函數(shù)G(P,R)，則(2.14)便是定解問題(2.5) (2.6)的解.§ 5 3半空間及圓域上的Dirichlet 問題由第二節(jié)討論可知，只要求出了給定區(qū)域門上的Green函數(shù)，就可以得到該 區(qū)域Poisson方程Dirichlet問題的解.對一般區(qū)域，求Green函數(shù)并非易事.但對 于某些特殊區(qū)域，Green函數(shù)可借助于基本解的物理意義利用對稱法而得出.下 面以半空間和圓域為例介紹此方法.5. 3.1半空間上Dirichlet 問題設(shè)門=( x, y,z)|z 0,二( x, y,z) | z = 0.考慮定

14、解問題(3.1)(3.2)- u = f (x,y,z),(x,y,z)門u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2設(shè)卩0(匕,3匚)乏0,則Rd®為R關(guān)于曲的對稱點.若在P。，P兩點各放 置一個單位正電荷，則由三維 Lap lace方程的基本解知，它們在空間產(chǎn)生的電位 分別為其中r。=|丘-PI"司P -P|.由于P和R關(guān)于曲對稱，且RW，故有!drr(P,F0)F(P,R)=6(P,R), PQ k(P,F0)-F(P,R)=O,即G(P,R) (P,P。)-丨(P,R)為上半空間的Green函數(shù)，且有G(PR)-(P,FO)(P,Pi)1 ，Z1 14 二1 - j

15、(X_t) +(_) +(Z_r)J(X-') +()+(z+r) _4:直接計算可得；：G；:n1 型1- -3/22 二_(x -) (y -)(3.3)(3.4)133將(3.3)(3.4)代入到公式(2.14)得Gds 亠小 Gfd、n門12-v；'(x, y) dxdy3/2)2 (y )22 3/20 ； ；G(P,P0)f(x,y,z)dxdydz上式便是定解問題(3.1) (3.2)的解.5. 3.2圓域上Dirichlet 問題設(shè)門二(x, y) | x2 y2R2，貝U 丁=(x,y)|x2y2二R2.考慮圓域門上的Dirichlet 問題(3.5)(3.6

16、)-u = f(x, y), (x, y)門 u(x,y) =g(x,y), (x,y) - ；：fl設(shè)P°(V)切,R()為p。(盯)關(guān)于圓周 曲的對稱點,即OP°|OR|= R2, 如圖3-1所示.由于OR OR| = R2，因此對任意M靈。有P1''：OP0M OMP1rP°M _ | OP0 I8mR#rP0M1 OP0 1 rpM圖3.1因此有1 In 12：二rp)MIn R 1 =01 OP0 IRM(3.7)135#上式說明函數(shù)G(P,F0)二In2 爲(wèi)rpop In旦丄2| Op)|pp(3.8)在於上恒為零.又由于p更。，故有-

17、 ：G(P,F0)(PR), p -G(PR) =0, P .即G(P;R)是圓域上的Green函數(shù).引入極坐標(biāo)P()，設(shè)P0( , ) =P(七i)R2，則 P(J") =P(云,用卩0用表示op與0P的夾角，則有cos：二cosr0cosv sin 二0 s in v -cos(0 -v)利用余弦定理可得rp = ： 2 J220 cos：(3.9)rpp =丄 Jr4 + PP2 _2(>0pR2 cosa1 0(3.10)將(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得G(P,R) -ln4?？蒖2 '2R2 f R2cosC° -巧R4可'

18、;2-24氓23$包-巧(3.11)直接計算可得-I.n |-G2二 R R2 可-20RcosG。-旳(3.12)#記 C) = g(Rcos,Rsin)，則有#dsGfdcQdr -(R2 - 為 G)R2 可-2RoCOS(m 一耳x：fc、m；加補z(3.i3)(3.13)便是定解問題(3.5) (3.6)的解.注1當(dāng)f =0時(3.13)稱為圓域上調(diào)和函數(shù)的 Poisson公式.注2利用復(fù)變函數(shù)的保角映射，可以將許多平面區(qū)域變換為圓域或半平面. 因此，與保角映射結(jié)合使用，可以擴大對稱法以及 Green函數(shù)法的應(yīng)用范圍.在 本章習(xí)題中有一些這類題目，Green函數(shù)法更多的應(yīng)用可查閱參考

19、文獻(xiàn)13.§ 5 4* 一維熱傳導(dǎo)方程和波動方程半無界問題5. 4.1 一維熱傳導(dǎo)方程半無界問題為簡單起見，僅考慮以下齊次方程定解問題廠2ut -a ux = 0 , 0<xv=o ,t=0(4.1)* u(0,t) =0 , t 30(4.2)u(x,0) =®(x) , 0 vx <乞(4.3)該定解問題稱為半無界問題，這是一個混合問題，邊界條件為(4.2).類似于 上節(jié)Poisson方程在半空間和圓域上 Dirichlet問題的求解思想，也要以熱方程的 基本解為基礎(chǔ)，使用對稱法求出問題(4.1) ( 4.3)的Green函數(shù)，并利用所 得到的Green函數(shù)

20、給出該問題的解.一維熱傳導(dǎo)方程的基本解為-(x,t)-2e 4atH (t)(4.#(4.#-(x,t)是如下問題的解； 2(4.4)(4.5)* a u心=0, -:： x ： ：, t 0u(x,0) =、(x), - ： : x ：.相當(dāng)于在初始時刻t = 0，在x = 0點處置放一單位點熱源所產(chǎn)生的溫度分布.若將 上面定解問題中的初始條件換為u(x,0) =(x - ')，只要利用平移變換x x-易得此時(4.4) ( 4.5)的解為】(x- ,t).為求解定解問題(4.1) ( 4.3)，先考慮®(x)，(x-勺，其中©為x軸正半軸上的任意一點.此時，相當(dāng)

21、于在X- 點處置放一單位點熱源.則此單位點 熱源在X軸正半軸上產(chǎn)生的溫度分布，如果滿足邊界條件(4.2)，它便是(4.1) (4.3)的解，即為該問題的Green函數(shù).為此，設(shè)想再在x二一點，此點為x二關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，處置放一單位單位負(fù)熱源，這時在x二 點處置放的單位點熱源產(chǎn)生的溫度分布：(x- ,t)和在X二一處置放的單位負(fù)熱源產(chǎn)生的溫度分布-】(X ,t)在x=0處相互抵消，從而在x=0處的溫度恒為零.因此，問題(4.1) ( 4.3)的Green函數(shù)為G(x -，t)=丨(x -，t) - (x 亠：,t)(4.6)利用疊加原理可得原問題的解為0u(x,t) =() G(x- ,t

22、)d .(4.7)0若將(4.2)中的邊界條件換為u(0,t)二g(t)或匕(0,0=0，請同學(xué)們考慮如 何求解相應(yīng)的定解問題.5. 4.2 一維波動方程半無界問題 考慮以下齊次方程定解問題(4.8)(4.9)(4.10), 2Utt - a Uxx =0, 0 X ：二，t 0 u(0,t) = 0, t 一0u(x,0) = 0, ut(x,0) = (x), 0 ： x ：一維波動方程的基本解-(x,t)為-(X；t)二 2a【0,x vatx - at.(4.137完全類似于上小節(jié)的分析，可得該問題的Green函數(shù)為(4.11)G(x-, t)二】i (x- ,t )- I (x ，其

23、中 0.因此，該定解問題的解便可表示為O0u(x,t .' ( ) G(x- ,t)d .0注意到:(x - ,t)的具體表示式為類似地有-(x- ;t)= 2a【°，x-t:at丄:(x ;t)二 2a! 0,x - at將上面兩式代入到（4.12）中并整理可得_1u(x,t)=x -at屮(E)d 匕,x at K 02axt“ x-lat1()d , x - at : 0.2a a若將（4.9）中的邊界條件換為匕（0力=0，請同學(xué)們考慮如何求解相應(yīng)的定 解問題.注1對一維波動方程半無界問題，除上面使用的Green函數(shù)法以外，也可以用延拓法或特征線法求解1.相比之下，Gr

24、een函數(shù)法最簡單.注2類似于本章前兩節(jié)，對一維熱傳導(dǎo)方程和波動方程初邊值問題，也可 以建立起解的Green公式表達(dá)式，相當(dāng)于本章第二節(jié)中的（2.14）,并以此為基 礎(chǔ)而給出上面（4.7）和（4.12）兩式的嚴(yán)格證明2.由于本章主要是通過對一些 比較簡單的偏微分方程定解問題的求解，重點介紹Green函數(shù)法的基本思想和一些特殊區(qū)域Green函數(shù)的具體求法，故略去了 （4.7）和（4.12）兩式的推導(dǎo)過程.習(xí)題五1 設(shè)門R3為有界區(qū)域，：心充分光滑，C2C9 C1）.證明(1) ! udV ds.nCU2(2) JJJu也udV = JJu ds-JHNu' dV.n門2.設(shè)門 R3為有界

25、區(qū)域，血充分光滑，u C2C9' C1)滿足下面問題3u =uxx +山+uzz =0, (x,y,z)£Qu(x, y, z) = 0, (x,y,z)QQ .證明u(x,y,z)=0，并由此推出Poisson方程Dirichlet問題解的唯一性.若將(4.139定解問題中的邊界條件換為'U =0, (x,y,z)三：，問U(x,y,z)在門中等于什么？dnPoisson方程Neumanri可題的解是否具有唯一性？3”設(shè)二二R3為有界區(qū)域，C充分光滑，u C2C9 C1C)滿足下面問題u(x,y,z)二(x,y,z), (x,y,z)：門.141#其中c(x,y,z

26、)在閉域非負(fù)有界且不恒為零.證明或求解以下各題(1) 如果 f 7( x, y,z)即= 0,(x, y, z)；：證明 u(x, y,z)三 0 .u(2) 如果 f =0,( x, y,z) ，而邊界條件換為 一 =0, (x, y,z11，問 u(x, y,z)在區(qū)域】中等于什么?4. ( 1) 驗證鬥r -0，P = P0，其中“止).g )2 (y- )2 (z- )2小3"PAH,#(2)設(shè) u=u(r), r=. x y ，求 uxx uyy = 0,r = 0，并且滿足 u(1) = 0,' u n ds = -1的解，其中B(0,、：)是以原點為圓心為半徑的

27、圓形域，n為.:B(0 )的單位外法向量.(3) 設(shè) u =u(r), r = x2 y2 z2，求 u 比丫 uzz =0，"0，并且 滿足lim u(r) =0Il u nds = -1的解，其中B(0,：)是以原點為球心：為半徑的T蠱© §球形域，n為汨(0,)的單位外法向量.5. 設(shè)門R2有界區(qū)域，小 充分光滑，CH)-C1).證明(u)ds 11 廠：、ud匚其中Pd( , ) 1 1，- (P,P)如第4題所示.6. 設(shè)門 R2有界區(qū)域，充分光滑，P)( , ) ' 1，P(x,y)，R2，- (P,P。)為二維Lap lace方程的基本解.考

28、慮定解問題_ ：u =f(x,y), (x, y) u(x,y)二(x,y), (x,y) 小若h(x, y)是如下定解問題的解：h =0, (x, y) 11h(x, y)(PR) ,(x,y)證明 若 u(x, y) C2e - C1)，則有u( , )ds Gfd匚，其中G h .7. 設(shè)門R3有界區(qū)域，沽' 充分光滑，考慮定解問題-：u = f (x,y,z), (x,y,z)門=®(x, y,z), ( x, y, z)Q.證明該問題可解的必要條件為fdV亠丨®ds = 0.8"證明上半空間Lap lace方程Dirichlet問題的Green函

29、數(shù)G(P, P0)滿足0 ：G(P,R)：14 rp0p2(x,y) R ,z 0, P = F0.對平面上圓域Laplace方程Dirichlet問題的Green函數(shù)G(P,P0)，給出類似結(jié)果.9. 利用對稱法求二維Lap lace方程Dirichlet問題在上半平面的Green函數(shù), 并由此求解下面定解問題一 u = 0, x (：，：)，y 0u(x,0 (x), x (：，：).10. 求二維Laplace方程在下列區(qū)域上 Dirichlet問題的Green函數(shù).(1)'(x, y)|x y.(2)i(x,y)|x 0,y 0.11. 設(shè):1 _(x,y) |x2 y2 ：

30、R2, y 0.考慮半圓域 Dirichlet 問題- u =0, (x,y) 11u(x, y) =(x,y), (x,y) U.應(yīng)用對稱法求區(qū)域11上的Green函數(shù).12”求解定解問題-u £ , x ,y z ) 1u( x, y, z) g( x, y, z) , (x ,y z)其中：u 二 Uxx UyyUzz,B(O,R)二(x, y,z)R31x2y2z2：R2.13.解對邊值的連續(xù)依賴性設(shè)門為半徑等于R的圓域，考慮如下問題-.叫=f (x,y), (x, y) .1®(x,y)勺。,y),(x,y)小 k=1,2.利用Poisson公式證明|U2(X,

31、y) -u/x, y)| 蘭 max g2(x, y) - gx, y)|(x, y)3G* 1 114證明在廣義函數(shù)的意義下，】(P,0)= In 滿足Z(x)：(y)， 2兀r其中 r _、x2 y2, u 二Uxx Uyy.15”設(shè)門為半徑等于R的圓域，考慮如下問題- u =0, (x,y)門u(x,y)二 g(x, y),(x,y).如果g(x, y)在連續(xù)，證明由Poisson公式給出的解是該問題的古典解(真解).16設(shè)u(x, y)為平面上區(qū)域門上的調(diào)和函數(shù),PAxy。)" 且B(F0,R)'J .證明調(diào)和函數(shù)的平均值公式u(x°,y°)u(x, y)ds =B(P),R)1二 R2u(x,