數(shù)學解題中的差異分析法

1、數(shù)學解題中的差異分析法程富良所謂差異分析法簡單就是尋找題目中條件與結(jié)論之間的差異，再通過不斷平衡這些差異達到解題目標的方法。差異分析可以為我們確定解題的方向，一旦找到平衡，就要做到立即平衡差異，直到到達目標 【例題1】1 133a-a(3)11a-a求下列各式的值:（高一練習冊 P35例4）已知a" =3，1 2 2(1) a a ；( 2) a a ；1 11十1【分析】（1）差異：條件a2 a 2 =3中的指數(shù)分別為和-2 2結(jié)論a a J中的指數(shù)分別為1和-1即結(jié)論中的指數(shù)分別是條件中的指數(shù)是2倍1 1平衡：易知將a2 a三=3兩邊同時平方就達到差異平衡1 1 1 1解：由 a

2、2a 2= 3得：（a2 a 2）2= 32即 a a-19 所以 a aJ = 7（3）略x【例題2】（高一練習冊P44第9題）若lg x Tg y =2lg（x-2y），則Og 2.v y【分析】差異：條件lg x lg2 lg（ x -2y）的左邊是和的形式，右邊是單項平衡：lg x lgy =lgxy =2lg(x -2y)差異：等式l gx y二2 l g冶y左邊的系數(shù)為1，右邊的系數(shù)為2平衡：lgxy= lg& 龍)即有 xy = (x - 2y)2，整理得 x2 - 5xy 4y2 = 0差異：22x等式x -5xy 4y =0的左邊都是二次項，而結(jié)論中的l o g2 的

3、真數(shù)y-是分式形式y(tǒng)平衡：將x2 -5xy 4y2 =0兩邊同除以y2即可得到-的形式y(tǒng)解：由 lg x lg y =2lg( x-2y)得：lgxy= 2 l 嘆 22 lg xy =lg(x _2y) xy 二(x -2y)22 2 x _5xy 4y =0將上式兩邊同除以y2得：-(蘭)2 _5蘭 4=0y y =4 或 1y又；x 0, y 0,x -2y 0嘰廠嘰4 = log 216【例題3】(高一練習冊P31例4)設函數(shù)f (x)對任意的x, y R ,都有2f (x y) = f(x) f(y)，且 x 0 時，f (x) ： 0, f (1)=3(1)證明：f (x)是奇函數(shù)

4、；(2) f (x)在R上為減函數(shù).【分析】(1)要證明f (x)是奇函數(shù)即要證明對任意的x R，有f(-x) - - f(x)，也就是 f (x) f( -x) =01 f (x)川f (v) = f (x v)差異：對比知等式左邊存在y與(-x)的不同t f(x) + f(-x)=0平衡：令y - -xf (x) + f (y) = f (x + y)差異：一旦左邊相同，右邊就是f(0)與0的差別i f (x) + f (x) =0平衡：證明f(0) =0 證明：因為函數(shù)f (x)對任意的x, y R，都有f(x，y)二f(x) f(y)所以令 x=y=0有：f(0)=2f(0) , f(

5、0) =0令 y=-x 有：f(x)f( -x) = 0, f (_x) - - f (x)故f (x)是奇函數(shù)【分析】(2)要證明f (x)在R上為減函數(shù)即要證明對任意的N ：: x2有：f (x2) - f (xj ：: 0差異：對比f (x2) - f (xj ： 0與f (xf (x) f (y)，第一個不等式是差的形式，第二個等式是和的形式平衡：將 f (x y f (x) f (y)改成差的形式：f (x y) 一 f (x) = f (y)差異：對比 f (x2) - f (xj ： 0與 f (x y) - f (x) = f (y)的左邊，存在 x2 x y ,%x的差別平衡

6、：令x y =x2 , x二為差異：通過平衡，f (x y)f (x)二 f (y)變?yōu)椋篺 (x2) - f (xj = f (x2 - xj，與f (x2) - f (n) ： 0比較：存在等式與不等式的差別平衡：證明f(x2 -xj ： 0(2)證明：由 f (x y f (x)f (y)得：f (x y) - f (x) = f (y)令 x y = x2, x = %，貝H y = x2 - 則:f(X2)- f (xj = f(X2 -Xi)設 xx2，則 x2 - x1 0,又因為 x 0時，f(x) ：0，所以 f(X2 - Xi) ：0所以 f(X2) - f (Xi) ： 0，即 f(X2) ： f (Xi),5所以f(X)在R上為減函數(shù).例題1存在指數(shù)上的差異，通過平方很順利地就能平衡，例題2,例題3主要是結(jié)構(gòu)形式上的差異，通過尋找差異，平衡差異，產(chǎn)生新的差異，再平衡新的差異，逐步縮小條件 與結(jié)論之間的差異，從而到達解題目標。事實上很多高一的學生課本的大部分習題會做，而課外的一些練習往往又一籌莫展， 希望此片小文對你們有一點點啟示。【嘗試練習】1，設 a2 =b4 =m(a 0,b0),且 a b = 6，則 m= ；x xy 2，已知 x 0,y0，且 x 2、xy - 3y = 0