第2章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、223232(1)324(2)263(3)5564yxd ydydxyxdtdtdtd yd ydyyxdtdtdt2222(4)33(5)yxxyxd ydyyxdtdt O -x y(t) x(t) +x O -y1 +y1 +y2 -y2 y(t) x(t) 3.消去中間變量，列出各變量間的關(guān)系式。消去中間變量，列出各變量間的關(guān)系式。最后得到只包含最后得到只包含輸入量和輸出量輸入量和輸出量的方程的方程式。式。 4.化成標準形式，即化成標準形式，即輸出量放在方程式的輸出量放在方程式的左端，而輸入量放在方程式的右端左端，而輸入量放在方程式的右端，且各，且各階導(dǎo)數(shù)項按降冪排列階導(dǎo)數(shù)項按降冪排列

2、 * 建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)：建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)： 機械運動：機械運動： 牛頓定理、能量守恒定理牛頓定理、能量守恒定理 電電 學(xué)：學(xué)： 歐姆定理、基爾霍夫定律歐姆定理、基爾霍夫定律 熱熱 學(xué)：學(xué)： 傳熱定理、熱平衡定律傳熱定理、熱平衡定律機械運動系統(tǒng)的三要素機械運動系統(tǒng)的三要素質(zhì)量質(zhì)量 m m ( )x t 參考點參考點 ( )v t ( )mft 22( )( )( )mddftmv tmx tdtdt 彈簧彈簧 k1212( )( )( )( )( )( )( )kttftk x tx tkx tkv tv tdtkv t dt k 參參考考點點 參參考考點點 1( )v t 1( )x t

3、2( )v t 2( )x t ( )kft ( )kft f 參考點參考點 參考點參考點 1( )v t 1( )x t 2( )v t 2( )x t ( )fft ( )fft 1212( )( )( )( )( )( )( )fftf v tv tfv tdx tdx tfdtdtdx tfdt m x(t) y(t) f 圖圖 2 2- -2 2 機械機械平移系平移系統(tǒng)統(tǒng) k y0 123( )( )( )( )x tx tx tx t（2-1）式中式中21223( )( )( )( )( )( )d y tx tmdtx tky tdy tx tfdt因而式（因而式（2-1）可寫成

4、：）可寫成：22( )( )( )( )d y tdy tmfky tx tdtdt（2-2）圖圖2-3 組合機床動力滑臺及其力學(xué)模型組合機床動力滑臺及其力學(xué)模型根據(jù)牛頓第二定律可得根據(jù)牛頓第二定律可得22( )( )( )( )ooiody td y tf tfky tMdtdt22( )( )( )( )oooid y tdy tMfky tf tdtdt 1f m 2f ox ix 圖 a 2k 1k ox ix 圖 c f 2k 1k ox ix 圖 b f 解：（解：（1）對圖）對圖a所示系統(tǒng)，由所示系統(tǒng)，由牛頓定律有牛頓定律有12122ddd()dddooixxxmfffttt 即

5、即1222ddddddddioooxxxxffmttttx 1f m 2f ox ix 圖 a 1ddddioxxxx kftt 消除中間變量消除中間變量x有有12121dd()ddoioxxf kkkk xfktt （2）對圖）對圖b所示系統(tǒng)，引所示系統(tǒng)，引入一中間變量入一中間變量x并由牛頓定并由牛頓定律有：律有：2ddddooxxfk xtt 2k 1k ox ix 圖 b f x (3)對圖對圖c所示系統(tǒng)，由牛頓所示系統(tǒng)，由牛頓定律有定律有12dd()ddioiooxxfk xxk xtt 即即121dd()ddoioixxfkk xfk xtt 2k 1k ox ix 圖 c f )(

6、t )(tm f k J 圖圖2-4 具有慣性矩、扭矩和阻尼器的旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)具有慣性矩、扭矩和阻尼器的旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) 123( )( )( )( )m tm tm tm t 212( )( )dtm tJdt 2( )( )dtm tfdt 3( )( )m tkt 22( )( )( )( )dtdtJfktm tdtdt M L Tm J1 1 z1 T1 T3 T2 T4 TL z3 z2 z4 J2 2 J3 3 f1 f2 f3 圖圖 2-5 齒輪傳動系統(tǒng)齒輪傳動系統(tǒng) 1111122222343333mLTJfTTJfTTJfT（2-5）（2-6）（2-7）212121123341433213

7、424 = =zzTTzzzzzzTTzzz z ， 1111312222333324mLTJfzzJfJfTzz2231112312242233111123122424mLzzzTJJJzz zzzzzzfffTzz zz z 22311123224eqzzzJJJJzz z （2-8）22311123224eqzzzffffzz z 3124LeqLzzTTz z 11meqeqLeqTJfT M Leq Tm TLeq LeLeq 1 feq 圖圖 2-6 等效等效輪輪系系 Jeq （2-9）22oui R123iii23221dii dtLi RCdt1131iui Ri dtC將方程

8、聯(lián)立求解，消去中間變量將方程聯(lián)立求解，消去中間變量后，即可得到以后，即可得到以為輸入量，以為輸入量，以為為輸出量的電路微分方程式，即：輸出量的電路微分方程式，即： 21121222( )( )( )( )oooid u tdu tR LCR R CLRRu tR u tdtdt所有元件和系統(tǒng)都不同程度地具有非線性所有元件和系統(tǒng)都不同程度地具有非線性特性，例如：元件的死區(qū)、傳動的間隙和特性，例如：元件的死區(qū)、傳動的間隙和摩擦，在大輸入信號作用下元件輸出量的摩擦，在大輸入信號作用下元件輸出量的飽和以及元件存在的非線性函數(shù)關(guān)系等等。飽和以及元件存在的非線性函數(shù)關(guān)系等等。 由于非線性有各種不同的類型，

9、所以也沒由于非線性有各種不同的類型，所以也沒有解析求解的通用方法。有解析求解的通用方法。 具有本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng)，只能用非具有本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng)，只能用非線性理論去處理。線性理論去處理。 1. 忽略非線性因素。忽略非線性因素。如果非線性因素對系統(tǒng)的影響很小，就如果非線性因素對系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略。如死區(qū)、磁滯以及某些干摩可以忽略。如死區(qū)、磁滯以及某些干摩擦等，一般情況下就可以忽略。擦等，一般情況下就可以忽略。2. 切線法，或稱微小偏差法。切線法，或稱微小偏差法。 非線性函數(shù)的線性化方法非線性函數(shù)的線性化方法yk x 00220002( )1()()()2!x xx xyf xdfd

10、ff xxxxxdxdx ( )yf x 00000()()()xxdfyf xxxyk xxdx 00()yf x 0 x xdfkdx 00()yyk x x ykx 12(,)yf xx 110110110220220220222221101102202202211221()()()()2!.xxxxxxxxxxxxfffxxxxxxxxxx xx 110110220220102011022012(,)()()xxxxxxxxffyf xxxxxxxx 當(dāng)系統(tǒng)在平衡點附近工作，忽略高次項，于是當(dāng)系統(tǒng)在平衡點附近工作，忽略高次項，于是（2-21）式可以寫成）式可以寫成 :011102220

11、()()yykxxkxx 01020(,)yf xx 11022011xxxxfkx 11022022xxxxfkx 1122ykxkx ykx 1122yk xk x (226)rcQQdhdtS (227)cQh 1rdhhQdtSS 0rohQ 00h00dhhh hdh1h h2h 將方程式的瞬時值用它的額定值和微小增量之和將方程式的瞬時值用它的額定值和微小增量之和來表示來表示 00,rrrQQQhhhh 000112rrd hhhQQdtSSh 0002rrd hShhQQdth 01(229)2rd hShQdth 將以上各式代入方程式（將以上各式代入方程式（2-28）得：）得：

12、（ 設(shè)設(shè)f(t)是實變量是實變量t的單值函數(shù)，在的單值函數(shù)，在t0的任一有限區(qū)的任一有限區(qū)間上是連續(xù)的或至少是分段連續(xù)的。并且當(dāng)間上是連續(xù)的或至少是分段連續(xù)的。并且當(dāng)t趨于趨于無窮大時，無窮大時，f(t)是指數(shù)級數(shù)的。即存在一個正實數(shù)是指數(shù)級數(shù)的。即存在一個正實數(shù) ，在，在t趨于無窮大時，它使函數(shù)趨于無窮大時，它使函數(shù)e- f(t) 趨近趨近于零。則于零。則f(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換F(s)定義為：定義為： 0( )( )( )stF sL f tf t edt 0( )( )(231)stLf tf t edt 000( )( )( ) ( )ststLf tf t edtf t

13、edtLf t ( )( )f tu t 0(0)( )1(0)tu tt )(tf t O 1 （a） 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)圖圖-10函數(shù)曲線函數(shù)曲線 0001( )111()ststsF sedteseess 0(0)( )(0)tu tR t ( )RF ss 00( )0tf ttt 0( )stF stedt udvuvvdu 令令 ut stdvedt dudt 1stves )(tf t O （b）單位斜坡函數(shù)）單位斜坡函數(shù) 圖圖2-10函數(shù)曲線函數(shù)曲線 002011( )1110stststF steedtssesss 00( )0ttt ( )1t dt )(tf t O

14、 )(t （c）單位脈沖函數(shù)）單位脈沖函數(shù)圖圖2-10函數(shù)曲線函數(shù)曲線 ( ) ( )(0)t f t dtf 00000( )( )( )( )01ststststtF st edtt edtt edte ( )stf te ()00()0( )11atsts a ts a tF se e dtedtes as a ( )sinstF stedt 1sin()2j tj tteej ()()001( )22j tj tstsjtsjteeF sedteedtjj ()()0111122sjtsjteejsjsjjsjsj 22221()122()()2sjsjjjsjsjjss 22s 1s

15、21sate 1sa atte 21sa 表表2-1常用函數(shù)的拉氏變換表常用函數(shù)的拉氏變換表1!nns 1atbteeba 1sasb22ss (1 2 3)ntn ， (1 2 3)natt en ， 1!nnsa 1btatbeaeba ssasb 111atbtbeaeabab 1s sasb22sin11ntnnet 2222nnnss 22sa 21(1)atatea 21ssa sinatet cosatet 22sasa 2221sin111arctanntnet 2222nnns ss 22211sin111arctanntnet 222nnsss 為常數(shù)為常數(shù) ，則則1122

16、11221122( )( )( )( )( )( )L k f tk f tk L f tk L f tk F sk F s ( )( )(0 )df tLsF sfdt 0( )( )stdf tdf tLedtdtdt udvuvvdu stue ( )df tdvdtdt ,stdusedt ( )vf t 00( )( )( )( )(0 )ststdf tLef tsf tedtdts F sf 22(1)2( )( )(0 )(0 )d f tLs F ssffdt12(1)(2)(1)( )( )(0 )(0 ).(0 )(0 )nnnnnnnd f tLs F ssfsfsff

17、dt( )( )nnndf tLs F sdt 32325624d yd ydydxyxdtdtdtdt 325( )6( )( )2 ( )4( )( )s Y ss Y ssY sY ssX sX s ( 1)11( )( )(0 )Lf t dtF sfss ( 1)(0 )f( )f t dt 0( )( )stLf t dtf t dtedt ( ),stuf t dtdvedt 1( )stduf t dtves ，00( 1)11( )( )( )11(0 )( )ststLf t dtef t dtf t edtssfF sss 2( 1)( 2)22111( )()( )(0

18、 )(0 )Lf t dtF sffsss ( 1)( 2)()1( )()1111( )(0 )(0 ).(0 )nnnnnLf t dtF sfffssss 式中式中 為式中為式中f(t)的各重積分在的各重積分在t=0+時的值，如果這些初值為零，時的值，如果這些初值為零，則有則有 1( )( )nnLf t dtF ss （2-38） （2-37） 0(0 )lim( )lim( )tsff ts F s 0( )( )( )(0 )stdf tdf tLedtsF sfdtdt 0( )limlim( )(0 )stssdf tedtsF sfdt 0(0 )lim( )lim( )ts

19、ff tsF s 0( )lim0stsdf tedtdt lim( )(0 )0ssF sf ( )tf te te 0(0 )lim1ttfe 1tL es 1(0 )lim1sfss 終值定理終值定理 0( )lim( )lim( )tsff ts F s 0( )( )( )(0 )stdf tdf tLedtsF sfdtdt 0000( )lim( )( )()(0 )stsdf tedtdf tf tffdt 0lim( )0( )(0 )ssF sfff （ ）0()lim( )lim( )tsff ts F s lim( )tf t25( )(2)F ss ss 20055(

20、 )lim( )lim( )lim22tssff ts F sss 0()()( )stasL f taf ta edteF s 式中式中f(t-a)為函數(shù)為函數(shù)f(t)延遲時延遲時間間a之后的函數(shù)，如圖之后的函數(shù)，如圖2-8所所示，當(dāng)示，當(dāng)ta時時f(t)=0。證明：設(shè)證明：設(shè)t-a= 則：則： 0()00()()( )( )( )stsaassasL f taf ta edtfedefedeF s 設(shè)設(shè) ，對任一常數(shù)，對任一常數(shù)a（實數(shù)或復(fù)數(shù)），有（實數(shù)或復(fù)數(shù)），有 0( )( )()atatstL ef tef tedtF sa 證明：證明： 0()0( )( )( )()atatsts

21、 a tL ef tef t edtf t edtF sa 此定理常常在計算有指數(shù)函數(shù)項的復(fù)合函數(shù)的拉氏此定理常常在計算有指數(shù)函數(shù)項的復(fù)合函數(shù)的拉氏變換時用到。變換時用到。 sinatet 22sin()atL etsa 22cos()atsaL etsa 1!()atnnnL etsa 1()sL f atFaa （2-43） 0()()stL f atf at edt at 001()( )11( )sasaL f atfedasfedFaaa 兩個時間函數(shù)兩個時間函數(shù)f1(t)，f2(t)積分的拉氏變換可由下式積分的拉氏變換可由下式得到得到 12120()( )( )( )Lf tfdF

22、 sF s （2-44） 11( )( )F sL f t 22( )( )F sL ft 11( )( )( )2jstjf tLF sF s e dsj （2-45） 1( )( )f tLF s 如某一原函數(shù)如某一原函數(shù)的象函數(shù)為的象函數(shù)為，可以把，可以把分解分解成一些分量之和，即成一些分量之和，即 121( )( )( )( )( )nnF sF sF sFsF s 式中的式中的F1(s)、 F2(s)、 、 Fn-1(s)、 Fn(s)又很容又很容易由表易由表 2-1得到所對應(yīng)的原函數(shù)得到所對應(yīng)的原函數(shù)f1(t) 、f2(t) 、 fn-1(t) 、 fn(t) ，即，即111111

23、21121( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnf tLF sLF sLF sLFsLF sf tf tftf t 121210121210( )( )( )mmmmmmnnnnnnb sbsbsb sbB sF sA sa sasasa sa （2-46） 123( )()()()()nA sspspspsp （2-47） 1212( )( )( )nnAAAB sF sA sspspsp 由于極點由于極點可為實數(shù)或復(fù)可為實數(shù)或復(fù)數(shù)，所以系數(shù)數(shù)，所以系數(shù) -1也也可為實數(shù)或復(fù)數(shù)。這些系數(shù)有的書又稱留數(shù)。求留可為實數(shù)或復(fù)數(shù)。這些系數(shù)有的書又稱留數(shù)。求留數(shù)的方法可

24、分為下面三種情況研究。數(shù)的方法可分為下面三種情況研究。 ( )()()()( )()()kk12kkk12spknkkkknspAAB sspspspA sspspAAspspAspsp ( )()( )kkkspB sAspA s 53( )(1)(2)(3)sF ssss 31253( )(1)(2)(3)123AAAsF sssssss 115( 1)3( )(1)1(21)(31)sAF s s 225( 2)3( )(2)7(12)(32)sAF s s 335( 3)3( )(3)6(13)(23)sAF s s 1123176( )( )12376tttf tLF sLsssee

25、e 176( )123F ssss 312123( )( )( )()()nnAAsB sF sA sspspspsp 113121212312( )()()()()().( )()()spnspnAB sspspsspspA sspAspspsp 111212( )()()()( )spspB ssspspA s 因為因為p1是一個復(fù)數(shù)值，方程兩邊也都是復(fù)數(shù)值。使是一個復(fù)數(shù)值，方程兩邊也都是復(fù)數(shù)值。使方程（方程（2-51）兩邊的實數(shù)部分相等）兩邊的實數(shù)部分相等，得到一個方程。，得到一個方程。同樣，同樣，使方程兩邊的虛數(shù)部分相等使方程兩邊的虛數(shù)部分相等，得到另一個，得到另一個方程，根據(jù)這兩個方

26、程就可以確定方程，根據(jù)這兩個方程就可以確定和和。21( )(1)sF ss ss 12221( )(1)(1)ssAF ss sssss 21(0.50.866)(0.50.866)sssjsj s0.5 j0.866s0.5 j0.8661()12s ss 120.50.866( 0.50.866)0.50.866jjj 120.50.50.5 120.8660.8660.866 121 121 11 20 2011(1)ssAss ss 22222110.50.5( )1(0.5)0.866(0.5)0.866ssF sssssss 10.50.5( )( )1cos0.8660.578sin0.866ttf tLF setet (0)t 112( )() ()().()rrrnA sspspspsp 1111112112( )( )( )()()rrrrnrrrrnAAB sF sA sspspBA