反思數學思想方法提高教學有效性

1、反思數學思想方法提高教學有效性丹陽市第五中學（212300） 湯秀財 數學思想方法是數學知識的高度抽象和概括，它蘊含在數學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中。當題目解決后，教師因勢利導地讓學生回顧反思，體會自己的研究過程，感悟其中的數學思想和技巧，使得學生的創(chuàng)造性活動得到再次升華。本文就反思圓錐曲線最值問題中所體現的數學思想方法作一些探究。一、 數形結合思想數形結合思想是重要的數學思想方法，利用圖形性質來研究數量間關系的常用方法。解題是若能正確理解題意，借助圖形分析問題，將會直觀、簡捷。例 點和分別是橢圓上的動點和右焦點，定點B（2，2）求|MF|+|MB|的最小值 求|MB|+|MF|的最小值解：

2、易知橢圓右焦點F（4，0），左焦點F（-4，0），離心率,準線方程|MF|+|MB|=10-|MF1|+|MB|=10-（|MF1|-|MB|）當M、B、F三點共線時，|MF1|-|MB|最大此時|MF|+ |MB|10-|F1B|=10-作MH垂直右準線于H，則，于是 反思：此類問題應用兩個等價定義出發(fā)，再轉化為平幾中的問題：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊。利用數形結合求解，式解法適合于橢圓、雙曲線、拋物線的形如：的最小值問題。例 設P（x,y）在橢圓上運動，求的最大值分析：把看作是（x,y）與原點連線的斜率，則問題轉化為求橢圓上的點與原點連線的斜率的最大值問題。解：設

3、，將y=2kx代入橢圓方程得由0得 ，所以的最大值為 反思：此類數形結合的思想方法適合于解決橢圓、圓、雙曲線、拋物線題型中形如：求最值問題。二、 參數思想 如果動點P（x,y）的坐標關系不易找出時，可引入參數，三角換元，利用三角等價變形求最值。例 求橢圓上的點到直線的最大距離解：設橢圓上任一點P的坐標為,則點P到直線的距離所以點P到直線的距離d的最大值為 本題也可用數形結合的方法解決問題，利用直線與橢圓相切，求出距離的最大與最小值。例 橢圓上一動點P（x,y）與點A（a,0）(0a3)之間距離的最小值為1，求a的值解：設動點P的坐標為，則=因為0a3,所以0若01 即0a 當時解得（舍去）若1

4、 即ab0）的頂點B（0，-b)引一條弦BP，求弦BP的最大長度。解：設P（x,y）則 此時-byb 對稱軸當即時 當即時 五、 函數思想 函數思想是一種通過構造，并應用函數解題的思想，在圓錐曲線求最值問題中經常應用。例 過點A（8，0）作傾角為45的直線，交拋物線于M、N兩點，又作BCMN，交于B、C兩點，設直線BC與MN之間的距離為m，當ABC面積取最大值時，求直線BC的方程及m的值。解：由題意=tan45=1,故可設直線BC的方程為又B、C兩點在上，-8b1 (BC與相切時b=1)將直線代入拋物線得設 則又A點到BC的距離SABC令，則03， 令解得 又03 直線BC的方程為，m的值為六

5、、 對稱思想對稱問題一般包括點對稱、直線對稱等，同時圓錐曲線自身的對稱性在解題中也有重要應用。例 若直線與橢圓相交于A、B兩點，當t 變化時求|AB|的最大值。分析：由直線與橢圓位置關系及橢圓的對稱性得直線與橢圓相交所得最大弦長應為直線過橢圓中心時取得將直線代入橢圓解得，所以例 在直線上任取一點P，且以橢圓的焦點為焦點作橢圓，當P點在何處時，所求橢圓的長軸最短？并求橢圓方程解：設橢圓焦點為，連結，在同側作關于的對稱點連結，則與的交點即為所求點，設將代入 解得（-9，12）的方程為： 與聯立解得P（-5，4）此時 所求橢圓方程為求圓錐曲線中的最值問題是高中教學中的一個重要環(huán)節(jié)，其中包含的數學思想并非彼此孤立，教會學生反思學習研究問題所涉及的思