【精品】極坐標與參數(shù)方程題型及解題方法

1、參數(shù)方程極坐標 復(fù)習(xí)提問1、 極坐標系和直角坐標系有什么區(qū)別？學(xué)校老師課堂如何講解極坐標參數(shù)方程的？2、 如何把極坐標系轉(zhuǎn)化為直角坐標系？答：將極坐標的極點O作為直角坐標系的原點，將極坐標的極軸作為直角坐標系x軸的正半軸。如果點P在直角坐標系下的坐標為（x，y），在極坐標系下的坐標為, 則有下列關(guān)系成立：3、 參數(shù)方程表示什么曲線？4、 圓(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程是什么？5、 極坐標系的定義是什么？答：取一個定點O，稱為極點，作一水平射線Ox，稱為極軸，在Ox上規(guī)定單位長度，這樣就組成了一個極坐標系設(shè)OP=，又xOP=. 和的值確定了，則P點的位置就確定了。叫做P點的極半徑，

2、叫做P點的極角，叫做P點的極坐標（規(guī)定寫在前，寫在后）。顯然，每一對實數(shù)決定平面上一個點的位置6、參數(shù)方程的意義是什么？ 題型與方法歸納1、 題型與考點（1） （2） (3) 2、解題方法及步驟（1）、參數(shù)方程與普通方程的互化化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法；化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)，先確定一個關(guān)系（或，再代入普通方程，求得另一關(guān)系（或）.一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點的橫坐標（或縱坐標）例1、方程表示的曲線是（ ）A. 雙曲線 B.雙曲線的上支 C.雙曲線

3、的下支 D.圓解析：注意到t與互為倒數(shù)，故將參數(shù)方程的兩個等式兩邊分別平方，再相減，即可消去含的項，即有，又注意到 ，可見與以上參數(shù)方程等價的普通方程為.顯然它表示焦點在軸上，以原點為中心的雙曲線的上支，選B練習(xí)1、與普通方程等價的參數(shù)方程是（ ）（為能數(shù)）解析：所謂與方程等價，是指若把參數(shù)方程化為普通方程后不但形式一致而且的變化范圍也對應(yīng)相同，按照這一標準逐一驗證即可破解. 對于A化為普通方程為；對于B化為普通方程為；對于C化為普通方程為;對于D化為普通方程為.而已知方程為顯然與之等價的為B.練習(xí)2、設(shè)P是橢圓上的一個動點，則的最大值是 ，最小值為 .分析：注意到變量的幾何意義，故研究二元函

4、數(shù)的最值時，可轉(zhuǎn)化為幾何問題.若設(shè)，則方程表示一組直線，（對于取不同的值，方程表示不同的直線），顯然既滿足，又滿足，故點是方程組的公共解，依題意得直線與橢圓總有公共點，從而轉(zhuǎn)化為研究消無后的一元二次方程的判別式問題.解析：令，對于既滿足，又滿足，故點是方程組的公共解，依題意得，由，解得：，所以的最大值為，最小值為.（2）、極坐標與直角坐標的互化 利用兩種坐標的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，這二者互化的前提條件是（1）極點與原點重合；（2）極軸與軸正方向重合；（3）取相同的單位長度.設(shè)點P的直角坐標為，它的極坐標為，則 ；若把直角坐標化為極坐標，求極角時，應(yīng)注意判斷點P所在的象限（即

5、角的終邊的位置），以便正確地求出角.例2、極坐標方程表示的曲線是（ ） A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線的一支D. 拋物線分析：這類問題需要將極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程進行判斷.解析：由，化為直角坐標系方程為，化簡得.顯然該方程表示拋物線，故選D.練習(xí)1、已知直線的極坐標方程為，則極點到該直線的距離是 解析：極點的直角坐標為，對于方程，可得化為直角坐標方程為，因此點到直線的距離為 練習(xí)2、極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為（ ）A B C D分析：極坐標化為直解坐標只須結(jié)合轉(zhuǎn)化公式進行化解. 解析：，因此選C.練習(xí)3、點的直角坐標是，則點的極坐標為（ ）A B C D 解析：都是極坐標，因此選C.（3

6、）、參數(shù)方程與直角坐標方程互化例題3：已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為 （1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程； （2）曲線，是否相交，若相交請求出公共弦的長，若不相交，請說明理由解：（1）由得曲線的普通方程為，即曲線的直角坐標方程為（2）圓的圓心為，圓的圓心為兩圓相交設(shè)相交弦長為，因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段公共弦長為練習(xí)1、坐標系與參數(shù)方程.已知曲線C：為參數(shù)，0<2)，（）將曲線化為普通方程；（）求出該曲線在以直角坐標系原點為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系下的極坐標方程解析：（）（）（4）利用參數(shù)方程求值域例題4、在曲線：

7、上求一點，使它到直線：的距離最小，并求出該點坐標和最小距離。解：直線C2化成普通方程是x+y-2-1=0設(shè)所求的點為P（1+cos,sin) 則C到直線C2的距離d= =|sin(+)+2| 當時，即=時，d取最小值1 此時，點P的坐標是（1-，-）練習(xí)1、在平面直角坐標系xOy中，動圓（R）的圓心為 ，求的取值范解：由題設(shè)得（為參數(shù)，R） 于是. ， 所以 . 練習(xí)2、已知曲線的極坐標方程是，設(shè)直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)） （）將曲線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程； （）設(shè)直線與軸的交點是，曲線上一動點，求的最大值.解：（1）曲線的極坐標方程可化為： 又 .所以，曲線的直角坐標方程為：. （2

8、）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程得： 令 得 即點的坐標為 又曲線為圓，圓的圓心坐標為，半徑，則 （5）直線參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義例5、已知直線經(jīng)過點,傾斜角，寫出直線的參數(shù)方程;設(shè)與圓相交與兩點，求點到兩點的距離之積. 解 （1）直線的參數(shù)方程為，即 （2）把直線代入，得， 則點到兩點的距離之積為 練習(xí)1、求直線（）被曲線所截的弦長.解：將方程，分別化為普通方程：，（6）、參數(shù)方程與極坐標的簡單應(yīng)用參數(shù)方程和極坐標的簡單應(yīng)用主要是：求幾何圖形的面積、曲線的軌跡方程或研究某些函數(shù)的最值問題.例6、已知的三個頂點的極坐標分別為,判斷三角形ABC的三角形的形狀，并計算其面積. 分析：判斷AB

9、C的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，不妨先計算邊長.解析：如圖，對于，又，由余弦定理得：，所以AB邊上的高, 練習(xí)1、如圖，點A在直線x=5上移動，等腰OPA的頂角OPA為120°（O，P，A按順時針方向排列），求點P的軌跡方程.解析：取O為極點，正半軸為極軸，建立極坐標系，則直線的極坐標方程為，設(shè)A（，），P，因點A在直線上， 為等腰三角形，且，以及 ，把<2>代入<1>，得點P的軌跡的極坐標方程為： . 趁熱打鐵1把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（ ）A B C D 解析：D ，取非零實數(shù)，而A，B，C中的的范圍有各自的限制2曲線與

10、坐標軸的交點是（ ）A B C D解析：B 當時，而，即，得與軸的交點為；當時，而，即，得與軸的交點為3直線被圓截得的弦長為（ ）A B C D 解析：B ，把直線代入得，弦長為4若點在以點為焦點的拋物線上，則等于（ ）A B C D 解析：C 拋物線為，準線為，為到準線的距離，即為5已知曲線上的兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，那么=_。解析： 顯然線段垂直于拋物線的對稱軸。即軸，6圓的參數(shù)方程為，則此圓的半徑為_。解析： 由得 故半徑為57分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程化為普通方程：（1）為參數(shù)，為常數(shù)；（2）為參數(shù)，為常數(shù)；解：（1）當時，即； 當時， 而，即（2）當時，即；當時，即；當時，得，即

11、得即。8過點作傾斜角為的直線與曲線交于點，求的值及相應(yīng)的的值解：設(shè)直線為，代入曲線并整理得則所以當時，即，的最小值為，此時9參數(shù)方程表示什么曲線？解：顯然，則 即得，即 溫故強化1下列在曲線上的點是（ ）A B C D解析：B 轉(zhuǎn)化為普通方程：，當時，2將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D解析：C 轉(zhuǎn)化為普通方程：，但是3. 若A，B，則|AB|=_，_。（其中O是極點）解析：在極坐標系中畫出點A、B，易得 4直線被圓截得的弦長為_解析： 直線為，圓心到直線的距離，弦長的一半為，得弦長為5. 直線（t為參數(shù)）上任一點P到的距離為_解析：所求距離為2|t|（把直線的參數(shù)方程化為標準形式）6. 的