高等數(shù)學11.6二重積分的計算ppt課件

1、高高 等等 數(shù)數(shù) 學學主講人主講人 宋從芝宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術學院河北工業(yè)職業(yè)技術學院11.6 11.6 二重積分的計算二重積分的計算假設積分區(qū)域假設積分區(qū)域D D為：為：, bxa 12( )( ).xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上延續(xù)上延續(xù). .)(1x )(2x ,ba一、在直角坐標系計算二重積分一、在直角坐標系計算二重積分1.x1.x型區(qū)域型區(qū)域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 曲頂柱體體積的計算曲頂柱體體積的計算設曲頂柱體的底為設曲頂柱體的底為x型區(qū)域：型區(qū)域：12( )( )axbxyx 任取任取, ,0bax 平面平面x21( )( )(

2、 )( , )dxxA xf x yy 截面積為截面積為截柱體的截柱體的2( )yx )(1xyzxyoabxD),( yxfz曲頂柱體體積的計算曲頂柱體體積的計算故曲頂柱體體積為故曲頂柱體體積為( , )d dDVf x y x y baA x dx badx 21( )( )( , )xxf x y dy 21( )( )( , )dxxf x y y dbax 21( )( )( , )( , ).dycyDf x y ddyf x y dx 假設積分區(qū)域假設積分區(qū)域D D為：為：,dyc 2( )xy 1( )xy Dcdcd2( )xy 1( )xy D2. y型區(qū)域型區(qū)域12( )

3、( )yxy 在直角坐標計算二重積分：在直角坐標計算二重積分：且在且在 D 上延續(xù)時上延續(xù)時 ( , )f x y當當被被積積函函數(shù)數(shù)12( )( )axbxyx 21( )( )( , )dxxf x yy dbax 1. 假設假設D為為 x 型區(qū)域型區(qū)域 )(1xy)(2xyxboyDax2. 假設假設D為為y型區(qū)域型區(qū)域12( )( )cydyxy y)(1yx)(2yxxdocy21( )( )( , )dyyf x yx ddcy ( , )dDf x y ( , )dDf x y 計算二重積分的步驟：計算二重積分的步驟：1. 畫出積分區(qū)域畫出積分區(qū)域 D 2.根據(jù)根據(jù)D的特點，選擇

4、積分次序的特點，選擇積分次序3.4.假設假設D為為x 型區(qū)域型區(qū)域 假設假設D為為y型區(qū)域型區(qū)域先對先對y積分，后對積分，后對x積分積分先對先對x積分，后對積分，后對y積分積分計算二重積分的根本思想，計算二重積分的根本思想， 將其化成兩次定積分。將其化成兩次定積分。12( )( )axbxyx 12( )( )cydyxy 1.假設積分區(qū)域既是假設積分區(qū)域既是x型區(qū)域又是型區(qū)域又是y型區(qū)域型區(qū)域 , 為計算方便為計算方便,可選擇積分序可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序必要時還可以交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc那么那么有有x)(1xyyyyxfxxd),()()(

5、21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd闡明闡明: :( , )dDf x y 2. 假設積分域較復雜假設積分域較復雜,可將它分成假設干可將它分成假設干x型區(qū)域或型區(qū)域或y型區(qū)域型區(qū)域 , 123DDDD 那么那么 闡明闡明: :oxy1D2D3D例例1 1計算二重積分計算二重積分(2 )d ,Dxy 0,1,12xxyy 和和其中其中 D 是由直線是由直線圍成的矩形區(qū)域。圍成的矩形區(qū)域。二、例題二、例題 首先畫出積分區(qū)域首先畫出積分區(qū)域D D。解解1 1xyO2D11將將D D表示成表示成x x型區(qū)域型區(qū)域0112xy (2 )dDxy 12012dxxy dy 21201xyy

6、dx 103xdx 12032xx 72 例例1 1計算二重積分計算二重積分(2 )d ,Dxy 0,1,12xxyy 和和其中其中 D 是由直線是由直線圍成的矩形區(qū)域。圍成的矩形區(qū)域。首先畫出積分區(qū)域首先畫出積分區(qū)域D D。解解2 2xyO2D11將將D D表示成表示成y y型區(qū)域型區(qū)域1201yx (2 )dDxy 21102dyxy dx 1221022xxydy 21122y dy 2212yy72 例例2 2計算二重積分計算二重積分22()d ,Dxy 21,0 xyyx 和和拋拋物物線線其中其中 D 是由直線是由直線圍成的區(qū)域。圍成的區(qū)域。首先畫出積分區(qū)域首先畫出積分區(qū)域D D。解

7、解將將D D表示成表示成x x型區(qū)域型區(qū)域2010 xyx ， 22Dxy d 212200 xdxxydy 2312003xyx ydx 61403xxdx 1570521xx 26105 xyOD1y=x2x例例3 3計算二重積分計算二重積分d ,Dxy 2yx 和和直直線線其中其中 D 是由拋物線是由拋物線圍成的區(qū)域。圍成的區(qū)域。2yx 解解 求交點求交點, ,解方程組解方程組:DDxy22 xy214oyxy22yxy21y為計算簡便為計算簡便, 先對先對 x 后對后對 y 積分積分,22yxyx 得交點坐標得交點坐標(1,-1),(4,2)。畫出積分區(qū)域。畫出積分區(qū)域。表示成表示成y型區(qū)域型區(qū)域:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy458 22yxy21y2y2y例例4 4交換積分次序交換積分次序2110yxdxedy 交換二次積分的積分次序的步驟：交換二次積分的積分次序的步驟：1.根據(jù)已給的二次積分的積分限用不等式表示根據(jù)已給的二次積分的積分限用不等式表示區(qū)域區(qū)域D，并畫出，并畫出D的圖形。的圖形。2.根據(jù)根據(jù)D的圖形將的圖形將D用另一種表達式來表示，用另一種表達式來表示，以確定改動積