初三函數(shù)圖象平移及其典型例題

1、個(gè)性化教案(內(nèi)頁(yè))(1)、二次函數(shù)的圖像教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷二次函數(shù)圖像平移的過(guò)程；理解函數(shù)圖像平移的意義。一.2、2、22、了解y ax , y a(x m) , y a(x m)k三類二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系。23、會(huì)從圖像的平移變換的角度認(rèn)識(shí)y a(x m)k型二次函數(shù)的圖像特征。教學(xué)重點(diǎn)：從圖像的平移變換的角度認(rèn)識(shí)y a(x m)2 k型二次函數(shù)的圖像特征。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)于平移變換的理解和確定，學(xué)生較難理解。一、知識(shí)回顧 二次函數(shù)y ax2的圖像和特征:1、名稱; 2、頂點(diǎn)坐標(biāo); 3、對(duì)稱軸;。時(shí),4、當(dāng)a 。時(shí)，拋物線的開(kāi)口向 ,頂點(diǎn)是拋物線上的最 點(diǎn)，圖像在x軸的(除頂點(diǎn)外)；當(dāng)a 拋物

2、線的開(kāi)口向 ,頂點(diǎn)是拋物線上的最 點(diǎn)圖像在x軸的(除頂點(diǎn)外)。二、合作學(xué)習(xí)1 21212在同一坐標(biāo)系中回出函數(shù)圖像y -x , y (x 2) , y (x 2)的圖像。2 22(1) 請(qǐng)比較這三個(gè)函數(shù)圖像有什么共同特征？(2) 頂點(diǎn)和對(duì)稱軸有什么關(guān)系？(3) 圖像之間的位置能否通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q得到？(4) 由此，你發(fā)現(xiàn)了什么？三、探究二次函數(shù) y ax2和y a(x m)2圖像之間的關(guān)系一人、，-12-12,一、皿， 一12的圖像1、結(jié)合學(xué)生所回圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察y (x 2),與y -x的圖像位置關(guān)系，直觀得出y x222向左平移兩個(gè)單位12y - (x 2)，的圖像。2教師可以采取以下措施

3、：借助幾何畫(huà)板演示幾個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系，如：(0, 0)向左平移兩個(gè)單位(-2, 0)(2, 2)向左平移兩個(gè)單位(0, 2);(-2, 2)向左平移兩個(gè)單位(-4, 2)也可以把這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)在圖像上用彩色粉筆標(biāo)出，并用帶箭頭的線段表示平移過(guò)程。1 2向右平移兩個(gè)單位122、用同樣的方法得出 y x2的圖像y (x 2)的圖像。2 23、請(qǐng)你總結(jié)二次函數(shù) y=a(x+ m)2的圖象和性質(zhì).當(dāng)m 0時(shí)向Z平移m個(gè)單位212 .y ax (a 0)的圖像y (x 2)的圖像。當(dāng)m 0時(shí)向右平移|m個(gè)單位 2函數(shù)y a(x m)2的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,0),對(duì)稱軸是直線x=-m4、做一做拋物線開(kāi)口

4、方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y =2(x+3)2y = -3(x-1)2y = -4(x-3)2(2)、填空：、由拋物線 y=2x2向 平移 個(gè)單位可得到 y= 2(x+1)2、函數(shù)y= -5(x -4)2的圖象?？梢杂蓲佄锞€ 向 平移4個(gè)單位而得到的。. .一 ,，1 . 2 .、一3、對(duì)于二次函數(shù) y (x 4),請(qǐng)回答下列問(wèn)題:31 2 12把函數(shù)y -x的圖像作怎樣的平移變換，就能得到函數(shù) y -(x 4)的圖像?331說(shuō)出函數(shù)y (x 4)2的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。3第3題的解答作如下啟發(fā)：這里的m是什么數(shù)？大于零還是小于零？應(yīng)當(dāng)把 y1x2的圖像向左平移還是31O1 O向右平移？在此同時(shí)用

5、平移的萬(wàn)法回出函數(shù)y (x 4)2的大致圖像(事先畫(huà)好函數(shù) y-x2的圖像)，33借助圖像有學(xué)生回答問(wèn)題。五、探究二次函數(shù)y a(x m)2 k和y2 一ax圖像之間的關(guān)系12,1、在上面的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù)首先引導(dǎo)學(xué)生觀察比較 y 1(x 2)2,與y2向上平移3個(gè)單位12y -(x 2)3的圖像。21 2再引導(dǎo)學(xué)生剛才得到的 y -x的圖像與y2y -(x 2)2 3的圖像。1212,y(x 2)2 3的圖像關(guān)系，直觀得出：y (x 2)2,的圖像22(結(jié)合多媒體演示)12一(x 2),的圖像之間的位置關(guān)系，由此得出：只要把拋物線21 2 , 人一、,一 人一、，12 一y x2

6、先向左平移2個(gè)單位，在向上平移 3個(gè)單位，就可得到函數(shù) y (x 2)2 3的圖像。22函數(shù)解析式圖像的對(duì)稱軸圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)1 2 y - x2y 1(x 2)2, 212y z(x 2)2 32一，、2 .一一 .，一2 一3、總結(jié)y a(x m) k的圖像和y ax圖像的關(guān)系當(dāng)m 0時(shí)12.y -(x 2) 的圖像2向左平移m個(gè)單位2y ax ( a 0 ) 的圖像 當(dāng)m 0時(shí)向右平移m個(gè)單位當(dāng)k 0時(shí)向上平移m個(gè)單位y a(x m)2 k的圖像。當(dāng)k0時(shí)向下平移m個(gè)單位. 2y a(x m)k的圖像的對(duì)稱軸是直線x=-m,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-m, k)口訣：(m、k)正負(fù)左右上下移(m左加右減

7、 k上加下減)1、函數(shù)y a(x m)2 k的圖像和函數(shù)y ax2圖像之間的關(guān)系。 一一、22、函數(shù)y a(x m)k的圖像在開(kāi)口萬(wàn)向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸等萬(wàn)面的性質(zhì)。二次函數(shù)的圖像教學(xué)目標(biāo)：1、了解二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)。222、掌握一般二次函數(shù) y ax bx c的圖像與y ax的圖像之間的關(guān)系。3、會(huì)確定圖像的開(kāi)口方向，會(huì)利用公式求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。教學(xué)重點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像特征教學(xué)難點(diǎn)：例2的解題思路與解題技巧。一、回顧知識(shí)22 .1、二次函數(shù)y a(x m) k的圖像和y ax的圖像之間的關(guān)系。2、講評(píng)上節(jié)課的選作題對(duì)于函數(shù)yx2 2x 1 ,請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)對(duì)于函數(shù)y x2 2x 1

8、的圖像可以由什么拋物線，經(jīng)怎樣平移得到的？(2)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)各是什么？yx2 2x 1思路：把 yx2 2x 1 化為 y a(x m)2 k 的形式=(x2 2x 1)(x2 2x 1) 2 (x 1)2 2 (x 1)2 2在y (x 1)2 2中，m、k分別是什么？從而可以確定由什么函數(shù)的圖像經(jīng)怎樣的平移得到的？、探索二次函數(shù) y ax2 bx c的圖像特征1、問(wèn)題：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c ( aw 0 )的圖象及圖象的形狀、開(kāi)口方向、位置又是怎樣的？學(xué)生有難度時(shí)可啟發(fā)：通過(guò)變形能否將y=ax2+bx+c轉(zhuǎn)化為y = a(x+m)2 +k的形式？y ax2 bx

9、c2/2bc、2 b / b、2 / b、2 c / b、2 4ac b=a(x x ) a x x ( )( )a(x )a aa 2a 2a a2a 4a由此可見(jiàn)函數(shù)y ax2 bx c的圖像與函數(shù)y ax2的圖像的形狀、開(kāi)口方向均相同，只是位置不同，可以通過(guò)平移得到。2、二次函數(shù)y ax2 bx c的圖像特征(1)二次函數(shù) y ax2 bx c( aw0)的圖象是一條拋物線;(2)對(duì)稱軸是直線x= 2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是為(,4ac b )2a2a 4a(3)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn)。當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是拋物線上的最高點(diǎn)。三、鞏固知識(shí) 1

10、2 一 51、例1、求拋物線y x 3x 的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。22有由學(xué)生自己完成。師生點(diǎn)評(píng)后指出：求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)可以采用配方法或者是用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式。3、（補(bǔ)充例題）例 2已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1, 2）,且圖像過(guò)點(diǎn)（1,-3）。（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。（此小題供有余力的學(xué)生解答 ）分析與啟發(fā)：（1）在已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，將所求的解析式設(shè)為什么比較簡(jiǎn)便？四、小結(jié)1、函數(shù)y ax2 bx c的圖像與函數(shù) y ax2的圖像之間的關(guān)系。22、函數(shù)y ax bx c的圖像在對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等方面的特征。3、函

11、數(shù)的解析式類型：一般式：y ax2 bx c頂點(diǎn)式：y a(x m)2 k2. （2012廣東佛山8分）（1）任選以下三個(gè)條件中的一個(gè)，求二次函數(shù)y=ax2 + bx+c的解析式;y隨x變化的部分?jǐn)?shù)值規(guī)律如下表:x-10123y03430有序數(shù)對(duì)(一1, 0), (1, 4), (3, 0)滿足 y=ax2+bx + c；已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分（如圖）.直接寫(xiě)出二次函數(shù) y=ax2+bx+ c的三個(gè)性質(zhì).1答案】解+ (1)由的表格可知，拋物茂頂點(diǎn)坐標(biāo)為M,設(shè)拋物線解析式為cx-i)4a,將點(diǎn)(1 3)代人，得a (0-1) 2+4=3,解得*一1.，拋枷線解析式為尸一(X

12、： 1) 口十%即爐十雙十3(2)拋枷線y=-/+2戈+3的性質(zhì)：對(duì)稱軸為x=l；當(dāng)X1時(shí)，函數(shù)有最大值為由當(dāng)筐<1時(shí)，y隨笈的噌大而噌大，當(dāng)處>1時(shí)，y隨X的僧大而減小.【考點(diǎn)】特定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的美系，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì).分析.】(1)選擇，唄察表格可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(L 4),設(shè)拋物線頂點(diǎn)式，將點(diǎn)(口，3)代入確 定弓H值?選擇，I殍(一1, 口)，L 4)? (3f 0)分別代入廣福*+1嘉十得方程組？解之即可；選擇f 同.根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸，開(kāi)口方向，增濫性等說(shuō)出性質(zhì).3. (2012廣東梅州10分)(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p

13、24q)。的兩根為xi、X2；求證：Xi+X2=p,xi?X2=q.(2)已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(-1,1),設(shè)線段AB的長(zhǎng)為d,當(dāng)p為何值時(shí)，d2取得最小值,并求出最小值.【答案】(1)證明：: a=1 , b=p, c=q, p2 4q>Qbcx1 x2- = p, x1 x2 -=q oaa(2)解：把(-1, - 1)代入 y=x2+px+q 得 p - q=2 ,即 q=p 2。設(shè)拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B的坐標(biāo)分別為(x1, 0)、(x2, 0)。- d=|x1 x2|)d2= (x1 x2)2= (x1+x2)2 4 x1?x

14、2=p2 4q=p2 4p+8= (p 2) 2+4。.當(dāng)p=2時(shí)，d 2的最小值是4。4. (2012浙江杭州8分)當(dāng)k分別取-1, 1, 2時(shí)，函數(shù)y=(k-1) x2-4x+5 - k都有最大值嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的判斷，并說(shuō)明理由； 若有，請(qǐng)求出最大值.【答案】 解：:.當(dāng)開(kāi)口向下時(shí)函數(shù) y= (k- 1) x2-4x+5-k取最大值k 1<0,解得 k< 1 o:當(dāng)k= 1時(shí)函數(shù)y= (k-1) x2-4x+5-k有最大值，當(dāng)k=1, 2時(shí)函數(shù)沒(méi)有最大值。:當(dāng) k= 1 時(shí)，函數(shù) y= 2x2 4x+6= 2 (x+1) 2+8o;最大值為8?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的最值?！痉治觥渴紫?/p>

15、根據(jù)函數(shù)有最大值得到 k的取值范圍，然后判斷即可。求最大值時(shí)將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式或用公式即可。2 ,5. (2012江蘇徐州8分)二次函數(shù)y=x +bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4, 3), (3, 0)。(1)求b、c的值;(2)求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；(3)在所給坐標(biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù) y=x2+bx+c的圖象?！敬鸢浮拷猓?二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4, 3), (3, 0),3=16+4b+c0=9+3b+cb= 4c=3、,一一2. 一一 2.(2) :該二次函數(shù)為 y=x 4x+3= x 21;該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 1),對(duì)稱軸為x=1(3)列表如下

16、:x01234y30103描點(diǎn)作圖如下:6. (2012湖北荊州12分)已知：y關(guān)于x的函數(shù)y= (k 1) x2 2kx+k+2的圖象與x軸有交點(diǎn).(1)求k的取值范圍；(2)若x1，x2是函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且滿足(k 1) x12+2kx2+k+2=4x1x2.求k的值；當(dāng)kq<k+2時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象確定y的最大值和最大值.【答案】 解：(1)當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù) y= 2x+3,其圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)k，l時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與 x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn),令 y=0 得(k - 1) x2 2kx+k+2=0 . = (- 2k) 2 4 (k 1) (k

17、+2) >Q 解得 k<2,即 k02且 k，B綜上所述，k的取值范圍是k<%(2): X1 或2,由(1)知 k< 2 且 klo由題意得(k-1) X12+ (k+2) =2kx1 (*),將 * *)代入(k 1) X12+2kx2+k+2=4x1X2中得：2k(X1+X2)=4x1x2。又. X1+X2= 2kk 1k+2,X1X2=,k 12k? 2kk 1k+2=4?k 1解得：k1= 1, k2=2 (不合題意，舍去)。：所求k值為-1 如圖，k1= 1 , y= 2X2+2x+1= 2 (x ) 2+ ，且13cx0 22由圖象知：當(dāng)x=T 時(shí)，y最小=

18、-3;當(dāng)x=1時(shí)，y最大=3。22y的最大值為-,最小值為-3。2127. (2012山東淄博8分)已知：拋物線 y (X 1).4(1)寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸;(2)完成下表;X-7-313y-9-1(3)在下面的坐標(biāo)系中描點(diǎn)畫(huà)出拋物線的圖象.y*1111411!11V111JiV111111 i>111 V 1 Iiii；iiiit1»11111»»4f|j|pri1111»19<1 i i i i i i "r - t i i i (i1.111IIII11111r 1111111L1_工_J1JfLi k I i i 11» I!_ iJi1111 i i1V1I111«1IT T一H b -J 1FI1111IIP i 11rli一 / = =a一 bl- L -1 i i i i 1fe1dr - t r- t r r - - r ' - r "">i111hi- r - F " f - -1 - T "1-L - 11111dli1 N 0ai 11 n i i31一"1一"1一1-L7irI a-i i1411ihiiI|