北京市2020年4月高考數(shù)學(xué)模擬試卷(答案解析)

1、北京市2020年4月高考數(shù)學(xué)模擬試卷（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）姓名班級注意事項:1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂2 .回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑2其他答案標(biāo)號 回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回、選擇題：本題共要求的.第一部分10小題,每小題B. x|1 x4分，共x|1（選擇題，共40分）40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目C.x|0 x 7D.x|0 x 7【解析】集合2M x

2、|x3xx|x(x 3)x|0x |13 .故選A.2.已知復(fù)數(shù)2iA.第一象限(1F ,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所在象限為i）C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2i2i(1 i)32i 1 iZ在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為在第二象限故選B.3.曲線方程x2Ex0表示一個圓的充要條件為（A. E 15B.E 152C. E2 15D.E215【答案】C【解析】表示圓的充要條件是E21 2 4 4 0 ,即E2 15 .故選C.4 .已知f （x） =ax2+bx是定義在a 1, 2a上的偶函數(shù)，那么 a+b的值是1A . 一31C. 一21B.一31D.一2【答案】B【解析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且 f （

3、x）是定義在a-1, 2a上的偶函數(shù)，得 a-1= -2a,解得 a=1 ,又 f （ i） =f （x）,b=0, a+b=-.故選 B.335.不等式（a -2） x 2+2（ a -2）x -4V0,對一切xCR恒成立，則a的取值范圍是（）A . （-8,2 B. （-2,2 C. （-2,2） D. （-8,2）【答案】B【解析】因為不等式 （a2） x2+2（a2）x -4V0,對一切xCR恒成立，則對二次項系數(shù)是否為零，分為兩種情況來解得，求解得到 a的取值范圍是（-2,2,故選B.2 n6 .若二項式（x ）的展開式，二項式系數(shù)之和為16,則展開式中x的系數(shù)為（）xA. 2B,

4、4C. 8D. 16【答案】C【解析】由展開式中二項式系數(shù)之和為16,即2n 16,得n 4.展開式中Tr 1 C4x4r（與r 2rC4x43r ,x令4 3r 1 ,得r 1 ,故x的系數(shù)為21C； 8 ,故選C.7 .從A, B, C, D, E 5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語競賽，其中A不參加物理、化學(xué)競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（）A. 24B. 48C. 72D. 120【答案】C【解析】A參加時參賽方案有 C3A2A； 48 （種），A不參加時參賽方案有 A4 24 （種），所以不同的參賽方案共72種，故選C.8.已知數(shù)列an滿足an 1 an 2,且a1，a3

5、,a4成等比數(shù)列.若an的前n項和為Sn ,則Sn的最小值為（）A. T0B. 14C. -18D, W04【答案】D【解析】根據(jù)題意，可知an為等差數(shù)列，公差 d_ 22,由明，%e4成等比數(shù)列，可得 a3Ra4，(% 4)2 &(a 6),解得 ai 8.，&8n 2 n2 9n (n /81一.根據(jù)單調(diào)性,4可知當(dāng)n 4或5時，Sn取到最小值，最小值為20.故選D. 1 9 .如圖，已知電路中 4個開關(guān)閉合的概率都是 一，且是相互獨立的,2T H則燈亮的概率為（iA .1163B. 16C.D.1316【答案】D【解析】由題意，燈泡不亮包括四個開關(guān)都開，后下邊的2個都開，上邊的2個中有一

6、個開，這三種情況是互斥的，每一種請中的事件都是相互獨立的，所以燈泡不亮的概率為111111111222222223 313 ,所以燈泡鳧的概率為1 石，故本題選D .10.箱子里有3雙顏色不同的手套（紅藍(lán)黃各1雙），有放回地拿出2只，記事件A表示 拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對”，則事件A的概率為（）A. 1B. 1C. 1D.-6355【答案】B【解析】分別設(shè)3雙手套為：a1a2、b）b2、gc2, a1、bg分別代表左手手套,a2、b2、c2分別代表右手手套；從箱子里的 3雙不同的手套中，隨機(jī)拿出 2只，所有的基本事件是:n 6 6 36,共有36個基本事件；事件 A包含

7、：a1，d、b2, &、a，QC2, a1、a2, bi、bi, a2、a2,C1 、G,a2、b, C2、q, b、th, g、G, b2 一共12個基本事件，故事件 A的概率為151236第二部分（非選擇題，共110分）、填空題：本題共 5個小題，每小題5分，共25分.r rr , rr J11 .向量a ,b的夾角為120,且a 1,b2,則a b等于【答案】r r r r1【解析】Q a b |a|b |cos120o 12()12|a b| J：2 2ab b2 ,12 2 ( 1) 22 J7故答案為512.以下說法正確的是 .(填寫所有正確的序號)r r r .rr若兩非零向量a

8、,b,若ab 0,則a,b的夾角為銳角；4 r r r r右a b ,則a b 0 ,反之也對；在 ABC中，若a b,則sin A sin B ,反之也對；在銳角 ABC中，若B 2A,則A-，-.6 4【答案】一 ， r rr r【解析】對于，a與b同向時，若a b 0,夾角為0，不是銳角，故錯誤；rr r r對于，右a 0時，則a b 0, a與b平行，故錯誤；對于，由正弦定理得，a b 2Rsin A 2Rsin B sin A sinB,故正確；0 A 2對于，由 0 2A ,可得一A 即A 一, 一,故正確，2646 40 3A 2故答案為.13.若函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩

9、點 A(x1,y1)，B(x2, y2),其中x1，y1，X2, y2使得x1x2 y1y2 JX2y2 Jx； y2的最大值為0,則稱函數(shù)f(x)是何西函數(shù)”.給出下列函數(shù):1 f(x)lnx(0 x3)； f(x)x (x0)；x f(x)J2x28 ； f(x)hx 8.其中是柯西函數(shù)”的為.(填上所有正確答案的序號)【答案】uuvuuvuuv uuv uuv uuuvULU uuv設(shè)OA x1,y1 ,OB x2,y2 ,由向量的數(shù)量積的可得|OA OB| |OA|OB|,當(dāng)且僅當(dāng)向量OAOB共線（O,A,B三點共線）時等號成立.故|x1x2 y1y2 JX27 灰京的最大值為0時，當(dāng)

10、且僅當(dāng)O,A, B 三點共線時成立.所以函數(shù)f x是柯西函數(shù)”等價于函數(shù)f x的圖象上存在不同的兩點 A,B,使得O,A, B三點共線.對于，函數(shù)f x lnx（0 x 3）圖象上不存在滿足題意的點;1 , 一、對于，函數(shù)f x x （x 0）圖象上存在滿足題意的點； x對于，函數(shù)f x、/2x2 8圖象上存在滿足題意的點;對于，函數(shù)f x、/2x2 8圖象不存在滿足題意的點.故函數(shù)是柯西函數(shù)14 .已知函數(shù)f（x） e2x,則過原點且與曲線 y f x相切的直線方程為 .【答案】2 ex-y 0【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為t,e2t ,Qf xe2x, f x2e2x,f t2e2t,則曲線y f

11、x在點t,e2t2t 2t1處的切線萬程為 y e 2e x t ,由于該直線過原點，則 e2t 2te2t,得t -,因此，則過原點且與曲線y f x相切的直線方程為 y 2ex ,故答案為2ex y 0 .15 .函數(shù)f x 4 2ax1（a 0且a 1）的圖象恒過定點 P,則點P的坐標(biāo)是.【答案】1,6【解析】令x - 1=0,解得：x=1 ,此時y=4+2=6 ,故函數(shù)恒過定點（1, 6）,四、解答題：本大題共 6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16 .（本小題14分）如圖，直四棱柱 ABCD AB1C1D1的底面是菱形，AA1=4, AB=2, /BAD=60

12、, E, M, N分別是BC, BB1,AiD的中點.(1)證明：MN /平面 CiDE ；(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.【答案】(1)見解析；(2)叵.5【解析】(1)連接ME, BiC1. _ ,Q M , E分別為BBi , BC中點ME為B1BC的中位線 ME/BC且ME 5B1C,又N為A1D中1點，且ADBCND/BC且ND -B1C ME/ND 四邊形MNDE為平行四邊形12=MN/DE,又 MN 平面 CiDE, DE 平面 CDE MN/平面 CDE(2)設(shè)ACI BD O, ACi B1D1 Oi由直四棱柱性質(zhì)可知： OOi 平面ABCDQ四邊形ABCD為 菱形 A

13、C BD則以。為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:則：A 有0,0 , M 0,1,2 , A J3,0, 4,D (0, -1,0) N , 1,2 取 AB 中點 F ,連接 DF , 22則F ,1,0 Q四邊形ABCD為菱形且2 2BAD 60oBAD為等邊三角形DF AB 又 AA1 平面 ABCD, DF平面ABCDDFaA；df 平面 abba,即DFuuir平面AMA df為平面AMAi的一個法向量,uuur且DF.3 3 c一,一,02 2r設(shè)平面MAN的法向量nx,y,zuuuu _又 MA1, 3,uurMN”,0r uuuv n MA1r umui n MN3x

14、y 2z 03x2n .3,1, 1cosuur rDF,nuur DF UttFDF n315.15sinuur rDF,n畫二面角5MA N的正弦值為17 .（本小題14分）已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,a12, a32a216.（1）求an的通項公式;(2)設(shè)bn log2an,求數(shù)列bn的前n項和.【答案】(1) (1) a 22n 1； (2) Sn【解析】（1）因為數(shù)列 a是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3 =2a2 +16 , a1 2 ,所以令數(shù)列 an的公比為2-22q, a3=a1q=2q , a? = a1q = 2q ,所以2q =4q + 16,解得q 2（舍去）或4

15、,所以數(shù)列 an是首項為2、公比為4的等比數(shù)列，an 2 4n 1 22nl.（2）因為bnlog2 an,所以bn2n 1 ,bn+1= 2n+1, bn+1 -bn= 2 ,所以數(shù)列bn是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，Sn n（2n 1 1）.n n2 218 .（本小題14分）2019年 非洲豬瘟”過后，全國生豬價格逐步上漲，某大型養(yǎng)豬企業(yè)，欲將達(dá)到養(yǎng)殖周期的生豬全部出售，根據(jù)去年的銷售記錄，得到銷售生豬的重量的頻率分布直方圖（如圖所示）270(1)根據(jù)去年生豬重量的頻率分布直方圖，估計今年生豬出欄(達(dá)到養(yǎng)殖周期)時，生豬重量達(dá)不到 斤的概率(以頻率代替概率)；(2)若假設(shè)該企業(yè)今年達(dá)到

16、養(yǎng)殖周期的生豬出欄量為5000頭，生豬市場價格是 8元/斤，試估計該企業(yè)本養(yǎng)殖周期的銷售收入是多少萬元;(3)若從本養(yǎng)殖周期的生豬中，任意選兩頭生豬，其重量達(dá)到270斤及以上的生豬數(shù)為隨機(jī)變量丫，試求 隨機(jī)變量Y的分布列及方差【答案】(1)0.25 (2)1222.4萬元(3)見解析【解析】(1)估計生豬重量達(dá)不到270斤的概率為(0.0005 0.002) 40 0.005 30 0.25.(2)生豬重量的平均數(shù)為180 0.02 220 0.08 260 0.2 300 0.32 340 0.24 380 0.1 420 0.04 305.6 (斤)所以估計該企業(yè)本養(yǎng)殖周期的銷售收入是30

17、5.68 5000 1222.4 (萬元).(3)由(1)可得隨機(jī)選一頭生豬，其重量達(dá)到270斤及以上的概率為1 0.253由題意可得隨機(jī)變量 Y的所有可能取值為0,1,2,則YB(2,-),4 P(Y 0) C0 (-)0 (1)2 , 4416P(Y 1)P(Y 2)C2 (3)1 (1)1 4423 21 0C2 (7) U) 44Y的分布列為38，916Y012P13916816，隨機(jī)變量一3 13隨機(jī)變量Y的方差D(Y) 2 - - 3 . 4 4 819.(本小題15分)已知函數(shù)f x aex lnx 1.(1)設(shè)x 2是f x的極值點.求a ,并求f x的單調(diào)區(qū)間;1(2)證明：

18、當(dāng)a 時，f x 0.e1【答案】(1) a= ； f (x)在(0, 2)單調(diào)遞減，在(2, +8)單調(diào)遞增.(2)證明見解析.2e1 .1【解析】(1) f(x)的定義域為0, f(x)=aex-由題設(shè)知，f (2) =0,所以a=.x2e21 x1x1.從而 f (x) =-rex lnx 1 , f (x) =-rex -.當(dāng) 0x2 時，f (x) 2 時，f (x) 0. 2e2e x所以f (x)在(0, 2)單調(diào)遞減，在(2, +8)單調(diào)遞增.xxx1eee 1(2)當(dāng) a2 時，f (x)一lnx 1 .設(shè) g (x) =lnx 1 ,貝U g x 一 .當(dāng) 0x1 時，g

19、(x)eeee x11時，g (x) 0,所以x=1是g (x)的最小值點.故當(dāng)x0時，g (x) g(1) =0.因此，當(dāng)a 一 e時，f x 0 .20.(本小題14分)1在平面直角坐標(biāo)系中，A 2,0 , B 2,0 ,設(shè)直線AC、BC的斜率分別為k1、卜2且燈k2-,2(1)求點C的軌跡E的方程；(2)過F 也0作直線MN交軌跡E于M、N兩點，若zMAB的面積是NAB面積的2倍，求直線MN的方程.【答案】(1)x- 1 (y 0) (2) x-4- yV20或 x14 yV204277【解析】(1)由題意，設(shè)C x,y，則.一,k2 y-,又由 kk2x 2 x 22yx2 4由點A,

20、B,C不共線，所以y0 ,所以點C的軌跡方程為1(y 0).my叵,聯(lián)立方程組(2)設(shè)M為，必，N x2,y2 ,易知直線MN不與x軸重合，設(shè)直線 MN :xx2 x 7my2y22 J2my 2 0 ,易知y12、, 2mVl、20 由 SVMAB2SVNAB，故y1yi2y2yy24 m2y1m2 2y2y22y1所以直線MN的方程為14x Ty,14Ty21 .(本小題14分)對于正整數(shù)n ,如果k k*N 個整數(shù)a1，a2,ak滿足1aia2ak n且 a1a2ak n ,則稱數(shù)組a1,a2,，ak為n的一個 芷整數(shù)分拆”記a1,a2,，ak均為偶數(shù)的芷整數(shù)分拆”的個數(shù)為fn, ab a2,ak均為奇數(shù)的 芷整數(shù)分拆”的個數(shù)為gn.(I )寫出整數(shù)4的所有 芷整數(shù)分拆(n)對于給定的整數(shù)n n 4 ,設(shè)a1,a2, ak是n的一個芷整數(shù)分拆”，且a12,求k的最大值;(m)對所有的正整數(shù)n ,證