屆數(shù)學(xué)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1、A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：35分鐘，滿分：57分）、選擇題（每小題5分,共20分）與向量a= （12,5）平行的單位向量為答案解析設(shè)e為所求的單位向量,則e=-A =+越色|a| 一13，13 .2.如圖，在 OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，OP = xOA+yOB,且BP= 2PA,則1 y= 一3 33.C XXr X4答案 A3 y=4D x=3I 人 .41 y=4解析 由題意知OP=OB+BPoA+7<OB,所以 x = 2, y=1.333一 一,一 一 2一 一 2 一 一 2又 BP = 2PA,所以 OP = OB + 3BA = OB + 3(OA OB)=-已知 a=

2、(1,1), b=(1, 1), c=(-1,2),則 c 等于13A. 2a +2ba-2bD. -1a + 1b答案 B解析設(shè)c= ?a+ pb,(-1,2)=。1,1)+ M1, - 1)一 1 = ZH-心 2= k心13 c=2a /b.4.在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且說=2元，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA= (4,3), PQ = (1,5), 則BC等于()A. (-2,7)B. (-6,21)C. (2, 7)D. (6, -21)答案 B解析 BC = 3PC = 3(2PQ -PA) = 6PQ-3PA= (6,30)-(12,9)= (-6,21).二、填空題(每小題5分，共

3、15分)5 . 若三點(diǎn) A(2,2), B(a,0), C(0, b)(abw0)共線，則+1 的值為. a b,1答案2解析 AB=(a-2, 2), AC=(-2, b-2),依題意，有(a-2)(b-2)-4=0,即 ab-2a-2b=0,所以 1+1= 1. a b 26 .已知向量 a=(1,2), b=(x,1), u= a+2b, v = 2a- b,且 u / v,則實(shí)數(shù) x 的值為,1答案2解析 因?yàn)?a=(1,2), b= (x,1), u=a + 2b, v = 2a- b,所以 u=(1,2) + 2(x,1)=(2x+1,4),v= 2(1,2)-(x,1)=(2-x

4、,3),又因?yàn)?u/v,所以 3(2x+1)-4(2-x)=0,r 一一 1即 10x=5,解得 x= 2. 一2 一 1 一 |AC|7 .在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足OC=&OA + WOB,則 式 =|AB|,1答案1 3解析OC = 1q aA + ；O B,33一二 一 1 一 1 一 1 一 一.OC-OA = - 30A + 3OB = 3( OB OA),.品 1 晶.1AC1 1.AC=3AB，一 =3 |AB|三、解答題(共22分)8. (10分)已知a=(1,2), b=(-3,2),是否存在實(shí)數(shù) k,使得ka+b與a3b共線，且方向 相反

5、？解若存在實(shí)數(shù)k,則 ka+ b = k(1,2) + ( 3,2) = (k- 3,2k+ 2).a-3b= (1,2) -3(-3,2)=(10, -4).若向量ka+b與向量a3b共線，則必有(k3) x ( 4)(2k+2) x 10= 0,解得k=-1.3這時(shí) ka+ b= 10, 4 ,所以 ka+b=-(a-3b). 333即兩個(gè)向量恰好方向相反，故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在.延長(zhǎng)CM交AB于N,令CM=a,試用a表示CN.9. （12分）如圖所示，M是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件 AM+2BM+3CM = 0,解因?yàn)閍m = an+nm, bm = bn + nm,所以由 AM + 2BM

6、 + 3CM=0,得(AN+ NM) + 2(BN+ NM)+ 3CM = 0,所以 AN+ 3NM + 2BN+ 3CM = 0.又因?yàn)锳, N, B三點(diǎn)共線，C, M, N三點(diǎn)共線,由平面向量基本定理，設(shè) AN=?BN , CM=NM,所以 舊N+3NM + 2BN + 3(NM=0.所以(入+ 2)BN + (3 + 3 p)NM = 0.由于BN和NM不共線，由平面向量基本定理,入+ 2=0,入=2,得所以3+3 產(chǎn) 0,(1= 1. 所以 CM = NM = MN, CN=CM + MN = 2CM=2a.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15

7、分)1 .若平面向量b與向量a=(1, 2)的夾角是180°,且|3=345,則b等于 ()A. (3,6)B. (3, - 6)C. (6, - 3)D. (-6,3)答案 A$+丫2 =3乖,解析 方法一 設(shè)b=(x, y),由已知條件x-2y或 W+y2x2 + y2 = 45,x= - 3,整理得解得x 2y= 15.y=6,.b=(-3,6).+ y2 = 375, 方法二設(shè)b=(x, y),由已知條件y+2x= 0,x= - 3, x= 3,解得或(舍去)，b=(3,6).y=6,y= 6,、，112萬(wàn)法三不尸根.評(píng)=函一語(yǔ)，則 b= 3乖 rra = (-3,6).2.

8、 已知平面向量 a= (1,2), b= (-2, m),且all b,則2a+3b等于A. (-2, -4)C. (4, -8) 答案 CB. (-3, -6)D. (-5, 10)解析 由 a=(1,2), b=(2, m),且 a/ b,得 1 x m= 2X (2)?m= 4,從而 b=(2, 4),那么 2a+3b = 2(1,2) + 3(-2, -4)=(-4, 8).3. 已知 A(3,0), B(0,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) C 在 /AOB 內(nèi)，|0。=242,且 / AOC=,、I設(shè)。C= QA+OB(衣R),則入的值為A. 1答案 D解析過C作CEL x軸于點(diǎn)E(圖略).

9、兀 3 _由/AOC=4,知 OE|=|CE|=2,一一一f f f f f所以 OC= OE+OB= QA+OB即 OE= DA,2所以(2,0)= X3,0),故 甘-.3二、填空題(每小題5分，共15分)4. 4ABC 中，內(nèi)角 A, B, C 所對(duì)的邊分別為 a, b, c,若 p=(a+c, b), q=(b-a, c a),且 p/q,貝U角 C =.答案 600解析 因?yàn)?p/q,則(a+c)(c a)b(b a)=0,12'a2+b2-c2所以 a2+b2-c2=ab，2ab一“一、一1結(jié)合余弦定理知，cos C=2,又 0 <C<180 ； C= 60 :

10、15. 已知A(7,1)、B(1,4),直線y = 2ax與線段AB交于C,且AC=2CB,則頭數(shù)a =答案 2解析設(shè) C(x, y),則AC=(x 7, y1), CB = (1 -x,4-y),->AC=2Cb,x- 7= 2 1- xy 1 = 2 4 yx= 3,解得y=3 C(3,3).又C 在直線 y= 1ax 上,-3= 2a 3,a= 2.6. 設(shè)oA=(1, 2), OB=(a, 1), OC= (-b,0), a>0, b>0,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 A、B、1 2 一C三點(diǎn)共線，則w+二的取小值 a b答案 8解析據(jù)已知得AB/AC,又. AB=(a1,1),

11、 AC=(-b-1,2), 2(a 1) ( b 1) = 0, . 2a + b = 1 ,1 2 2a+ b 4a+ 2b a+b=丁= 4+- + 4a>4+2 ；'24a=8, a ba b當(dāng)且僅當(dāng)a=4a,即a=4, h時(shí)取等號(hào),1+2'的最小值是8.a b三、解答題7. (13 分)已知點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2), B(4,6), OM =t1OA+12AB.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)力=1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線；(3)若t1=a2,求當(dāng)OMAB且4ABM的面積為12時(shí)a的值. (1)解 OM = t1OA+ 12AB = t1(0,2) + t2(4,4)=(4t2,2t1 + 4t2).4t2<0 ,當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有2t1 + 4t2W 0,故所求的充要條件為 t2<0且t1 + 2t2W 0.(2)證明 當(dāng) t1=1 時(shí)，由(1)知OM = (4t2,4t2+2). .AB=OB-OA=(4,4),AM = OM-OA= (4t2,4t2) = t2(4,4) = 12AB,A、B、M三點(diǎn)共線.(3)解 當(dāng) ti=a2 時(shí)，OM = (4t2,4t2+2a2).又AB