高等數(shù)學(xué)D1對(duì)弧長(zhǎng)和曲線(xiàn)積分(2)ppt課件

1、第十章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)域曲線(xiàn)域曲面域曲面域曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線(xiàn)積分與曲面積分 第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分 第十章 AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線(xiàn)形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線(xiàn)密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限

2、” kkkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: : 曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線(xiàn),義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分,記作szyxfd),(若通過(guò)對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2.定義定義是定),(zyxf以下“乘積和式極限”則稱(chēng)此極限為函數(shù)在曲線(xiàn)或第一類(lèi)曲線(xiàn)積分.),(zyxf稱(chēng)為被積函數(shù)， 稱(chēng)為積分弧段 .曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

3、頁(yè) 返回 完畢 假如 L 是 xoy 面上的曲線(xiàn)弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(假如 L 是閉曲線(xiàn) , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 考慮考慮:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問(wèn)Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線(xiàn)弧 的長(zhǎng)度),(zyxgszyxfd),(sz

4、yxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),證證: :是定義在光滑曲線(xiàn)弧則曲線(xiàn)積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線(xiàn)積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 , ,1kkktt點(diǎn)),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsy

5、xfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對(duì)應(yīng)參數(shù)為 那么,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿(mǎn)足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 因而機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 如果曲線(xiàn) L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),

6、()(: rrL那么syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線(xiàn)弧的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線(xiàn)弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx那么szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例1. 計(jì)算計(jì)算,dLsx其中 L 是拋物線(xiàn)2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1

7、 (B機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例2. 計(jì)算半徑為計(jì)算半徑為 R ,中心角為中心角為2的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱(chēng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線(xiàn)密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R那么 )(sincos:RyRxL機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例3. 計(jì)算計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線(xiàn))0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對(duì)稱(chēng)性 , 得sxILd414022d)

8、()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例4. 計(jì)算曲線(xiàn)積分計(jì)算曲線(xiàn)積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線(xiàn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例5. 計(jì)算計(jì)算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱(chēng)性可知由對(duì)稱(chēng)性可知sx d2

9、szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 考慮考慮: 例例5中中 改為改為0)1()1(2222zyxazyx計(jì)算?d2sx解解: 令令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 那么sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓的形心在原點(diǎn), 故0XaX22, 如何機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 d d s例例6. 計(jì)算計(jì)算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22

10、920Id2cos221z. 1的交線(xiàn)與平面 zx292 z化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y那么機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例7. 有一半圓弧有一半圓弧cosRx ),0(其線(xiàn)密度 ,2解解: :cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)

11、性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線(xiàn)弧 的長(zhǎng)度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線(xiàn)弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線(xiàn)弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線(xiàn)弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr

12、)(),(ttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長(zhǎng)為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對(duì)稱(chēng)性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為設(shè)其密度為 (常數(shù)常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k作業(yè)作業(yè)P131 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xyo備用題備用題1. 設(shè)設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線(xiàn)是由極坐標(biāo)系下曲線(xiàn), ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段積分分段積分xeIaxd0d4