高三精選立體幾何大題(共20頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上立體幾何大題訓(xùn)練1如下圖，一個(gè)等腰直角三角形的硬紙片ABC中，ACB90°，AC4cm，CD是斜邊上的高沿CD把ABC折成直二面角ABC第1題圖ABCD第1題圖（1）如果你手中只有一把能度量長度的直尺，應(yīng)該如何確定A，B的位置，使二面角ACDB是直二面角？證明你的結(jié)論（2）試在平面ABC上確定一個(gè)P，使DP與平面ABC內(nèi)任意一條直線都垂直，證明你的結(jié)論（3）如果在折成的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球，求出小球半徑的最大值解：（1）用直尺度量折后的AB長，若AB4cm，則二面角ACDB為直二面角 ABC是等腰直角三角形，又 ADDC，BDDC ADC是二面角ACDB的平面

2、角（2）取ABC的中心P，連DP，則DP滿足條件 ABC為正三角形，且 ADBDCD 三棱錐DABC是正三棱錐，由P為ABC的中心，知DP平面ABC， DP與平面內(nèi)任意一條直線都垂直（3）當(dāng)小球半徑最大時(shí)，此小球與三棱錐的4個(gè)面都相切，設(shè)小球球心為0，半徑為r，連結(jié)OA，OB，OC，OD，三棱錐被分為4個(gè)小三棱錐，且每個(gè)小三棱錐中有一個(gè)面上的高都為r，故有代入得，即半徑最大的小球半徑為 2如圖，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為3，側(cè)棱長為4，連結(jié)A1B，過A作AFA1B垂足為F，且AF的延長線交B1B于E。（）求證：D1B平面AEC；（）求三棱錐BAEC的體積；（）求二面角BA

3、EC的正切值證（）ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，D1DABCD.連AC，又底面ABCD是正方形，ACBD，由三垂線定理知 D1BAC.同理，D1BAE，AEAC = A，D1B平面AEC . 解（）VBAEC = VEABC . EB平面ABC，EB的長為E點(diǎn)到平面ABC的距離.RtABE RtA1AB，EB =VBAEC = VEABC =SABC·EB =××3×3× = （10分） 解（）連CF， CB平面A1B1BA，又BFAE，由三垂線定理知，CFAE .于是，BFC為二面角BAEC的平面角，在RtABE中，BF =，在RtCB

4、F中，tgBFC =， BFC = arctg.即二面角BAEC的大小為arctg. 3如圖，已知多面體ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F(xiàn)是CD的中點(diǎn) （）求證：AF平面BCE；（）求多面體ABCDE的體積；（）求二面角C-BE-D 的正切值 證：（）取CE中點(diǎn)M，連結(jié)FM，BM，則有四邊形AFMB是平行四邊形AF/BM，平面BCE，平面BCE，AF/平面BCE （）由于DE平面ACD，則DEAF又ACD是等邊三角形，則AFCD而CDDE=D，因此AF平面CDE又BM/AF，則BM平面CDE （）設(shè)G為AD中點(diǎn)，連結(jié)CG，則CG

5、AD由DE平面ACD，平面ACD，則DECG，又ADDE=D，CG平面ADEB作GHBE于H，連結(jié)CH，則CHBECHG為二面角C-BE-D的平面角 由已知AB=1，DE=AD=2，則，不難算出，4已知：ABCD是矩形，設(shè)PA=a，PA平面ABCD.M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).（）求證：MNAB；（）若PD=AB，且平面MND平面PCD，求二面角PCDA的大??；（）在（）的條件下，求三棱錐DAMN的體積.（）連結(jié)AC，AN. 由BCAB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 則有BCPB. 又BN是RtPBC斜邊PC的中線， 即. 由PA底面ABCD，有PAAC，則AN是RtPAC斜邊PC的中

6、線，即 又M是AB的中點(diǎn)， （也可由三垂線定理證明） （）由PA平面ABCD，ADDC，有PDDC. 則PDA為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 由PA=a，設(shè)AD=BC=b，CD=AB=c， 又由AB=PD=DC，N是PC中點(diǎn)，則有DNPC 又平面MND平面PCD于ND， PC平面MND PCMN，而N是PC中點(diǎn)，則必有PM=MC. 此時(shí).即二面角PCDA的大小為 （），連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)NO，則NO PA. 且NO平面AMD，由PA=a5如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，點(diǎn)M、N分別在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（）求證：AMPD

7、；（）求二面角PAMN的大?。唬ǎ┣笾本€CD與平面AMN所成角的大小. （I）證明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD （II）解：AM平面PCD（已證）.AMPM，AMNM.PMN為二面角P-AM-N的平面角 PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M為PD的中點(diǎn)，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 . 即二面角PAMN的大小為. （III）解：延長NM，CD交于點(diǎn)E.PC平面AMN，NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影CEN為

8、CD（即（CE）與平在AMN所成的角 CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD與平面AMN所成的角的大小為 6如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°. BC=CC1=a，AC=2a.（I）求證：AB1BC1；（II）求二面角BAB1C的大??；（III）求點(diǎn)A1到平面AB1C的距離.（1）證明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC， ACCC1.ACBC， AC平面B1BCC1.B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.BC=CC1， 四邊形B1BCC1是正方形，BC1B1C. 根據(jù)三垂線定理得， AB1BC1 （2）解：設(shè)BC1B1C=O，作O

9、PAB1于點(diǎn)P，連結(jié)BP.BOAC，且BOB1 C， BO平面AB1C.OP是BP在平面AB1C上的射影.根據(jù)三垂線定理得，AB1BP.OPB是二面角BAB1C的平面角 OPB1ACB1， 在RtPOB中，二面角BAB1C的大小為 （3）解：解法1 A1C1/AC，A1C1平面AB1C，A1C1/平面AB1C. 點(diǎn)A1到平面AB1C的距離與點(diǎn)C1到平面AB1C.的距離相等.BC1平面AB1C， 線段C1O的長度為點(diǎn)A1到平面AB1C的距離.點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為 解法2連結(jié)A1C，有，設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為h.B1C1平面ACC1A1， ，又， 點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為 7在

10、矩形ABCD中，AB4，BC3，E為DC的中點(diǎn)，沿AE將AED折起，使二面角DAEB為60 （）求DE與平面AC所成角的大小；（）求二面角DECB的大小ADBCEABCED第10題圖答案：如圖1，過點(diǎn)D作DMAE于M，延長DM與BC交于N，在翻折過程中DMAE，MNAE保持不變，翻折后，如圖2，DMN為二面角DAEB的平面角，DMN60 ，AE平面DMN，又因?yàn)锳E平面AC，則AC平面DMN （）在平面DMN內(nèi)，作DOMN于O，平面AC平面DMN，DO平面AC連結(jié)OE，DOOE，DEO為DE與平面AC所成的角如圖1，在直角三角形ADE中，AD3，DE2，如圖2，在直角三角形

11、DOM中，在直角三角形DOE中，則DE與平面AC所成的角為 （）如圖2，在平面AC內(nèi)，作OFEC于F，連結(jié)DF，DO平面AC，DFEC，DFO為二面角DECB的平面角如圖1，作OFDC于F，則RtEMDRtOFD，如圖2，在RtDOM中，OMDMcosDMODM·cos60 如圖1，在RtDFO中，二面角DECB的大小為 8直三棱柱ABCA1B1C1中，ACCBAA12，ACB90°，E是BB1的中點(diǎn)，DAB，A1DE90°.（）求證：CD平面ABB1A1；（）求二面角DA1CA的大小.（）解：9如圖，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90

12、76;，AC=BC=a，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影ABB1C1A1DC恰為AC的中點(diǎn)D，BA1AC1。（I）求證：BC平面A1ACC1； （II）求點(diǎn)A1到AB的距離（III）求二面角BAA1C的正切值 解：答案：如圖，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90°，AC=BC=a，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，BA1AC1。（I）求證：BC平面A1ACC1； （II）求點(diǎn)A1到AB的距離（III）求二面角BAA1C的正切值 解：（1）由題意，A1D平面ABC，A1DBC。又ACBC，BC平面A1ACC1（II）過D作DHAB于H，又A1D平面ABC，ABA1HA1H

13、是H1到AB的距離BA1AC1，BC平面A1ACC1，由三垂線定理逆定理，得A1CAC1 A1ACC1是菱形 A1A=AC=a, A1D=.10如圖，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中點(diǎn)，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1B中點(diǎn)，異面直線CF與DE所成的角為90°. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角CAFB的大小.解：（1）取BC、C1C的中點(diǎn)分別為H、N，連結(jié)HC1，連結(jié)FN，交HC1于點(diǎn)K，則點(diǎn)K為HC1的中點(diǎn)，因FN/HC，則HMCFMK，因H為BC中點(diǎn)BC=AB=2，則KN=，則HM=，在RtHCC1，HC2=HM·HC1，解得HC1=，C1C=2.另解：取A

14、C中點(diǎn)O，以O(shè)B為x軸，OC為y軸，按右手系建立空間坐標(biāo)系，設(shè)棱柱高為h，則C（0，1，0），F(xiàn)（），D（），E（0，0，h），由CFDE，得，解得h=2. （2）連CD，易得CD面AA1B1B，作DGAF，連CG，由三垂線定理得CGAF，所以CGD是二面角CAFB的平面角，又在RtAFB中，AD=1，BF=1，AF=，從而DG=tanCGD=，故二面角CAFB大小為arctan.11.已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，M、N分別是AD、PB的中點(diǎn)。（）求證：平面MNC平面PBC；（）求點(diǎn)A到平面MNC的距離。解：（I）連PM、MB PD平面ABCD PDMD1分PM=BM

15、 又PN=NB MNPB3分得NCPBPB平面MNC5分 平面PBC平面MNC平面PBC6分（II）取BC中點(diǎn)E，連AE，則AE/MCAE/平面MNC，A點(diǎn)與E點(diǎn)到平面MNC的距離相等7分取NC中點(diǎn)F，連EF，則EF平行且等于BN BN平面MNC EF平面MNC，EF長為E點(diǎn)到平面MNC的距離9分 PD平面ABCD，BCDC BCPC. 即點(diǎn)A到平面MNC的距離為12分12如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長的3，側(cè)棱AA1=D是CB延長線上一點(diǎn)，且BD=BC. （）求證：直線BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大小； （）求三棱錐C1ABB1的體積. （）證明：CD/C1B

16、1，又BD=BC=B1C1， 四邊形BDB1C1是平行四邊形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直線BC1/平面AB1D.（）解：過B作BEAD于E，連結(jié)EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中點(diǎn)， 在RtB1BE中，B1EB=60°。即二面角B1ADB的大小為60° （）解法一：過A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱錐C1ABB1的體積為 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱錐C1ABB1的體積為13如圖，

17、在底面是直角梯形的四棱錐中，ADBC，ABC90°，且，又PA平面ABCD，AD3AB3PA3a。 （I）求二面角PCDA的正切值； （II）求點(diǎn)A到平面PBC的距離。解：（1）在底面ABCD內(nèi)，過A作AECD，垂足為E，連結(jié)PE PA平面ABCD，由三垂線定理知：PECD PEA是二面角PCDA的平面角2分 在中， 4分 在中， 二面角PCDA的正切值為6分 （II）在平面APB中，過A作AHPB，垂足為H PA平面ABCD，PABC 又ABBC，BC平面PAB 平面PBC平面PAB AH平面PBC 故AH的長即為點(diǎn)A到平面PBC的距離10分 在等腰直角三角形PAB中，所以點(diǎn)A到平

18、面PBC的距離為12分14如圖，PA平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).（）求證：AF平面PCE；（）若二面角PCDB為45°，AD=2，CD=3，求點(diǎn)F到平面PCE的距離.（）取PC中點(diǎn)M，連結(jié)ME、MF. ，即四邊形AFME是平行四邊形，2/；。分AF/EM，AF平在PCE，AF平面PCE.4分（）PA平面AC，CDAD，根據(jù)三垂線定理知，CDPD PDA是二面角PCDB的平面角，則PDA=45°6分 于是，PAD是等腰直角三角形，AFPD，又AFCDAF面PCD.而EM/AF, EM面PCD.又EM平面PEC, 面PEC面PCD.8分在面PC

19、D內(nèi)過F作FHPC于H，則FH為點(diǎn)F到平面PCE的距離.10分由已知，PD=2，PF=PFHPCD 12分15如圖，正方體，棱長為a，E、F分別為AB、BC上的點(diǎn)，且AEBFx（1）當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐的體積最大？（2）求三棱椎的體積最大時(shí)，二面角的正切值；（3）求異面直線與所成的角的取值范圍（1），當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大（2）取EF中點(diǎn)O，由，所以就是二面角的平面角在Rt中（3）在AD上取點(diǎn)H使AHBFAE，則，所以（或補(bǔ)角）是異面直線與所成的角在Rt中，在Rt中，在RtHAE中，在中，因?yàn)?，所以?6 已知，如圖四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG平面ABCD，垂足為G，G在

20、AD上，且AG=GD，BGGC，GB=GC=2，E是BC的中點(diǎn)，四面體PBCG的體積為.（）求異面直線GE與PC所成的角；（）求點(diǎn)D到平面PBG的距離；（）若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn)，且DFGC，求的值.解法一： （I）由已知PG=42如圖所示，以G點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，則B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）異面直線GE與PC所成的角為arccos4（II）平面PBG的單位法向量點(diǎn)D到平面PBG的距離為8（III）設(shè)F（0，y , z）在平面PGC內(nèi)過F點(diǎn)作FMGC，M為垂足，則12解法二： （I）由已知PG=42在平面ABCD內(nèi)，過C點(diǎn)作CH/EG交

21、AD于H，連結(jié)PH，則PCH（或其補(bǔ)角）就是異面直線GE與PC所成的角.3在PCH中，由余弦定理得，cosPCH=異面直線GE與PC所成的角為arccos4（II）PG平面ABCD，PG平面PBG平面PBG平面ABCD在平面ABCD內(nèi)，過D作DKBG，交BG延長線于K，則DK平面PBGDK的長就是點(diǎn)D到平面PBG的距離6在DKG，DK=DGsin45°=點(diǎn)D到平面PBG的距離為8（III）在平面ABCD內(nèi)，過D作DMGC，M為垂足，連結(jié)MF，又因?yàn)镈FGCGC平面MFD， GCFM由平面PGC平面ABCD，F(xiàn)M平面ABCD FM/PG由GMMD得：GM=GD·cos45&#

22、176;=101217如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，點(diǎn)M、N分別在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（）求證：AMPD；（）求二面角PAMN的大?。唬ǎ┣笾本€CD與平面AMN所成角的大小. （I）證明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD3分AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD.5分 （II）解：AM平面PCD（已證）.AMPM，AMNM.PMN為二面角P-AM-N的平面角.7分PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M為PD

23、的中點(diǎn)，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 .10分即二面角PAMN的大小為. （III）解：延長NM，CD交于點(diǎn)E.PC平面AMN，NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影CEN為CD（即（CE）與平在AMN所成的角.12分CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD與平面AMN所成的角的大小為15分18如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D為棱CC1上的一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為的重心（1）求證：；（2）若二面角CABD的大小為，求點(diǎn)C1到平面A1B1D的距離；（3）若點(diǎn)C在上的射影正好為M，試判斷點(diǎn)C1在的射影是否 為N？并說明理由解：（1）連結(jié)并延長，分別交于，連結(jié)，分別為的重心，則分別為的中點(diǎn)在直三棱柱中，（2）連結(jié)即為二面角的平面角在中，PQ 連結(jié)同上可知，設(shè)PQCC1DNM（3） .（另解）9(B)空間向量解法：以C1為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系。（1） 設(shè)，依題意有： 因?yàn)镸、N分別為的重心所以 （2） 因?yàn)槠矫鍭BC的法向量， 設(shè)平面ABD的法 向量 令，設(shè)二面角CABD為，則由因此 設(shè)平面A1B1D的法向量為，則設(shè)C1到平面A1B1D的距離為，則（3）若點(diǎn)C在平面ABD上的射影正好為M，則· 即（舍） 因?yàn)镈為CC1的中