大學(xué)物理科學(xué)出版社質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)一、 基本要求1 掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)變化的物理量。2 能借助于直角坐標(biāo)計(jì)算質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度、加速度。3 能計(jì)算質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度和角加速度，切向加速度和法向加速度。4 理解伽利略坐標(biāo)，速度變換。二、 基本內(nèi)容1 位置矢量（位矢）位置矢量表示質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻在空間的位置，用從坐標(biāo)原點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)所引的一條有向線段表示。 的端點(diǎn)表示任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置。同時(shí)表示任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離及質(zhì)點(diǎn)位置相對(duì)坐標(biāo)系的方位。位矢是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量之一。注意：（1）瞬時(shí)性：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位矢是隨時(shí)間變化的，即；（2）相對(duì)性

2、：用描述質(zhì)點(diǎn)位置時(shí)，對(duì)同一質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的位置，在不同坐標(biāo)系中可以是不相同的。它表示了的相對(duì)性，也反映了運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性；（3）矢量性：為矢量，它有大小，有方向，服從幾何加法。在直角坐標(biāo)系Oxyz中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)， （運(yùn)動(dòng)方程矢量式）（運(yùn)動(dòng)方程標(biāo)量式）。位移 的模。注意：（）與：前者表示質(zhì)點(diǎn)位置變化，是矢量，同時(shí)反映位置變化的大小和方位；后者是標(biāo)量，反映質(zhì)點(diǎn)位置離開(kāi)坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的變化。（）與：表示時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程，是標(biāo)量，只有質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)兩者大小相同或時(shí)，。3. 速度 是描述位置矢量隨時(shí)間的變化。在直角坐標(biāo)系中的方向：在直線運(yùn)動(dòng)中，v>0表示沿坐標(biāo)軸正向運(yùn)動(dòng)，v<0表示沿坐標(biāo)

3、軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)。在曲線運(yùn)動(dòng)中， 沿曲線上各點(diǎn)切線，指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的一方。注意：（1）瞬時(shí)性，質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中的任一時(shí)刻的速度是不同的；（2）矢量性，速度為矢量，具有大小，方向，求解速度應(yīng)同時(shí)求得其大小和方向；（3）相對(duì)性：運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，但運(yùn)動(dòng)描述是相對(duì)的，所以必須明確參照系，坐標(biāo)系，在確定的坐標(biāo)系中求質(zhì)點(diǎn)的速度；（4）疊加性，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)是可疊加的，所以描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量速度也是可疊加的；（5）要注意區(qū)別速度和速率，注意與，與的區(qū)別。4 加速度 ，描述質(zhì)點(diǎn)速度矢量隨時(shí)間的變化，其中包括速度的大小和方向隨時(shí)間的變化。不論速度的大小變化，或者是速度方向的變化，都有加速度。加速度為矢量。在直角坐標(biāo)中，其中，。在

4、自然坐標(biāo)系中 ，其中，加速度的方向與速度方向無(wú)直接關(guān)系。在直線運(yùn)動(dòng)中，若與同向，則質(zhì)點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)，與反向，則質(zhì)點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)。在曲線運(yùn)動(dòng)中，方向總是指向曲線凹的一側(cè)的。5圓周運(yùn)動(dòng)的角速度、角加速度角速度 角加速度 角量與線量的關(guān)系：，6加利略速度變換 其中為運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)固定參照系的速度，稱為絕對(duì)速度；為運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系的速度，稱為相對(duì)速度；為運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)固定參照系的速度，稱為牽連速度。三、典型例題：【例11】 如圖11（a），在離水面高為的岸邊，有人通過(guò)滑輪用繩拉船靠岸，設(shè)人收繩的速率恒定為，求當(dāng)船到滑輪的距離為時(shí)，繩上點(diǎn)距離為的點(diǎn)速度？ （a） （b）例11圖解: 分析：在收繩過(guò)程中，

5、段內(nèi)繩上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況（軌跡、速度大小和方向）各不相同，繩上各點(diǎn)速度的大小和收繩速率也是兩個(gè)不同的概念。下面用坐標(biāo)法求解，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖11（b）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 點(diǎn)的速度 由圖知：，利用 可得：將代入式得：討論：（1）式表明，繩上不同點(diǎn)得速度大小、方向均不相同。當(dāng)時(shí)，則此即船速，“”號(hào)說(shuō)明船的運(yùn)行方向水平向左。（2）如果用極坐標(biāo)法求解，則求得的速度的兩個(gè)分量分別為徑向分量和橫向分量，其中徑向分量是指速度沿繩方向的分量，其大小即為收繩速率。橫向分量是指速度垂直于繩方向的分量。（3）從圖11(b)的示意圖中可以定性地看出，繩上各點(diǎn)（除點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，可知繩上各點(diǎn)具有加速度。由

6、加速度定義式，運(yùn)用在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式不難求得繩上各點(diǎn)加速度大小和方向的定量表達(dá)式。說(shuō)明：大學(xué)物理和中學(xué)物理的一個(gè)重要區(qū)別是開(kāi)始把高等數(shù)學(xué)作為研究物理解決物理問(wèn)題的一個(gè)重要手段，從而使學(xué)習(xí)的內(nèi)容上了一個(gè)臺(tái)階。便于應(yīng)用微積分運(yùn)算的坐標(biāo)法，是在大學(xué)物理課程中定量研究物理問(wèn)題的一個(gè)重要方法。這種方法的一個(gè)特點(diǎn)是解題過(guò)程的程序化，當(dāng)物理量（如速度、加速度等）不是恒量而是隨時(shí)間變化的一般情形時(shí)，運(yùn)用坐標(biāo)法解這類較復(fù)雜的問(wèn)題顯得尤為方便?！纠?2】 如圖12所示。一質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為（SI）。求時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度、切向加速度的大小、法向加速度的大小和此時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑。例12圖解：

7、分析：已知運(yùn)動(dòng)方程的坐標(biāo)表達(dá)式，用坐標(biāo)法求解較為方便。速度 （SI）加速度 (SI)當(dāng)時(shí)， (SI)由式得 (SI)由定義，切向加速度為（SI）當(dāng)時(shí)，而質(zhì)點(diǎn)在該處軌道的曲率半徑為說(shuō)明：運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中求曲線的曲率半徑，要代入公式運(yùn)算比較繁瑣（同學(xué)們自己完成），這里運(yùn)用法向加速度和切向加速度公式求解，要簡(jiǎn)捷得多?！纠?3】空中打靶如圖13，當(dāng)子彈從點(diǎn)射出時(shí)，小球（目標(biāo)）開(kāi)始自由下落，若要保證子彈在目標(biāo)落地之前擊中它，求子彈出射速度的方向和速度大小的范圍。已知點(diǎn)得高為，距點(diǎn)的水平距離為。例13圖解：分析：子彈擊中目標(biāo)得必要條件是：（1） 子彈和靶的軌道在地面以上相交。（2） 子彈和靶同時(shí)到達(dá)交點(diǎn)。為

8、此可用坐標(biāo)法求解該題，但根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的理論運(yùn)用矢量圖解法解本題更為簡(jiǎn)潔：在任一時(shí)刻，子彈的速度為而靶作自由落體運(yùn)動(dòng)，速度為由相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度公式，子彈相對(duì)于靶的速度上式表明，子彈相對(duì)于靶作勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此，為擊中靶，最初槍必須瞄準(zhǔn)射擊，使的方向指向靶，即仰角應(yīng)滿足相對(duì)靶，子彈沿直線運(yùn)動(dòng)，擊中靶的時(shí)間為而靶自由下落到地面所用的時(shí)間為為保證子彈在靶落地之前擊中，應(yīng)小于或等于，即：得大小范圍為請(qǐng)同學(xué)們用坐標(biāo)法解此題，并比較這兩種解法，希望大學(xué)在熟練掌握坐標(biāo)法這一基本方法的基礎(chǔ)上能靈活運(yùn)用矢量圖解法求解一些特殊的問(wèn)題。四、 習(xí)題選解1-1 從原點(diǎn)到P點(diǎn)的位置矢量。而P點(diǎn)到Q的位移。求從原點(diǎn)到Q點(diǎn)的位置矢

9、量，并作圖表示。解： 由位移定義 設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）則 而 顯然 故 題1-1圖1-2 設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為（式中 x以m計(jì)，t以s計(jì)）。求（1）質(zhì)點(diǎn)在3 s末的速度和加速度；（2）質(zhì)點(diǎn)在1.5 s是作加速運(yùn)動(dòng)還是作減速運(yùn)動(dòng)；（3）第1 s末到第3 s末時(shí)間內(nèi)的位移和路程。解： （1） 以 t=3 s代入上兩式分別得（2） t=1.5 s代入v、a表達(dá)式分別得a與v反向，質(zhì)點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)。（3）位移由 得 即t=2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)靜止，其后反向運(yùn)動(dòng)。故路程 1-3 一質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為。求：（1） 質(zhì)點(diǎn)的軌道方程；（2） t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置矢量，速度矢量；（3） 什么時(shí)

10、刻質(zhì)點(diǎn)的位置矢量與其速度矢量恰好垂直？（4） 什么時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)最近？求這一距離。解： （1）由消去t得軌道方程為 （x>0）（2） 而 故 （3） 時(shí) 則 即得 （4） 取極小值，由 得 （舍去）但 故 t=3 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)距離最近，其距離為6.08 m。1-4 一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度。時(shí)，質(zhì)點(diǎn)速度為零，位置矢量。求（1） 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位置矢量；（2） 質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。解： 由題意知：（1） 而 同理 即而 由此可得 （2） 軌道方程由消t得 即1-5 消防水槍噴出的水的流量是。水的流速。若水槍豎直向上噴射，水流上升的高度是多少？在任一瞬間空中有多少升水？解： 豎直上拋的最大

11、高度水上升到最大高度的時(shí)間，由 （令，為上升到最高點(diǎn)的速度） 得 則 水在空中運(yùn)動(dòng)5.2 s 噴向空中水 （升）噴向空中水 （升）1-6 一升降機(jī)以加速度上升，當(dāng)上升速度為 時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天花板上松落，天花板與升降機(jī)的底面相距。計(jì)算：（1）螺帽從天花板落到底面所需的時(shí)間；（2）螺帽相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離。解： 以地面為參照系，坐標(biāo)原點(diǎn)選在升降機(jī)以速度上升時(shí)刻機(jī)外固定柱上對(duì)應(yīng)升降機(jī)地板所在處，向上為正。（1）螺帽在=0 時(shí)，從處以初速為作上拋運(yùn)動(dòng)。其運(yùn)動(dòng)方程為 地板在=0時(shí)，以初速，從原點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)，其方程為 螺帽落地時(shí) （2）螺帽下降的距離1-7 如圖所示，有人在離水面高h(yuǎn)處通

12、過(guò)滑輪用繩子拉船靠岸。 設(shè)人用勻速收繩子拉船，求當(dāng)船與滑輪的水平距離為x時(shí)，船的速度和加速度的大小重要。解： 由圖可知 題1-7圖示 人以勻速收繩拉船 的方向沿x軸負(fù)方向船的加速度 的方向沿x軸負(fù)方向 1-8 如圖所示，一人站在山坡上，山坡與水平面成 a 角。他扔出一個(gè)初速為的小石子，與水平面成 q 角（向上），求（1）如空氣阻力不計(jì)，試證小石子落在斜坡上距離為s處 題1-8圖（2）由此證明，對(duì)于給定的與a 值，s在時(shí)有最大值：解： 以斜面方向?yàn)閤軸，垂直于斜面為y軸，扔出點(diǎn)為原點(diǎn)建立xOy坐標(biāo)系。（1） 小石子落地時(shí) y=0落地時(shí)間小石子落在斜坡上的距離（2） 對(duì)于給定的和 a 值由上式可知

13、，小石子落在斜坡上距離s 最大值的條件是 故 1-9 一個(gè)人扔石頭的最大出手速度為，他能擊中一個(gè)與他的手水平距離為l=50m，高h(yuǎn)為13m處的一個(gè)目標(biāo)嗎？在這個(gè)距離上他能擊中的目標(biāo)的最大高度是多少？解： 以出手點(diǎn)為原點(diǎn)，建立xOy坐標(biāo)，設(shè)出手速度與x軸夾角為，忽略空氣阻力有消去t，得石頭運(yùn)動(dòng)軌道方程 題1-9圖代入 當(dāng)時(shí)y取極值 故當(dāng)時(shí)，y在L=50m處最高高度為： 所以不能擊中目標(biāo)，能擊中的最大高度是12.3m。1-10 一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其坐標(biāo)x與時(shí)間t如下關(guān)系， （A，b皆為常數(shù)）。 求（1）任意時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的加速度；（2）質(zhì)點(diǎn)通過(guò)原點(diǎn)的時(shí)刻t。解： 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程 （1）速度 （2）加速度

14、（3）質(zhì)點(diǎn)通過(guò)原點(diǎn)時(shí) 由于  k=0,1,2, t= k=0,1,2,1-11 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其路程s隨時(shí)間t變化的規(guī)律為 式中b、c為大于零的常數(shù)，且。求（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度； （2）的時(shí)刻t。解： 質(zhì)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng) （1）速率 切向加速度 法向加速度 （2）切向加速度 法向加速度當(dāng)時(shí) 1-12 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按路程為的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，其中都是常量，求：（1）t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；（2）t為何時(shí)，加速度的大小等于b？（3）當(dāng)加速度為b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)了多少圈？解： 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng) （1）速率 切向加速度 法向加速度 質(zhì)點(diǎn)的加速度大小為 與的夾角 （2）

15、當(dāng)a=b時(shí) （3）a=b時(shí)， 質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)行的圈數(shù) 1-13 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為0.1m的圓周運(yùn)動(dòng)，用角坐標(biāo)表示其運(yùn)動(dòng)方程為 求： （1）t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)切向加速度和法向加速度的大??；（2） 當(dāng)q 等于多少時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度和半徑的夾角成45°。解： 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng) （1）角速度 角加速度 切向加速度 法向加速度 （2）質(zhì)點(diǎn)的加速度和半徑的夾角為45°，即與成45°角，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角位移 1-14 一個(gè)半徑為R=1.0m的圓盤，可以繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一根輕繩繞在盤子的邊緣，其自由端栓一物體A，如圖所示。在重力作用下，物體A從靜止開(kāi)始勻加速的降，在Dt=2.0s內(nèi)下降的距離

16、h=0.4m。求物體開(kāi)始下降后3s末，邊緣上任一點(diǎn)的 切加速度與法向加速度。書(shū)館 題1-14圖解： 在豎直方向建立 x 坐標(biāo)，t=0時(shí)，物體由靜止開(kāi)始勻加速下降，設(shè)加速度為a，圓盤邊緣一點(diǎn)的切向加速度法向加速度 ， 1-15 從同一地點(diǎn)，以相同速率朝不同方向把許多石子扔向空中，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式證明這些石子在空中相同高度處有相同速率（不計(jì)空氣阻力）。證： 設(shè)某一石子的拋射角為q，初速率為。在任一時(shí)刻t，石子沿x軸和y軸的速度分量為石子在t時(shí)刻的高度 故作拋體運(yùn)動(dòng)的石子在任一時(shí)刻的速率與拋射角q無(wú)關(guān)，只取決于高度H和初速。這些石子在相同高度處有相同速率。1-16 如圖所示，在一平坦高地上安放一門炮地邊

17、緣是一向下的陡壁，炮位距離陡壁l=8100m，陡壁下面的地平面低于炮位h=100m。用炮轟擊掩蔽在陡壁后面的目標(biāo)。如果炮彈出口速率為， 忽略空氣阻力 ，求： 題1-16圖 （1）離陡壁最近的炮彈彈著點(diǎn)距陡壁的距離d；（2）這時(shí)炮彈出口速度與水平面的夾角q 。解：炮彈著地點(diǎn)若離陡壁最近，則炮彈會(huì)經(jīng)過(guò)高地邊緣。炮彈作拋體運(yùn)動(dòng)的軌道方程炮彈經(jīng)陡壁邊緣 =炮彈出口速度與水平面夾角炮彈落地點(diǎn) 1-17 如圖所示，一氣象氣球自地面以勻速v上升到天空，在距離放出點(diǎn)為R處的A點(diǎn)用望遠(yuǎn)鏡對(duì)氣球進(jìn)行觀測(cè)。記錄得氣球的仰角q為時(shí)間t的函數(shù)。（1）求出用h和R表示仰角q 的公式；（2）求出作為時(shí)間的函數(shù)的公式；（3）

18、試證當(dāng)上升時(shí)間時(shí)，將按趨近于零。 題1-17圖解：（1）由圖可知，任一時(shí)刻t 氣球勻速上升 （2）等式 ，兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)（3）當(dāng)上升時(shí)間時(shí)，當(dāng)，趨于零。1-18 為轉(zhuǎn)播電視而發(fā)射的地球同步衛(wèi)星，它在赤道上空的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，周期等于地球自轉(zhuǎn)周期T=24h。求衛(wèi)星離開(kāi)地面的高度和衛(wèi)星的速率（距地球中心r處的重力加速度，是地球半徑）解：由題知同步衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度，向心加速度， 。 又 向心力由萬(wàn)有引力提供，所以 衛(wèi)星高度 衛(wèi)星速率 1-19 一飛輪的角速度在5s內(nèi)由均勻地減到。求（1）角加速度；（2）在此5s內(nèi)的總轉(zhuǎn)數(shù)；（3）再經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間，輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：飛輪作勻減速運(yùn)動(dòng)，在t=5s內(nèi)角

19、速度由減至，角位移為。設(shè)角加速度為（1）由勻速圓周運(yùn)動(dòng)速度方程 （2）由 （3）又經(jīng)時(shí)間，飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng) 又 1-20 北京正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)的儲(chǔ)存環(huán)的周長(zhǎng)為240m，電子要沿環(huán)以非常接近光速的速率運(yùn)行。這些電子運(yùn)動(dòng)的向心加速度是重力加速度的幾倍？解：電子以接近光速c的速率作圓周運(yùn)動(dòng)，儲(chǔ)存環(huán)的周長(zhǎng)為L(zhǎng)半徑為R。向心加速度 1-21 一無(wú)風(fēng)的下雨天，一火車以的速度前進(jìn)，車內(nèi)旅客看見(jiàn)玻璃窗上的雨滴和鉛垂線成75°角下降，求雨滴下落的速度（設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng)）。解：以地面為參照系，火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為，雨滴相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)速度為，旅客看到雨滴下落的速度為雨滴相對(duì)于火車的運(yùn)動(dòng)速度。 題1-21圖 1-22 飛機(jī)A以的速率（相對(duì)地面）向南飛行。同時(shí)另一架飛機(jī)B以的速率（相對(duì)地面）向東偏南3