第六章誤差基本知識

1、第六章誤差基本知識第六章誤差基本知識一、產(chǎn)生測量誤差的原因一、產(chǎn)生測量誤差的原因 (1) (1) 觀測者：由于觀測者感官鑒別能力有一定的局限性，所以在儀器對中、整平、瞄準和讀數(shù)等方面產(chǎn)生誤差。觀測者：由于觀測者感官鑒別能力有一定的局限性，所以在儀器對中、整平、瞄準和讀數(shù)等方面產(chǎn)生誤差。同時觀測者的技術(shù)水平和技術(shù)熟練程度不同，對觀測質(zhì)量有直接的影響。同時觀測者的技術(shù)水平和技術(shù)熟練程度不同，對觀測質(zhì)量有直接的影響。 (2) (2) 測量儀器：測量儀器：在測量工作中通常利用儀器進行的，由于每一種儀器只具有一定限度的精密度，因此，使觀測值的精度在測量工作中通常利用儀器進行的，由于每一種儀器只具有一定限

2、度的精密度，因此，使觀測值的精度受到一定的限制。受到一定的限制。儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會給測量儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會給測量帶來誤差。帶來誤差。 如：水準尺只刻劃厘米，毫米估讀誤差；如：水準尺只刻劃厘米，毫米估讀誤差； 儀器的軸線關(guān)系不正確，產(chǎn)生誤差；儀器的軸線關(guān)系不正確，產(chǎn)生誤差； 度盤刻劃不均，性能差等產(chǎn)生的誤差。度盤刻劃不均，性能差等產(chǎn)生的誤差。 所以，在所以經(jīng)緯儀、水準儀、測距儀等任何儀器均不可避免的產(chǎn)生誤差。所以，在所以經(jīng)緯儀、水準儀、測距儀等任何儀器均不可避免的產(chǎn)

3、生誤差。(3)(3)外界條件：外界條件：觀測時所處的外界條件，如溫度、氣壓、濕度、清晰度、風力的強弱以及大氣折光等因素的不觀測時所處的外界條件，如溫度、氣壓、濕度、清晰度、風力的強弱以及大氣折光等因素的不斷變化，導致測量結(jié)果中帶有誤差。斷變化，導致測量結(jié)果中帶有誤差。 因此，在這樣的客觀環(huán)境下進行觀測，必然使測量的結(jié)果產(chǎn)生誤差。因此，在這樣的客觀環(huán)境下進行觀測，必然使測量的結(jié)果產(chǎn)生誤差。觀測條件觀測條件: :觀測者、測量儀器、外界條件是引起誤差的主要來源，這觀測者、測量儀器、外界條件是引起誤差的主要來源，這三大因素總稱為觀測條件。三大因素總稱為觀測條件。等精度觀測等精度觀測: :在上述條件基本

4、相同的在上述條件基本相同的情況下進行的各項情況下進行的各項觀測，稱為等精度觀測。觀測，稱為等精度觀測。結(jié)論：觀測誤差是不可避免的。結(jié)論：觀測誤差是不可避免的。( (粗差除外粗差除外) )二二 、測量誤差的定義及分類、測量誤差的定義及分類測量誤差是指在一定觀測條件下，觀測值與真值之間的差值。測量誤差是指在一定觀測條件下，觀測值與真值之間的差值。根據(jù)測量誤差對測量成果的影響性質(zhì)，可將誤差分為：根據(jù)測量誤差對測量成果的影響性質(zhì)，可將誤差分為： 系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差、 偶然誤差偶然誤差 粗差三種。粗差三種。（一）系統(tǒng)誤差（一）系統(tǒng)誤差 1 1定義：在相同觀測條件下，對某量進行定義：在相同觀測條件下，對某

5、量進行一系列觀測，如誤差出現(xiàn)符號和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，一系列觀測，如誤差出現(xiàn)符號和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 2 2特點：具有積累性，對測量結(jié)果的影響特點：具有積累性，對測量結(jié)果的影響大，但可通過一般的改正或用一定的大，但可通過一般的改正或用一定的觀測方法加以消除。觀測方法加以消除。 例如：例如：鋼尺尺長誤差、鋼尺尺長誤差、 鋼尺溫度誤差、鋼尺溫度誤差、水準儀視準軸誤差、水準儀視準軸誤差、 經(jīng)緯儀視準軸誤差經(jīng)緯儀視準軸誤差 系統(tǒng)誤差的處理方法：系統(tǒng)誤差的處理方法：（1）校正儀器，把儀器的系統(tǒng)誤差降低到）校正儀器，把儀器的系統(tǒng)誤差降低

6、到 最小程度。最小程度。（2）求改正數(shù)，對觀測成果進行必要的改）求改正數(shù)，對觀測成果進行必要的改 正（如：鋼尺比長；誤差平差分配等）正（如：鋼尺比長；誤差平差分配等）（3）對稱觀測，使系統(tǒng)誤差對觀測成果的影）對稱觀測，使系統(tǒng)誤差對觀測成果的影 響互為相反數(shù)，以便在成果計算中，自響互為相反數(shù)，以便在成果計算中，自行消除或消弱。行消除或消弱。 如：三角高程測量的直反覘；如：三角高程測量的直反覘； 水準測量中的儀器位于前后視中間；水準測量中的儀器位于前后視中間； 角度測量中的盤左盤右等。角度測量中的盤左盤右等。（二）（二） 偶然誤差偶然誤差 1、定義：在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不

7、相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為、定義：在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為 偶然誤差偶然誤差 。2、特點：大量的偶然誤差有、特點：大量的偶然誤差有“統(tǒng)計規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律”例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產(chǎn)生誤差。對中等誤差，導致觀測值產(chǎn)生誤差。偶然誤差只能通過多次觀測，偶然誤差只能通過多次觀測，取平均值來減小。取平均值來減小。（三）（三） 粗差粗差粗差粗差是指在一定觀測條件下，超是指在一定觀測條件下，超過規(guī)定限差值的誤差。過規(guī)定限差值的誤差。對于粗差，應當分析原因，通過補測等方法

8、加以消除。對于粗差，應當分析原因，通過補測等方法加以消除。三、偶然誤差的特性三、偶然誤差的特性 1 1、偶然誤差的定義：、偶然誤差的定義： 設(shè)某一量的真值為設(shè)某一量的真值為X X，對該量進行了，對該量進行了n n次觀測，次觀測， 得得n n個觀測值個觀測值 ，則產(chǎn)生了，則產(chǎn)生了n n個真誤個真誤 差差 ：nlll,21n,21iilX 真真誤誤差差真真值值觀觀測測值值2、偶然誤差的規(guī)律：、偶然誤差的規(guī)律：（1）具有一定的范圍。）具有一定的范圍。（2）絕對值小的誤差出現(xiàn)概率大。）絕對值小的誤差出現(xiàn)概率大。（3）絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會近）絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會近 于相等。于相等

9、。（4）偶然誤差的算術(shù)平均值隨觀測次數(shù)的無限增大而趨于零）偶然誤差的算術(shù)平均值隨觀測次數(shù)的無限增大而趨于零,即：即： 0limnn如如P76表：表： 在相同的觀測條件下觀測了在相同的觀測條件下觀測了162個三角形的內(nèi)角，由于觀測值存在偶然誤差，所以測得的每個三角形的內(nèi)角和個三角形的內(nèi)角，由于觀測值存在偶然誤差，所以測得的每個三角形的內(nèi)角和 “ L ”都不等于都不等于1800，其差值稱為真誤差（觀測值與理論值之差），即，其差值稱為真誤差（觀測值與理論值之差），即:180L誤誤 差區(qū)差區(qū) 間間正正 誤誤 差差負負 誤誤 差差總總 和和個數(shù)個數(shù)/ /個個百分比百分比個數(shù)個數(shù)/ /個個個百分比個百分比

10、個數(shù)個數(shù)/ /個個百分比百分比00.200.2212113.013.0212113.013.0424226.026.00.20.40.20.4191911.711.7191911.711.7383823.423.40.40.60.40.615159.39.312127.47.4272716.716.70.60.80.60.811116.86.89 95.65.6202012.412.40.81.00.81.09 95.65.68 84.94.9171710.510.51.01.21.01.25 53.03.06 63.73.711116.76.71.21.41.21.41 10.60.63 3

11、1.91.94 42.52.51.41.61.41.61 10.60.62 21.21.23 31.81.81.61.6以上以上0 00 00 00 00 00 0808050.650.6808049.449.4162162100100偶然誤差統(tǒng)計表偶然誤差統(tǒng)計表180L誤差誤差= =觀測值觀測值18001800圖形：偶然誤差分布頻率直方圖正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線四個特性即有界性，趨向性，對稱性，抵償性。四個特性即有界性，趨向性，對稱性，抵償性。 0limlim21nnnnnx= y誤差分布頻率直方圖誤差分布頻率直方圖(6-2)(6-2) -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0

12、 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 有界性：偶然誤差應小于限有界性：偶然誤差應小于限值。值。趨向性：誤差小的出現(xiàn)的概趨向性：誤差小的出現(xiàn)的概率大率大對稱性：絕對值相等的正負對稱性：絕對值相等的正負誤差概率相等誤差概率相等抵償性：當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。四、在觀測工作中應采取的措施四、在觀測工作中應采取的措施 在測量工作中總是采取各種辦法削弱系統(tǒng)誤差的影響，使其處于次要地位，因此觀測結(jié)果中的誤差主要是偶然誤差。通常對偶然誤差采用以下處理方法: 1、提高儀器等級 2、進行多余觀測 3、求平差值，計算觀測值的平均值或按閉合差求改正數(shù)，計算改正后的觀測值，這些計算

13、值稱為觀測值的平差值。誤差理論證明，按上述方法計算的平差值，偶然誤差最小。nm 22221.n中誤差的絕對值與觀測值之比，并將分子中誤差的絕對值與觀測值之比，并將分子 化為化為1，分母取整數(shù)，稱為相對中誤差，分母取整數(shù)，稱為相對中誤差， 即：即： 相對中誤差不能用于評定測角的相對中誤差不能用于評定測角的 精度，因為角度誤差與角度大小無關(guān)。精度，因為角度誤差與角度大小無關(guān)。二、相對中誤差二、相對中誤差mDDmK1 在一般距離丈量中，往返各丈量一次，取往返丈量之差與往返丈量的距離平均值之比，將分子化為在一般距離丈量中，往返各丈量一次，取往返丈量之差與往返丈量的距離平均值之比，將分子化為1，分母取整

14、數(shù)來評定距離丈量的精度。稱為相對誤差。分母取整數(shù)來評定距離丈量的精度。稱為相對誤差。 經(jīng)緯儀導線測量時，規(guī)范中所規(guī)定的相對閉合差不能超過經(jīng)緯儀導線測量時，規(guī)范中所規(guī)定的相對閉合差不能超過1/2000,它就是相對極限誤差；而在實測中所它就是相對極限誤差；而在實測中所產(chǎn)生的相對閉合差，則是相對真誤差。產(chǎn)生的相對閉合差，則是相對真誤差。與相對誤差相對應，真誤差、中誤差、極限誤差等均稱為絕對誤差。與相對誤差相對應，真誤差、中誤差、極限誤差等均稱為絕對誤差。三、極限誤差三、極限誤差 極限誤差又成為允許誤差，或最大誤差。極限誤差又成為允許誤差，或最大誤差。由偶然誤差的第一個特性可知，在一定的觀測條件下，偶

15、然誤差的絕對值不會超過一定的限值，測量由偶然誤差的第一個特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值，測量上把這個限值叫做極限誤差。上把這個限值叫做極限誤差。 在觀測次數(shù)不多的情況下可認為大于在觀測次數(shù)不多的情況下可認為大于3倍的中誤差是不可能出現(xiàn)的，所以通常以倍的中誤差是不可能出現(xiàn)的，所以通常以3倍中誤差作為偶然誤倍中誤差作為偶然誤差的極限誤差，即差的極限誤差，即m3允在實際工作中，有的測量規(guī)范規(guī)定以在實際工作中，有的測量規(guī)范規(guī)定以2倍中誤差作為極限誤差，倍中誤差作為極限誤差，即即 超過極限誤差的誤差被認為是粗差，應舍去重測。超過極限誤差的誤差被認為是粗差，應舍去重測。m

16、2允xnlnlniil1第三節(jié)第三節(jié) 算術(shù)平均值及改正數(shù)算術(shù)平均值及改正數(shù) nlnlllxn 21證明（證明（x是最或然值）是最或然值）XxlXlXlXnnnlXnilXnn即可得出：）特性由偶然誤差第（得：將上式求和并除以其真誤差為，觀測值為設(shè)該量的真值為0lim4n,.2211 由以上證明可知，當觀測次數(shù)無限增多時，算術(shù)平均值x趨近于真值X。 在計算時，不論觀測次數(shù)的多少均以算術(shù)平均值作為所求量的最或然值（接近于真值的值），這是誤差理論中的一個公理。 應當指出，不同精度的觀測值不能取算術(shù)平均值作為最或然值。二、平差值二、平差值 盡管用算術(shù)平均值作為觀測值的最或然值，但算術(shù)平均值中依然還存在

17、有偶然誤差，如在閉合導線盡管用算術(shù)平均值作為觀測值的最或然值，但算術(shù)平均值中依然還存在有偶然誤差，如在閉合導線中，每個轉(zhuǎn)角都是根據(jù)若干個測回的角值取平均值得來的，但仍然有角度閉合差。中，每個轉(zhuǎn)角都是根據(jù)若干個測回的角值取平均值得來的，但仍然有角度閉合差。 按照誤差理論，通常采用平差的方法消除閉合差。按照誤差理論，通常采用平差的方法消除閉合差。1、求改正數(shù)、求改正數(shù) 外業(yè)觀測結(jié)果經(jīng)校核符合要求后，可通過求改正數(shù)的方法以消除不符值（閉合差）。外業(yè)觀測結(jié)果經(jīng)校核符合要求后，可通過求改正數(shù)的方法以消除不符值（閉合差）。 如：多邊形內(nèi)角和與理論值如：多邊形內(nèi)角和與理論值 （2）180存在不符值。存在不符

18、值。 其改正數(shù)為其改正數(shù)為 v = 式中：式中：v為改正數(shù)，為改正數(shù)，n為多邊形邊數(shù)，為多邊形邊數(shù)， w為多邊形閉合差。為多邊形閉合差。 導線測量中因邊長誤差引起的坐標增量閉合差，也可通過求改正數(shù)的方法予以消除。水準測量中各測導線測量中因邊長誤差引起的坐標增量閉合差，也可通過求改正數(shù)的方法予以消除。水準測量中各測站的高差誤差導致水準路線產(chǎn)生的高差閉合差，同樣可通過求改正數(shù)的方法消除。站的高差誤差導致水準路線產(chǎn)生的高差閉合差，同樣可通過求改正數(shù)的方法消除。2、求平差值、求平差值 求改正數(shù)的目的是為了消除不符值，消除不符值的方法是對觀測值加以改正求得平差值（改正值）。求改正數(shù)的目的是為了消除不符值

19、，消除不符值的方法是對觀測值加以改正求得平差值（改正值）。 改正后的觀測值叫平差值（即平差值等于觀測值加上改正數(shù)）。改正后的觀測值叫平差值（即平差值等于觀測值加上改正數(shù)）。例如：例如： 在閉合導線內(nèi)業(yè)計算中，把角度閉合差按轉(zhuǎn)角個數(shù)反號平均分配給各個角度，使得改正后的角度（平差值）在閉合導線內(nèi)業(yè)計算中，把角度閉合差按轉(zhuǎn)角個數(shù)反號平均分配給各個角度，使得改正后的角度（平差值）之和滿足多邊形內(nèi)角和條件。之和滿足多邊形內(nèi)角和條件。 把坐標增量閉合差按導線邊長把坐標增量閉合差按導線邊長成正比反號分配給各邊的坐標增量，使得改正后的坐標增量之和為成正比反號分配給各邊的坐標增量，使得改正后的坐標增量之和為0

20、0，達到消除閉合差的目的。達到消除閉合差的目的。 在閉合水準路線內(nèi)業(yè)計算中，在閉合水準路線內(nèi)業(yè)計算中，把高差閉合差按測站數(shù)或按路線把高差閉合差按測站數(shù)或按路線長度成正比反號分配給各測段高差，使得改正后的高差之和等于長度成正比反號分配給各測段高差，使得改正后的高差之和等于0 0，以滿足理論上的要求。以滿足理論上的要求。180L180Lnm 例一例一: 對同一量分組進行了對同一量分組進行了10次觀測，其真誤差如下：次觀測，其真誤差如下：第一組：第一組：+3、-2 、-1 、-3 、-4 、+2 、+4 、+3 、+2 、0 ；第二組：第二組：+1 、0 、+1 、+2 、-1 、 0 、-7 、-

21、1 、-8 、+3 ； m1m2，表示第一組觀測值的精度高于第二組。，表示第一組觀測值的精度高于第二組。6 . 3103)8(1)7(0) 1(21017 . 21002342)4() 3() 1()2(32222222222222222222221 mm一測回觀測值中誤差一測回觀測值中誤差 1 .115620nm二、用最或然誤差計算觀測值中誤差二、用最或然誤差計算觀測值中誤差 在通常情況下，觀測值的真值是不知道的，因此，也就無法根據(jù)真誤差計算中誤差。但是，我們可以在通常情況下，觀測值的真值是不知道的，因此，也就無法根據(jù)真誤差計算中誤差。但是，我們可以根據(jù)算術(shù)平均值根據(jù)算術(shù)平均值x與觀測值與觀

22、測值l之差，即最或然誤差之差，即最或然誤差 按下式來計算觀測值的中誤差，即：按下式來計算觀測值的中誤差，即： 上式也稱為白賽爾公式。上式也稱為白賽爾公式。1nvvm) lx （計算觀測值中誤差的步驟：計算觀測值中誤差的步驟：1、檢查外業(yè)記錄，將觀測值填入計算表格。、檢查外業(yè)記錄，將觀測值填入計算表格。2、按式、按式 計算觀測值的算術(shù)計算觀測值的算術(shù) 平均值。平均值。3、計算最或然誤差、計算最或然誤差v(),并用并用v=0進行檢查。進行檢查。4、將各個最或然誤差、將各個最或然誤差v平方并求和平方并求和5、按式、按式 計算觀測值的中誤差計算觀測值的中誤差 nlnlllxn 211nVVm例例3： 設(shè)對線段丈量設(shè)對線段丈量5次，結(jié)果列于下，次，結(jié)果列于下， 試求每次丈量距離的中誤差。試求每次丈量距離的中誤差。次序次序觀測值觀測值改正數(shù)改正數(shù)v v1 1123.361123.361-10-101001002 2123.330123.330+21+214414413 3123.3