高等數(shù)學(xué)2習(xí)題多元函數(shù)ppt課件

1、多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極極 限限 運(yùn)運(yùn) 算算多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容梯梯 度度高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性微分法在微分法在幾何上的應(yīng)用幾何上的應(yīng)用方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值全微分全微分概念概念偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念概念一、 基本概念連續(xù)性 偏導(dǎo)數(shù)存在 方向?qū)?shù)存在可微性1. 多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù) 定義域及對應(yīng)規(guī)律 判斷極限不存在及求極限的方法 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2. 幾個(gè)基本概念的關(guān)系

2、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1. 分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù) = 變量總個(gè)數(shù) 方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對象判定2. 正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3. 利用一階微分形式不變性三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1 1* *. .在幾何中的應(yīng)用在幾何中的應(yīng)用求曲線在切線及法平面 (關(guān)鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵: 抓住法向量) 2. 極值與最值問題極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求

3、條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 求解最值問題3*. 在微分方程變形等中的應(yīng)用在微分方程變形等中的應(yīng)用 最小二乘法二、典型例題二、典型例題例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求求極極限限1022 yxx. 0)(lim2200 yxxxyyx故故例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyf

4、xxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) ,dxdyyzzfxzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯顯然然得得中求中求在在,0),(2yzxzzexy 3231,2 yeyzxxz.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu試試求求且且所所確確定定由由方方程

5、程組組設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 的函數(shù)的函數(shù)都看成是都看成是以及以及將方程組的變元將方程組的變元xzyu,得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對,x,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代代入入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代代入入 )3(. 0)2(, 0,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxyxz例例5 5解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點(diǎn)

6、上任一點(diǎn)為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)分析分析:最最小小即即且且使使?jié)M滿足足，使使得得本本題題變變?yōu)闉榍笄笠灰稽c(diǎn)點(diǎn))22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程組得解此方程組得得得.647241414161min d),81,41,41(即即得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)處取得最小值處取得最小值駐點(diǎn)，故必在駐點(diǎn)，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根據(jù)題意距離的最小值根據(jù)題意距離的最小值)81,41,41(測測 驗(yàn)驗(yàn) 題題 六六、設(shè)、設(shè)uvzveyvexuu ,sin,