高數(shù)A第八章第六節(jié)ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程空間直線的一般方程空間直線的一般方程空間直線的對稱式方程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程與參數(shù)方程兩直線的夾角兩直線的夾角直線與平面的夾角直線與平面的夾角1 2 定義定義 空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線. 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程L注注;)1(222111不成比例不成比例、與與、CBACBA(2) 直線直線L的一般方程形式不是唯一的的一般方程形式不是唯一的.xyzOL方向向量的定義方向向量的定義如果一非零向量平行于如果一非零向

2、量平行于sL0M 二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程1.對稱式方程對稱式方程 一條直線可以有許多方向向量一條直線可以有許多方向向量.一條已知直線一條已知直線, 這個向量稱這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量. .xyzO的的直直線線L稱稱為為、的的三三個個坐坐標標pnms方向數(shù)方向數(shù). .),(pnms 若方向向量為若方向向量為),(pnms pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程pzznyymxx000 令令 直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程),(0000zzyyxxMM 因為因為故故sMM0/故故直線的方向向量的方向余弦也稱為

3、直線的方向余弦直線的方向向量的方向余弦也稱為直線的方向余弦( (點向式、標準式）點向式、標準式）t mtxx 0ntyy 0ptzz 0,),(LzyxM sMM0/L0M M xyzOs 例例解解取取所求直線方程為所求直線方程為 11xpzznyymxx000 M1 M2s求過兩點求過兩點M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直線方程的直線方程.向量向量21MM與直線平行與直線平行)2 , 4 , 1( s 21MM 42y23 z解解 交點為交點為),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直線方程所求直線方程 22x. A. Bs,),4 , 3, 2(軸軸垂垂直直相

4、相交交且且和和一一直直線線過過點點yA .求其方程求其方程例例 03y.44 zxyzO如對稱式方程為如對稱式方程為pzznyymxx000 1 將直線的對稱式方程將直線的對稱式方程 化為一般方程化為一般方程 各類直線方程形式的互換各類直線方程形式的互換那么那么nyymxx00 pzzmxx00 問題：是否唯一？問題：是否唯一？如對稱式方程為如對稱式方程為111101 zyx可寫成一般方程可寫成一般方程1 將直線的對稱式方程將直線的對稱式方程又如又如110101 zyx )0( zy即即可寫成一般方程可寫成一般方程01 x11 zy 1 x1 y化為一般方程化為一般方程 各類直線方程形式的互換

5、各類直線方程形式的互換xyzO11對稱式方程的分母為對稱式方程的分母為0時，其分子也為時，其分子也為0.7351 zyx例例 0220123zyxzyx將將解解015 yx037 zx. z可消去可消去. y可可消消去去即得對稱式方程即得對稱式方程.化為對稱式方程化為對稱式方程.解出共同的變量解出共同的變量 x.2. 直線的一般方程化為對稱式方程直線的一般方程化為對稱式方程先求直線上一定點先求直線上一定點:于是得直線上的一定點于是得直線上的一定點取取 21nns對稱式方程對稱式方程7578173zyx 將將 化為對稱式化為對稱式方程方程. 0220123zyxzyx,0 ,78,73 因所求直

6、線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直. )1, 1 , 2()1 , 2, 3(法二法二,0代代入入以以 z)7 , 5 , 1(1 2 Ls1 兩個對稱式方程兩個對稱式方程7351 zyx7578173zyx 問題問題怎么不一樣怎么不一樣?2 對稱式方程怎樣轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程形式？對稱式方程怎樣轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程形式？241312 zyx令令241312 zyx得得62 zyx解解 tztytx243206)24()3()2(2 ttt1 t再代入再代入代入平面方程代入平面方程,求直線求直線例例與平面與平面的交點的交點.t 得得, 1 x, 2 y. 2 z解解 先作一過點先作一

7、過點M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 3再求已知直線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點N,令令12131 zyx tztytx1213. M垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程.12131)3 , 1 , 2( zyxM且且與與直直線線求求過過點點例例 N2 1 )2( x)1( y)3( z0 t 73 t交點交點)73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN)373, 1713, 272( )724,76,712( 直線方程為直線方程為451122 zyx0)3()1(2)2(3 zyx tztytx1213代入代入得得將將)3 , 1

8、, 2(M直直線線過過點點. M N定義定義直線直線:1L111111pzznyymxx 直線直線:2L222222pzznyymxx ),cos(21LL兩直線的方向向量的夾角稱兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角稱兩直線的夾角.兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角（銳角）（銳角）222222212121212121pnmpnmppnnmm 兩直線的位置關(guān)系兩直線的位置關(guān)系:21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,

9、21ss 例例.21LL 即即(兩直線垂直、平行的條件兩直線垂直、平行的條件):1L:2L),(1111pnms ),(2222pnms 求直線求直線與與 直線的方向向量分別為直線的方向向量分別為(1,-4,1),(2,-2,1).例例13411 zyx1222 zyx的夾角的夾角. 解解 所以所以21cos 4 與與兩兩直直線線182511:1 zyxL).(326:2的夾角為的夾角為與與 zyyxL6. A4. B3. CC2. D 提示提示22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 例例)2 , 1, 1( )1 , 2 , 0()0 , 1, 1

10、( 2s)1 , 2, 1( 1s直線和它在平面上的投影直線的直線和它在平面上的投影直線的 定義定義20 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx ),(pnms ),(CBAn 2),( ns),(2ns 四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角夾角夾角 sin稱直線與平面的夾角稱直線與平面的夾角. ),cos(ns直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的)1()2(/(直線與平面垂直、平行的充要條件直線與平面垂直、平行的充要條件) sin;pCnBmA . 0 CpBnAm LL 位置關(guān)系：位置關(guān)系：),cos(ns222222|pnmCBACpBn

11、Am 解解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角.,21121: zyxL設(shè)設(shè)直直線線例例, 32: zyx 平平面面求直線與平面的夾角求直線與平面的夾角.解解 直線的方向向量為直線的方向向量為例例求過點求過點(1,-2,4)與平面與平面2x-3y+z=4垂直的直線方程垂直的直線方程.(2,-3,1).所以直線方程為所以直線方程為.143221 zyx,031020123 zyxzyxL為為設(shè)直線設(shè)直線).(, 0224則則為為平面平面 zyx 平平行行于于L

12、A. .上上在在 LB 垂垂直直于于LC.斜交斜交與與 LD.C),(pnms / 提示提示)7,14,28( )1 , 2, 4( )10, 1, 2()2 , 3 , 1( 例例平面束的方程平面束的方程設(shè)有兩塊不平行的平面設(shè)有兩塊不平行的平面其中系數(shù)不互相其中系數(shù)不互相成比例成比例交成一條直線交成一條直線L過直線過直線L平面束方程平面束方程.)1(0:11111 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA作作(3)表示過直線表示過直線L的所有平面的所有平面)(2 除除0)(2222 DzCyBxA1111DzCyBxA )3()2(0:22222 DzCyBxA 解解

13、的的和和點點求求過過直直線線)1, 1 , 1(010 zyxzyx.平面方程平面方程)1(0)1( zyxzyx 將點將點 代入代入(1)中中,得得)1, 1 , 1( 0)1111(111 23 將將代入代入(1)中中,得得23 035 zyx例例過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為例例1010 xyzxyz 求求直直 0 zyx在在平平面面上的投影直線方程上的投影直線方程.解解0) 1(1 zyxzyx 過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為0)1()1()1 ()1 ( zyx即即此平面與此平面與x+y+z=0垂直表示兩平面法向量垂直，垂直表示兩平面法向量垂直，所

14、以所以, 1 所以垂直平面的方程為所以垂直平面的方程為 y-z-1=0.所求直線方程為所求直線方程為 001zyxzy例例解解且且與與平平面面求求過過直直線線 , 0405:zxzyx過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為0)4(5 zxzyx 04)1(5)1( zyx即即其法向量其法向量又又已已知知平平面面的的法法向向量量).8, 4, 1(2 n.401284角角的的平平面面方方程程組組成成 zyx 1n)1, 5,1( 4cos 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此得由此得.43 代回平面束方程為代回平面束方程為.

15、012720 zyx且且與與平平面面求求過過直直線線 , 0405:zxzyx.401284角角的的平平面面方方程程組組成成 zyx2121nnnn 0)4(5 zxzyx )1, 5,1( 1n)8, 4, 1(2 n 與直線及及112211 zyx都平行且過原點的平面方程為都平行且過原點的平面方程為( ). tztyx2110 zyx提示提示平面過原點平面過原點由點法式方程即可得由點法式方程即可得.法向量法向量1.)1 , 1, 1( )1 , 2 , 1()1 , 1 , 0( n練習練習2.垂直的垂直的且與直線且與直線過點過點 1432)1, 2 , 1(tztytx).(平平面面方方

16、程程是是043 zyx)1 , 3 , 1( n 提示提示 3.130211:1 zyxL過過直直線線且且平平行行于于).(11122:2的平面方程為的平面方程為直線直線zyxL 023 zyx 提示提示)3 , 2 , 1(點點)1 , 3, 1()1 , 1 , 2()1, 0 , 1( 21ssn解解 設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為),(pnms ,1ns ,2ns 取取21nns ),1, 3, 4( .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程例例的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程.和和且且與與兩兩平平面面求求過過點點34)5 , 2 , 3( zx152 zyx 空間直線的一般方程空間直線的一般方程兩直線的夾角兩直線的夾角直線與平面的夾角直