哈大材力第七章

1、第七章第七章 應(yīng)力和應(yīng)變分析應(yīng)力和應(yīng)變分析強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論低碳鋼低碳鋼 塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？鑄鑄 鐵鐵問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出7-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)為什么沿脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)為什么沿4545螺旋面斷開？螺旋面斷開？低碳鋼低碳鋼鑄鑄 鐵鐵7-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出內(nèi)力計(jì)算找到危險(xiǎn)截面位置應(yīng)力計(jì)算找到危險(xiǎn)點(diǎn)位置 然而受力狀態(tài)完全相同（即危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)相同），破壞形態(tài)可能不同低碳鋼受扭產(chǎn)生平面斷口鑄鐵受扭產(chǎn)生45螺旋面斷口為什么？7-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念P鑄鐵壓縮鑄鐵壓縮1 1、鑄鐵與低碳

2、鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？2 2、組合變形桿將怎樣破壞？、組合變形桿將怎樣破壞？PP低碳鋼低碳鋼一、引子一、引子 2 2、受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力特征：、受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力特征： 二、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)二、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài): : 1 1、受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位的截面上應(yīng)力的集合、受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位的截面上應(yīng)力的集合, ,稱為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。稱為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。（1 1）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的；）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的；（2 2）構(gòu)件同一截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力狀況一般是）構(gòu)件同一截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力狀況一般是不同的；

3、不同的；（3 3）構(gòu)件同一點(diǎn)處，在不同方位截面上應(yīng)力狀況）構(gòu)件同一點(diǎn)處，在不同方位截面上應(yīng)力狀況一般是不同的。一般是不同的。 研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和切研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因并進(jìn)行失效分析。并進(jìn)行失效分析。P PA Aa ab bc cd dA A三、原始單元體法三、原始單元體法 從受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處從受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處切出的單元體，如果切出的單元體，如果各側(cè)面（一般為橫截各側(cè)面（一般為橫截面）的上的應(yīng)力均為面）的上的應(yīng)力均為已知，則這樣的單元已知，則這樣的單元體稱為

4、體稱為原始單元體法。原始單元體法。P PA Aa ab bc cd dA A 單元體特征：?jiǎn)卧w特征：?jiǎn)卧w的尺寸無(wú)限小，每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布；單元體的尺寸無(wú)限小，每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布；任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力相等。任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力相等。四、主應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)的分類四、主應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)的分類從一點(diǎn)處以不同方位截取的諸單元體中，有一個(gè)特從一點(diǎn)處以不同方位截取的諸單元體中，有一個(gè)特殊的單元體，在這個(gè)單元體側(cè)面上只有正應(yīng)力而無(wú)殊的單元體，在這個(gè)單元體側(cè)面上只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力。這樣的單元體稱為該點(diǎn)處的切應(yīng)力。這樣的單元體稱為該點(diǎn)處的 主單元體主單元體。研究應(yīng)力狀態(tài)的方法研究應(yīng)力狀態(tài)的方法單元體

5、法單元體法 單元體：圍繞構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)所截取的微小正六面體。單元體：圍繞構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)所截取的微小正六面體。主單元體的側(cè)面稱為主單元體的側(cè)面稱為 主平面主平面（ 通過(guò)該點(diǎn)處所取的諸通過(guò)該點(diǎn)處所取的諸截面中沒有切應(yīng)力的那個(gè)截面即是該點(diǎn)處的截面中沒有切應(yīng)力的那個(gè)截面即是該點(diǎn)處的 主平主平面面 ）。）。主平面上的正應(yīng)力稱為主平面上的正應(yīng)力稱為 主應(yīng)力。主應(yīng)力。主平面的法線方向叫主平面的法線方向叫 主方向主方向，即主應(yīng)力的方向。，即主應(yīng)力的方向。123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 單元體上沒有切應(yīng)力的面稱為主平面；主平面上的正應(yīng)力單元體上沒有切應(yīng)力的面稱為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為

6、主應(yīng)力，分別用稱為主應(yīng)力，分別用 表示，并且表示，并且該單元體稱為主應(yīng)力單元。該單元體稱為主應(yīng)力單元。321,321 7-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念PMeMePPMeMec) c) 同同b)b)，但從，但從上表面截取上表面截取C b) b) 橫截面，周向面，直徑面橫截面，周向面，直徑面各一對(duì)各一對(duì)Ba) a) 一對(duì)橫截面，兩對(duì)縱截面一對(duì)橫截面，兩對(duì)縱截面A=P/A =M=Me/WnABC例例 畫出下列圖中的畫出下列圖中的A A、B B、C C點(diǎn)的已知單元體。點(diǎn)的已知單元體。BCAPCAB B C C C A A123空間（三向）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零空間（三向）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力

7、均不為零平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：一個(gè)主應(yīng)力為零平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：一個(gè)主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)：兩個(gè)主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)：兩個(gè)主應(yīng)力為零7-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念例、圖例、圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。若已知容器平均直徑所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。若已知容器平均直徑D=500 mm，壁厚，壁厚 =10 mm，容器材料的，容器材料的 E=210GPa， =0.25，試，試: :導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式。導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式。1 1、軸向應(yīng)力、軸向應(yīng)力: :(longitudinal stress)(longitudinal stress)解：容器的環(huán)向和縱

8、向應(yīng)力解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達(dá)式表達(dá)式用橫截面將容器截開，受力如圖用橫截面將容器截開，受力如圖b b所示所示, ,根據(jù)平衡方程根據(jù)平衡方程 42DpDm = = 4pDm= =7-2 二向和三向二向和三向應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例用縱截面將容器截開，受力如圖用縱截面將容器截開，受力如圖c所示所示2 2、環(huán)向應(yīng)力：、環(huán)向應(yīng)力：(hoop stress)(hoop stress) Dlplt = = 2 2pDt= =平面初始應(yīng)力狀態(tài)包括xyxyyx=表示yxyxxyxyyxxy平面應(yīng)力狀態(tài)的簡(jiǎn)化表示yxyxxyxyyxxy 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)xy yx

9、 y yx xya a= 0 nF= 0 tF1.1.斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力 y a a xyd dA Axyx 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)= 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(=dAdAdAdAdAyyxxxy= 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(=dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)利用三角函數(shù)公式利用三角函數(shù)公式)2cos1(21cos2 = =)2cos1(21sin2 =

10、= 2sincossin2= =并注意到并注意到 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得xyyx = =2sin2cos)(21)(21xyyxyx=2cos2sin)(21xyyx= 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)x xy yx y yx xya a使微元順時(shí)針?lè)较蚴刮⒃槙r(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。角：角：由由x 軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時(shí)為正；反到斜截面外法線時(shí)為正；反之為負(fù)。之為負(fù)。 y a a xyntxyxx 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)2sin2cos)(21)(21xyyxyx=確定正應(yīng)力極值確定正應(yīng)力極

11、值2cos22sin)(xyyxdd=設(shè)設(shè)0 0 時(shí)，上式值為零，即時(shí)，上式值為零，即02cos22sin)(00=xyyx3. 正正應(yīng)力極值和方向應(yīng)力極值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x=即即0 0 時(shí)，切應(yīng)力為零時(shí)，切應(yīng)力為零 7-3 7-3解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)yxxy=22tan0 由上式可以確定出兩個(gè)相互垂直的平面，分別由上式可以確定出兩個(gè)相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。 所以，最大和最小正應(yīng)力分別為：所以

12、，最大和最小正應(yīng)力分別為：22max4212xyyxyx= 22min4212xyyxyx = =主應(yīng)力主應(yīng)力按代數(shù)值按代數(shù)值排序：排序：1 1 2 2 3 3 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)xyyx22tan1=1022minmax2tan12tan)2(=xyyx4,2220101=yxxy=22tan0最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為4545度。度。22minmax)2(2xyyxyx=2minmaxmax=試求試求: :（1 1） 斜面上的應(yīng)力；斜面上的應(yīng)力；（2 2）主應(yīng)力、主平面；）主應(yīng)力、主平面；（3

13、3）繪出主應(yīng)力單元體。）繪出主應(yīng)力單元體。例題例題1 1：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。 y x xy 。30=MPa，60=xMPa,30=xy,MPa40=y已知已知 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解：解： （1 1） 斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力2sin2cos22xyyxyx=)60sin(30)60cos(2406024060=MPa02. 9=2cos2sin2xyyx=)60cos(30)60sin(24060=MPa3 .58=y x xy 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)（2 2）主應(yīng)力、主

14、平面）主應(yīng)力、主平面2yx=xyyx22)2(maxMPa3 .68=2yx=xyyx22)2(minMPa3 .48=MPa3 .48, 0MPa,3 .68321=y x xy 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)主平面的方位：主平面的方位：yxxytg=2206 . 0406060=,5 .150=5 .105905 .150=y x xy 代入代入 表達(dá)式可知表達(dá)式可知 主應(yīng)力主應(yīng)力 方向：方向：15 .150=主應(yīng)力主應(yīng)力 方向：方向：3 5 .1050= 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)（3 3）主應(yīng)力單元體：）主應(yīng)力單元體：y

15、x xy 5 .1513 7-3 7-3 解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)例題：求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位。例題：求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位。 解：（解：（1 1）求主平面方位）求主平面方位=yxxytg220=2709020=135450 4501=因?yàn)橐驗(yàn)?x x = = y y ，且，且 xy 0 0，所以，所以450=135450 450（2 2）求主應(yīng)力）求主應(yīng)力 1 1 = = ， 2 2 = 0 = 0 ， 3 3 = - = - 1 3=22minmax)2(2xyyxyx對(duì)于塑性材料對(duì)于塑性材料( (如低碳鋼如低碳鋼) )抗剪能力差，扭

16、轉(zhuǎn)抗剪能力差，扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常是橫截面上的最大切應(yīng)力使圓破壞時(shí)，通常是橫截面上的最大切應(yīng)力使圓軸沿橫截面剪斷；軸沿橫截面剪斷；對(duì)于脆性材料對(duì)于脆性材料( (如鑄鐵、粉筆如鑄鐵、粉筆) )抗拉性能差，扭抗拉性能差，扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常沿與軸線成轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常沿與軸線成4545o o的螺旋面發(fā)生拉的螺旋面發(fā)生拉斷。斷。MPaMPass200;240:=低碳鋼MPaMPaMPabbcbt300198;96064028098:=灰口鑄鐵圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，最大拉、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，最大拉、壓應(yīng)力在與軸線成壓應(yīng)力在與軸線成45o斜截面上，它們數(shù)值相斜截面上，它們數(shù)值相等，均

17、等于橫截面上的切應(yīng)力。等，均等于橫截面上的切應(yīng)力。例題：例題： 簡(jiǎn)支梁如圖所示。已知簡(jiǎn)支梁如圖所示。已知 mn 截面上截面上 A 點(diǎn)的彎曲正應(yīng)點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為力和剪應(yīng)力分別為 = -70MPa， = 50MPa 。確定。確定A點(diǎn)的主點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面的方位。應(yīng)力及主平面的方位。mna aA A A A l解：解：50,70,0=xyyxA A y y62.562.50 05 .117,5 .2700=或429. 17010022tan0=yxxy y y62.562.50 0MPaMPa96026321 = = = =A A13minmax= = = =2222xyyxyx)( 2

18、6- -96MPa 試確定左圖所示應(yīng)力狀態(tài)的試確定左圖所示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并確定主應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并確定主平面和最大切應(yīng)力作用面位主平面和最大切應(yīng)力作用面位置。置。x300150y140z90解：給定應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主解：給定應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主應(yīng)力是已知的，即應(yīng)力是已知的，即z=90MPa。因此，可將該應(yīng)力狀態(tài)沿因此，可將該應(yīng)力狀態(tài)沿z z方向方向投影，得到平面應(yīng)力狀態(tài)，可直投影，得到平面應(yīng)力狀態(tài)，可直接求主應(yīng)力及其方位。接求主應(yīng)力及其方位。 x=300MPa， y=140MPa， xy= 150MPa，因此：，因此：MPa50390170220)150()2140300(21

19、4030022minmax = = = = = = 根據(jù)根據(jù) 1、 2、 3的排列順序，可知：的排列順序，可知： 1=390MPa， 2=90MPa， 3=50MPa 主應(yīng)力方位：主應(yīng)力方位： oooyxxytg1212316228151403001502220000= 最大切應(yīng)力所在平面法線與主平面夾角最大切應(yīng)力所在平面法線與主平面夾角45o即與即與x軸夾角軸夾角76o或或 14o。 MPa170250390231max= = = = = = 單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力：?jiǎn)卧w內(nèi)的最大切應(yīng)力： xzyxzy90300150140A y=140 xy=150 x=300A視視 2y31o31o 1x

20、 32sin2cos)(21)(21xyyxyx=2cos2sin)(21xyyx=2222)2()2(xyyxyx=這個(gè)方程恰好表示一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為應(yīng)力圓。這個(gè)方程恰好表示一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為應(yīng)力圓。 7-4 7-4 圖解法分析二向應(yīng)力狀態(tài)圖解法分析二向應(yīng)力狀態(tài)由于應(yīng)力圓最早由德國(guó)工程師莫爾由于應(yīng)力圓最早由德國(guó)工程師莫爾（otto.mohr,1835-1918）提出，故又稱為莫）提出，故又稱為莫爾圓。爾圓。xyyxyx2222)2()2(=RCxyyxR22)2( = =2yx1. 1. 應(yīng)力圓：應(yīng)力圓： 7-4 7-4 圖解法分析二向應(yīng)力狀態(tài)圖解法分析二向應(yīng)力狀態(tài)2.2.應(yīng)力圓的畫法應(yīng)力圓

21、的畫法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( = =y yx xyADx 7-4 7-4 圖解法分析二向應(yīng)力狀態(tài)圖解法分析二向應(yīng)力狀態(tài) 點(diǎn)面對(duì)應(yīng)點(diǎn)面對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。著微元某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。3 3、幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系、幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2 y yx xyxH ),(aaH 2 7-4 7-4 圖解法分析二向應(yīng)力狀態(tài)圖解法分析二向應(yīng)力狀態(tài)1.1.定義定義231三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài) 7-5 7-5 三向應(yīng)

22、力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)由三向應(yīng)力圓可以看出：由三向應(yīng)力圓可以看出：231max = =結(jié)論：結(jié)論：代表單元體任意斜代表單元體任意斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)，截面上應(yīng)力的點(diǎn)，必定在三個(gè)應(yīng)力圓必定在三個(gè)應(yīng)力圓圓周上或圓內(nèi)。圓周上或圓內(nèi)。213 32 1 7-5 7-5 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)一、各向同性材料的廣義胡克定律一、各向同性材料的廣義胡克定律: : 拉應(yīng)力為正拉應(yīng)力為正, , 壓應(yīng)力為負(fù)壓應(yīng)力為負(fù)1 1、符號(hào)規(guī)定、符號(hào)規(guī)定xyzoxxyxzyyxyzzzxzy 7-8 7-8 廣義胡克定律廣義胡克定律 若正若正面面 ( (外法線與坐標(biāo)軸正向外法線與坐標(biāo)軸正向一致的平面一致的平面),),切應(yīng)力矢的切應(yīng)力

23、矢的指向與坐標(biāo)軸正向一致指向與坐標(biāo)軸正向一致 , , 或負(fù)面或負(fù)面 ( (外法線與坐標(biāo)軸外法線與坐標(biāo)軸負(fù)向一致的平面負(fù)向一致的平面) )上切應(yīng)上切應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸負(fù)向力矢的指向與坐標(biāo)軸負(fù)向一致一致, ,則該切應(yīng)力為正則該切應(yīng)力為正, ,反反之為負(fù)。之為負(fù)。xyzoxxyxzyyxyzzzxzy線應(yīng)變線應(yīng)變: : 以伸長(zhǎng)為正以伸長(zhǎng)為正, , 縮短為負(fù)；縮短為負(fù)；切應(yīng)變切應(yīng)變: : 使直角減者為正使直角減者為正, , 增大者為負(fù)；增大者為負(fù)；用疊加原理，分別計(jì)算出用疊加原理，分別計(jì)算出 x , y , z 分別單獨(dú)分別單獨(dú)存在時(shí)，存在時(shí)，x ，y，z方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變 x ， y， z，

24、然，然后代數(shù)相加。后代數(shù)相加。2 2、各向同性材料的廣義胡克定律、各向同性材料的廣義胡克定律 基本變形時(shí)的胡克定律基本變形時(shí)的胡克定律xxE = =Exxy = = = =xyx1 1）軸向拉壓胡克定律）軸向拉壓胡克定律橫向變形橫向變形2 2）純剪切胡克定律）純剪切胡克定律 G= = 7-8 7-8 廣義胡克定律廣義胡克定律Exx=Eyx=Ezx= xyZxxxyZyyxyZzz x 單獨(dú)存在時(shí)單獨(dú)存在時(shí) y 單獨(dú)存在時(shí)單獨(dú)存在時(shí) z單獨(dú)存在時(shí)單獨(dú)存在時(shí)x 方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變?cè)谠?x y z同時(shí)存在時(shí)，同時(shí)存在時(shí)，x 方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變 x為為)(1zyxxE=)(1)(1yxzz

25、xzyyEE=在在 x y z同時(shí)存在時(shí)，同時(shí)存在時(shí)，y , z 方向的線應(yīng)變?yōu)榉较虻木€應(yīng)變?yōu)?(1zyxxE=)(1)(1yxzzxzyyEE=上式稱為上式稱為 廣義胡克定律。廣義胡克定律。Gyzyz=Gxyxy= =Gzxzx=)(1=yxxE)(1=xyyEGxyxy= =)(yxzE=平面應(yīng)力狀態(tài)下平面應(yīng)力狀態(tài)下( ( 假設(shè)假設(shè) Z = 0 , xz= 0 , yz= 0 ) )x xy yz z xyxy x x y y xyxy x x y y三向主應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法三向主應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法23132111=E1231E1E2E323132111=E13221=

26、E21331=E 7-6 7-6 廣義胡克定律廣義胡克定律 1 1 、 2 2 、 3 3 為主應(yīng)變?yōu)橹鲬?yīng)變 。在線彈性范圍內(nèi)，任一點(diǎn)處的在線彈性范圍內(nèi)，任一點(diǎn)處的主主應(yīng)力指向與應(yīng)力指向與主應(yīng)主應(yīng)變變方向是一致的。方向是一致的。二向應(yīng)力狀態(tài)下二向應(yīng)力狀態(tài)下, , 設(shè)設(shè) 3 = 0)(1211=E)(1122=E)(213=E各向同性材料的體積應(yīng)變各向同性材料的體積應(yīng)變 1 2 3a1a2a3構(gòu)件每單位體積的體積變化構(gòu)件每單位體積的體積變化, , 稱為體積應(yīng)變用稱為體積應(yīng)變用 表示。表示。各向同性材料在三向應(yīng)力狀各向同性材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變態(tài)下的體積應(yīng)變)1 ()1 ()1 (3322

27、11=aaaV 1 2 3a1a2a3單元體的三對(duì)平面為主平面單元體的三對(duì)平面為主平面三個(gè)邊長(zhǎng)為三個(gè)邊長(zhǎng)為a1 , a2 , a3變形后的邊長(zhǎng)分別為變形后的邊長(zhǎng)分別為a1(1+ , a2(1+ 2 , a3(1+ 3 變形后單元體的體積為變形后單元體的體積為321321321321321321321332211 )1 ( )1 ()1 ()1 ( =aaaaaaaaaaaaaaaaaaVVV321=)(21321=E)(11322=E)(12133=E)(13211=E：材料的體積應(yīng)變等于零。即在小變形下，切應(yīng)力材料的體積應(yīng)變等于零。即在小變形下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變。不引起各向

28、同性材料的體積改變。)(21321=Exy=3102=假設(shè)一單元體承受三向等值應(yīng)力，它的三個(gè)主應(yīng)力假設(shè)一單元體承受三向等值應(yīng)力，它的三個(gè)主應(yīng)力為為3321=m m m m單元體的體積應(yīng)變是單元體的體積應(yīng)變是=321)(21mmmmEE)(21321=E m m m 1 2 3a1a2a3)(21321=E321mE=3321=m m m m 1 2 3a1a2a3這兩個(gè)單元體的體積應(yīng)變相同。這兩個(gè)單元體的體積應(yīng)變相同。 m m m圖示單元體的三個(gè)主應(yīng)圖示單元體的三個(gè)主應(yīng)變?yōu)樽優(yōu)?mmmmEE)21 ()(1321 m m m如果變形前單元體的三個(gè)如果變形前單元體的三個(gè)棱邊成某種比例，由于三棱邊

29、成某種比例，由于三個(gè)棱邊應(yīng)變相同，則變形個(gè)棱邊應(yīng)變相同，則變形后的三個(gè)棱邊的長(zhǎng)度仍保后的三個(gè)棱邊的長(zhǎng)度仍保持這種比例。所以在三向持這種比例。所以在三向等值應(yīng)力等值應(yīng)力 m m的作用下，的作用下，單單元體變形后的元體變形后的形狀和形狀和變形變形前前的的相相似。稱這樣的似。稱這樣的單元單元體體是是形狀不變的。形狀不變的。在任意形式的應(yīng)力狀態(tài)下在任意形式的應(yīng)力狀態(tài)下, , 各向同性材料內(nèi)一點(diǎn)處的各向同性材料內(nèi)一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與通過(guò)該點(diǎn)的任意三個(gè)相互垂直的平面上的體積應(yīng)變與通過(guò)該點(diǎn)的任意三個(gè)相互垂直的平面上的正應(yīng)力之和成正比正應(yīng)力之和成正比, , 而與切應(yīng)力無(wú)關(guān)。而與切應(yīng)力無(wú)關(guān)。在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)

30、下，材料的體積在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變 x ，y， z 有關(guān)。仿有關(guān)。仿照上述推導(dǎo)有照上述推導(dǎo)有)(21zyxE=7.9 7.9 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度一、 ：?jiǎn)挝惑w積物體內(nèi)所積蓄：?jiǎn)挝惑w積物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度二、二、1. 1. 單軸應(yīng)力狀態(tài)下單軸應(yīng)力狀態(tài)下, , 物體內(nèi)所積蓄的物體內(nèi)所積蓄的為為222221EEv= 在三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)存在時(shí)在三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)存在時(shí), , 單元體的單元體的應(yīng)為應(yīng)為222221EEv=)(21332211=v將廣義胡克定律代入上式將廣義胡克定律代入上式,

31、 , 經(jīng)整理得經(jīng)整理得用用 表示單元體體積改變相應(yīng)的那部分表示單元體體積改變相應(yīng)的那部分，稱為稱為 用用 表示與單元體形狀改變相應(yīng)的那部分表示與單元體形狀改變相應(yīng)的那部分, , 稱為稱為VvdvdVvvEv=)(221133221232221等于兩部分之和等于兩部分之和vdVvvv= 1 2 3 m)( 321m31 = = m(a)(b)兩單元體的體積應(yīng)變相等兩單元體的體積應(yīng)變相等)(21321=E 1 2 3 m)( 321m31 = = m(a)(b)也相等。也相等。VvbVaVvv)()(= m)( 321m31 = = m(b)圖圖 b b 所示單元體的三個(gè)主應(yīng)所示單元體的三個(gè)主應(yīng)力

32、相等，因而變形后的形狀與力相等，因而變形后的形狀與原來(lái)的形狀相似，即只發(fā)生體原來(lái)的形狀相似，即只發(fā)生體積改變而無(wú)形狀改變。積改變而無(wú)形狀改變。bVbvv)(= m)( 321m31 = = m(b)(221(222222)mmmmmmbbEVvv=)(6212)21 (332122=EEm 1 2 3 m)( 321m31 = = m(a)(b)a a 所示單元體的體積改變所示單元體的體積改變?yōu)闉閂vvvvbbaVV=)()()(3216212=E 1 2 3(a)(221133221232221=Eva a單元體的單元體的為為a a所示單元體的體積改變比能所示單元體的體積改變比能 為為Vv)

33、(3216212=E)()(vvVVba= 1 2 3空間應(yīng)力狀態(tài)下單元體的空間應(yīng)力狀態(tài)下單元體的 為為vvvVd=13322161)()()(222=Evd對(duì)于最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下的單元體對(duì)于最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下的單元體, , 其比能為其比能為)(21zxzxyzyzxyxyzzyyxxv= x y13例：用能量法證明三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系。例：用能量法證明三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系。Gv2212=、純剪單元體的比能為：、純剪單元體的比能為：、純剪單元體應(yīng)變能密度用主應(yīng)力表純剪單元體應(yīng)變能密度用主應(yīng)力表示為：示為：312321232221221=Ev )()(E = =0020212221 E

34、= = = =12EGmax,max=AFN（拉壓）（拉壓）maxmax=zWM（彎曲）（彎曲）（正應(yīng)力強(qiáng)度條件）（正應(yīng)力強(qiáng)度條件）*max,max,max=bISFzzs（彎曲）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（扭轉(zhuǎn)）max=tWT（切應(yīng)力強(qiáng)度條件）（切應(yīng)力強(qiáng)度條件）max max 1. 1. 桿件基本變形下的強(qiáng)度條件桿件基本變形下的強(qiáng)度條件7-10 7-10 強(qiáng)度理論概述強(qiáng)度理論概述 （剪切）（剪切）max=AFs2 2、 材料的許用應(yīng)力，材料的許用應(yīng)力，是通過(guò)拉是通過(guò)拉( (壓壓) )試驗(yàn)或純?cè)囼?yàn)或純剪剪試驗(yàn)測(cè)定試試驗(yàn)測(cè)定試件在破壞時(shí)其橫截面上的極限應(yīng)力件在破壞時(shí)其橫截面上的極限應(yīng)力, ,以此極限應(yīng)力作

35、為強(qiáng)度指標(biāo)以此極限應(yīng)力作為強(qiáng)度指標(biāo), ,除以適當(dāng)?shù)陌踩党赃m當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)而得。即根據(jù)相應(yīng)的數(shù)而得。即根據(jù)相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果建立的強(qiáng)度條件。試驗(yàn)結(jié)果建立的強(qiáng)度條件。1 1、危險(xiǎn)點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)。、危險(xiǎn)點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)。 強(qiáng)度不足引起的失效有兩種形式：屈服和斷裂。強(qiáng)度不足引起的失效有兩種形式：屈服和斷裂。衡量受力和變形程度的量有應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變衡量受力和變形程度的量有應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變能密度等。假說(shuō)認(rèn)為，材料之所以按某種方式能密度等。假說(shuō)認(rèn)為，材料之所以按某種方式失效，是應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變能密度等某一因素失效，是應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變能密度等某一因素引起的。無(wú)論是簡(jiǎn)單應(yīng)力狀

36、態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀引起的。無(wú)論是簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，引起失效的因素是相同的。造成失效的原態(tài)，引起失效的因素是相同的。造成失效的原因與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。這類假說(shuō)就叫強(qiáng)度理論。因與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。這類假說(shuō)就叫強(qiáng)度理論。利用強(qiáng)度理論，就可由簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)利用強(qiáng)度理論，就可由簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件。果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件。強(qiáng)度理論的概念強(qiáng)度理論的概念強(qiáng)度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過(guò)判斷推強(qiáng)度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過(guò)判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說(shuō)，找出理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說(shuō)，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，不

37、斷完善，引起破壞的主要因素，經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，不斷完善，在一定范圍與實(shí)際相符合，上升為理論。在一定范圍與實(shí)際相符合，上升為理論。 為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，而提出為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計(jì)算方法。的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計(jì)算方法。構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時(shí)，不論破壞構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時(shí)，不論破壞的表面現(xiàn)象如何復(fù)雜，其破壞形式總不外的表面現(xiàn)象如何復(fù)雜，其破壞形式總不外乎幾種類型，而同一類型的破壞則可能是乎幾種類型，而同一類型的破壞則可能是某一個(gè)共同因素所引起的。某一個(gè)共同因素所引起的。 最大正應(yīng)力最大正應(yīng)力 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 畸變能密度畸

38、變能密度 最大線應(yīng)變最大線應(yīng)變max max 滿足滿足max max 是否強(qiáng)度就沒有問(wèn)題了？是否強(qiáng)度就沒有問(wèn)題了？7-117-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式 (1) (1)脆性斷裂：材料無(wú)明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷脆性斷裂：材料無(wú)明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論：屈服的強(qiáng)度理論：最大切應(yīng)力理論和畸變能密度理論。最大切應(yīng)力理論和畸變能密度理論。 (2)

39、(2)塑性屈服（流動(dòng)）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變塑性屈服（流動(dòng)）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大切應(yīng)力面上，形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大切應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關(guān)于關(guān)于斷裂的強(qiáng)度理論：斷裂的強(qiáng)度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論。最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論。1. 1. 最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論） 材料發(fā)生斷裂的主要因素是最大拉應(yīng)力達(dá)到極限值材料發(fā)生斷裂的主要因素是最大拉應(yīng)力達(dá)到極限值b=1 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力1 極限應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得

40、極限應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得b7-117-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論b1 = =斷裂條件斷裂條件 =nb1強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件1. 1. 最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)7-117-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論2. 2. 最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論） 無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要發(fā)生脆性斷裂只要發(fā)生脆性斷裂, ,都是由于微元內(nèi)的最大線應(yīng)變（線變形）達(dá)到簡(jiǎn)單都是由于微元內(nèi)的最大線應(yīng)變（線變形）達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的破壞伸長(zhǎng)應(yīng)變數(shù)值。拉伸時(shí)的破壞伸長(zhǎng)應(yīng)變數(shù)值

41、。 Ebu=1 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變1 極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得uE/)(3211 = =Ebu/=7-117-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。更接近實(shí)際情況。強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件)(321=nb2. 2. 最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）斷裂條件斷裂條件EEb=)(1321b=)(

42、321即即7-117-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論 無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要發(fā)生屈服只要發(fā)生屈服, ,都是都是由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。u=max3. 3. 最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論） 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力max 極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得u2/su=2/ )(31max=7-117-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論s31 = = 屈服條件屈服條件 = = ss31n強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件3. 3. 最

43、大切應(yīng)力理論最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）（第三強(qiáng)度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)低碳鋼扭轉(zhuǎn)7-117-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于塑性材料的屈服破壞能夠得到實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實(shí)。塑性變形或斷裂的事實(shí)。)0(max=局限性：局限性： 2 2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。1 1、未考慮、未考慮 的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)15%。23. 3. 最大切

44、應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）7-11、經(jīng)典強(qiáng)度理論、經(jīng)典強(qiáng)度理論 無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要發(fā)生屈服只要發(fā)生屈服, ,都是都是由于微元的最大畸變能密度達(dá)到一個(gè)極限值。由于微元的最大畸變能密度達(dá)到一個(gè)極限值。0ddvv=4. 4. 畸變畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）能密度理論（第四強(qiáng)度理論）213232221d)()()(61=Ev 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的畸變能密度。構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的畸變能密度。d20261sdEv= 畸變能密度的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得畸變能密度的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得0d7-117-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論屈服條件屈服

45、條件22132322212)()()(s = = 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 =ss213232221)()()(21n4. 4. 畸變畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）能密度理論（第四強(qiáng)度理論）實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。7-117-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論11=r)(3212=r)()()(212132322214=r強(qiáng)度理論的統(tǒng)一表達(dá)式：強(qiáng)度理論的統(tǒng)一表達(dá)式： r相當(dāng)應(yīng)力相當(dāng)應(yīng)力313=r7-117-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論根據(jù)強(qiáng)度理論

46、，可以從材料在單軸拉伸時(shí)的根據(jù)強(qiáng)度理論，可以從材料在單軸拉伸時(shí)的 可推可推知低碳鋼類塑性材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的知低碳鋼類塑性材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的純剪切應(yīng)力狀態(tài)下純剪切應(yīng)力狀態(tài)下: : 三、強(qiáng)度理論的一個(gè)應(yīng)用三、強(qiáng)度理論的一個(gè)應(yīng)用 1 = , 2 = 0 , 3 = =3)()0()0( 212223 為材料在單軸拉伸是的許用拉應(yīng)力。為材料在單軸拉伸是的許用拉應(yīng)力。 1 = , 2 = 0 , 3 = 材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的許用切應(yīng)力為材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的許用切應(yīng)力為 577. 03=例題例題 ：對(duì)于圖示各單元體，試分別按第三強(qiáng)度：對(duì)于圖示各單元體，試分別按第三強(qiáng)度理論及第四強(qiáng)度理論

47、求相當(dāng)應(yīng)力。理論及第四強(qiáng)度理論求相當(dāng)應(yīng)力。 120 MPa120 MPa(a)解：對(duì)于圖解：對(duì)于圖(a) (a) 所示的單元體。所示的單元體。01= MPa12032= MPar120)120(0313= 120 MPa120 MPa(a)=213232221421rMPa1200120120120120021222=對(duì)于圖對(duì)于圖 b 所示的單元體所示的單元體MPar140313= MPar12821402110230214= = = = (b) 140 MPa 110 MPa 1 = 14 0MPa 2 = 110MPa 3 = 0對(duì)于圖對(duì)于圖 c 所示的單元體所示的單元體arMP2203=

48、 MPar1954= 1 = 8 0MPa 2 = 70MPa 3 = 140MPa (C)140 MPa80 MPa70 MPa(d)對(duì)圖對(duì)圖d 所示的單元體所示的單元體50MPa70MPa40MPa30MPa由由 x =70 ， y = 30 ， xy = 40 求另兩個(gè)求另兩個(gè)主應(yīng)力。主應(yīng)力。解：解：（1 1）求主應(yīng)力）求主應(yīng)力 z = 50 主應(yīng)力之一主應(yīng)力之一28. 5,50,72.94321= = = = x =70 ， y = 30 ， xy = 40MPa.r44893=（2 2）計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力）計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力MPar5 .774=MPaMPa28. 572.94240223070

49、23070minmax例題：兩種應(yīng)力狀態(tài)分別如圖所示，試按第四強(qiáng)度例題：兩種應(yīng)力狀態(tài)分別如圖所示，試按第四強(qiáng)度理論理論, ,比較兩者的危險(xiǎn)程度。比較兩者的危險(xiǎn)程度。(a)(b) 狀態(tài)狀態(tài)(a)為平面應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)(a)(b) 02= =2234 =r)()2(22312=(a)(b) 狀態(tài)狀態(tài)(b)為空間應(yīng)力狀態(tài)：為空間應(yīng)力狀態(tài)： y= 為主應(yīng)力之一為主應(yīng)力之一 minmax = =另兩個(gè)另兩個(gè)主應(yīng)力為：主應(yīng)力為：設(shè)設(shè) ，則，則 =1 =2 =32234=r 兩種情況下的危險(xiǎn)程度相等。兩種情況下的危險(xiǎn)程度相等。例題例題 ：兩端簡(jiǎn)支的工字鋼梁承受載荷如圖：兩端簡(jiǎn)支的工字鋼梁承受載荷如圖

50、(a) 所示。已知其材料所示。已知其材料 Q235 鋼的許用為鋼的許用為 = 170MPa , = 100MPa。試按強(qiáng)度條件選擇工。試按強(qiáng)度條件選擇工字鋼的號(hào)碼。字鋼的號(hào)碼。200kN200kNCDAB0.420.421.662.50解：作鋼梁的內(nèi)力圖。解：作鋼梁的內(nèi)力圖。FsC左左 = Fsmax = 200kNMC = Mmax = 84kNmC,D 為危險(xiǎn)截面為危險(xiǎn)截面 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件按正應(yīng)力強(qiáng)度條件 選擇截面選擇截面取取 C 截面計(jì)算截面計(jì)算200kN200kNCDAB0.420.421.662.50Fs圖圖200kN200kN+-+ mMWz36max10494 =正應(yīng)力強(qiáng)度條件

51、為正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 =WMzmaxmax122 13.7126.32808.5 126.3選用選用 28a 工字鋼，其截面的工字鋼，其截面的Wz = 508cm3(2) (2) 按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核對(duì)于對(duì)于 28a 工字鋼的截面，查表工字鋼的截面，查表得得mzI48107110 =md1085. 02=mSIzz106 .242=122 13.7126.32808.5 126.3最大切應(yīng)力為最大切應(yīng)力為選用選用 鋼能滿足切應(yīng)力的強(qiáng)度要求。鋼能滿足切應(yīng)力的強(qiáng)度要求。dISFzzs*maxmaxmax=MPadSIFs5 .95max=122 13.7126.32808

52、.5 126.3 取取 點(diǎn)分析點(diǎn)分析 (3)(3)腹板與翼緣交界處腹板與翼緣交界處 的強(qiáng)度校核的強(qiáng)度校核MPaIyMzaa1 .149max=dISFzasa=*maxIyMzaamax=122 13.7126.32808.5 126.3mSa36*10223)27 .133 .126(7 .13122=IyMzaamax=dISFzasa=*maxMPadISFzasa8 .73*max=aaa點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示=2212202= =22322a點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為為 =1973)()()( 21222224133221r由于材料是由于材料是 Q235 鋼，所

53、以在鋼，所以在平面應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)按第四平面應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)按第四強(qiáng)度理論來(lái)進(jìn)行強(qiáng)度校核。強(qiáng)度理論來(lái)進(jìn)行強(qiáng)度校核。aa %9 .15%1004=r若選用若選用 28b號(hào)工字鋼，算得號(hào)工字鋼，算得 r4 = 173.2MPa , , 比比 大大1.88% 可選用可選用 號(hào)工字鋼。號(hào)工字鋼。 應(yīng)另選較大的工字鋼。應(yīng)另選較大的工字鋼。7 712 12 莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力莫爾認(rèn)為：最大切應(yīng)力莫爾認(rèn)為：最大切應(yīng)力是使物體破壞的主要因是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大切擦定律）。綜合最大切應(yīng)力及最

54、大正應(yīng)力的因應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素，莫爾得出了他自己素，莫爾得出了他自己的強(qiáng)度理論。的強(qiáng)度理論。 阿托阿托莫爾莫爾(O.Mohr),18351918近似包絡(luò)線極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線o s1 s2 s s3極限應(yīng)力圓一、兩個(gè)概念：一、兩個(gè)概念：1 1、極限應(yīng)力圓：、極限應(yīng)力圓：2 2、極限曲線：極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線、極限曲線：極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線（envelope）。 co tO1O2莫爾理論危險(xiǎn)條件的推導(dǎo)莫爾理論危險(xiǎn)條件的推導(dǎo)31tbcbt=2 2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：、強(qiáng)度準(zhǔn)則：1 1、破壞判據(jù)：、破壞判據(jù)： tctrM=31O3 1 3MKLPN二、莫爾強(qiáng)度理論：任意一點(diǎn)的應(yīng)力圓若與極限曲線相二、莫爾強(qiáng)度理

55、論：任意一點(diǎn)的應(yīng)力圓若與極限曲線相接觸，則材料即將屈服或剪斷。接觸，則材料即將屈服或剪斷。三、相當(dāng)應(yīng)力：（強(qiáng)度準(zhǔn)則的統(tǒng)一形式）。三、相當(dāng)應(yīng)力：（強(qiáng)度準(zhǔn)則的統(tǒng)一形式）。 r其中，r1相當(dāng)應(yīng)力。11=r3212=r213232221421=r313=r ns, 2 . 0b=31ctrM=3 3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件及其拉壓極、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件及其拉壓極限強(qiáng)度不等的處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的破壞（巖限強(qiáng)度不等的處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的破壞（巖石、混凝土等）。石、混凝土等）。 強(qiáng)度理論的應(yīng)用強(qiáng)度理論的應(yīng)用一、強(qiáng)度計(jì)算的步驟：一、強(qiáng)度計(jì)算的步驟：1 1、外力分

56、析：確定所需的外力值。、外力分析：確定所需的外力值。2 2、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險(xiǎn)面。、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險(xiǎn)面。3 3、應(yīng)力分析：畫危險(xiǎn)面應(yīng)力分布圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫、應(yīng)力分析：畫危險(xiǎn)面應(yīng)力分布圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫出單元體，求主應(yīng)力。出單元體，求主應(yīng)力。4 4、強(qiáng)度分析：選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論，計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力，、強(qiáng)度分析：選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論，計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力，然后進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。然后進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。二、強(qiáng)度理論的選用原則：依破壞形式而定。二、強(qiáng)度理論的選用原則：依破壞形式而定。1 1、脆性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時(shí)，使用第一、脆性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時(shí)，使用第一理論；理論；

57、3 3、簡(jiǎn)單變形時(shí)：一律用與其對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度準(zhǔn)則。如扭轉(zhuǎn)，、簡(jiǎn)單變形時(shí)：一律用與其對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度準(zhǔn)則。如扭轉(zhuǎn)，都用：都用：2 2、塑性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時(shí)，使用第一、塑性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時(shí)，使用第一理論；理論； max4 4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關(guān)！、破壞形式還與溫度、變形速度等有關(guān)！當(dāng)最小主應(yīng)力小于零而最大主應(yīng)力大于零時(shí)，當(dāng)最小主應(yīng)力小于零而最大主應(yīng)力大于零時(shí)，使用莫爾理論。使用莫爾理論。 當(dāng)最大主應(yīng)力小于等于零時(shí)，使用第三或第四理論。當(dāng)最大主應(yīng)力小于等于零時(shí)，使用第三或第四理論。 其他應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，使用第三或第四理論。其他應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，使用第三或第四理論。MPaWTt7

58、 .351 . 07000163=MPa.AP376101050432= = = = = =22minmax)2(2MPa.).(.39322273523762376 = = MPa,MPa32039321 = = = = 1解：危險(xiǎn)點(diǎn)解：危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：的應(yīng)力狀態(tài)如圖：PTPTAA A 例例: :直徑為直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖的圓桿受力如圖, ,T=7kNm,P=50kN, ,為為鑄鑄鐵構(gòu)件鐵構(gòu)件， =40MPa, ,試試用第一強(qiáng)度理論校核桿的強(qiáng)度。用第一強(qiáng)度理論校核桿的強(qiáng)度。故，安全。故，安全。= = = =)(Eyxx 21MPa.).(.4941037730881301

59、1272= = = = = =)(Exyy 21MPa.).(.118310881303773011272= = 解：由廣義胡克定律得解：由廣義胡克定律得: :例例: : 薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時(shí)薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時(shí), ,測(cè)得測(cè)得 x=1.88 10-4, , y=7.37 10-4, ,已知鋼的已知鋼的E=210GPa， =170MPa, ,泊松比泊松比 =0.3，試用第三強(qiáng)度理論，試用第三強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度。校核其強(qiáng)度。A x x y yxy04941183321= = = = ,MPa.,MPa. =1 .183313r 003771701701183.r= = = = 所以，此容器不滿足第

60、三強(qiáng)度理論。不安全所以，此容器不滿足第三強(qiáng)度理論。不安全。A例：圖示一例：圖示一T T型截面的鑄鐵外伸梁，試用莫爾強(qiáng)度理型截面的鑄鐵外伸梁，試用莫爾強(qiáng)度理論校核論校核B B截面膠板與翼緣交界處的強(qiáng)度。鑄鐵的抗拉截面膠板與翼緣交界處的強(qiáng)度。鑄鐵的抗拉和抗壓許用應(yīng)力分別為和抗壓許用應(yīng)力分別為t=30MPa, ,c=160MPa。 52208020120zO1m1mB9kNA1m4kN 解：由上圖易知，解：由上圖易知，B B截面：截面：M=-4kNM，F(xiàn)s=-6.5kN。根據(jù)截面尺寸求得：根據(jù)截面尺寸求得： 3*z4zcm2 .67Scm763I= = =，從而算出：從而算出： =MPabISFMP