北京市2020年石景山一模及問題詳解

1、2020年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試一模數(shù)學(xué)本試卷共6頁，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上， 在試卷上作答無效，考試結(jié)束后上交答題卡.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題 目要求的一項(xiàng).1. 設(shè)集合 P 1,2,34 , Q x|x| 3,x R，則 P Q 等于A.1B.1,2,3C.3,4D.3, 2, 1,0,1,2,32.在復(fù)平面，復(fù)數(shù)5+6i,3-2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A.8+4iB.2+8iC.4+2iD.1+4i3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間

2、0,上單調(diào)遞減的是A.yx22B.y 2 xC.y In xD.1 y -x4.圓22幾x y 2x8y130的圓心到直線ax y 10的距離為1，則aA.4B.3C.3D.2345.將4位志愿者分配到博物館的3個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館至少1人，不同的分配7.8.A. 2B. 4C. 5D. 8函數(shù)f xcos x0 )的最小正周期為 ，貝U f x滿足A.在 0,3上單調(diào)遞增B.圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱6D.當(dāng)x5時(shí)有最小值112設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.則S+Ss2S2”是“an為遞增數(shù)列”的A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D.既不充分也不必要條件9.

3、設(shè)f(X)是定義在R上的函數(shù)，若存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)洛公2R，使得f(XiX2)f(xi)f (x2)，則稱函數(shù)f (x)具有性質(zhì)P，那么下列函數(shù)22 f(x)ixx0 ； f (x) x2 ；f(x) |x2i| ；0 x0具有性質(zhì)P的函數(shù)的個(gè)數(shù)為A. 0B. iC.2D. 310.點(diǎn)M , N分別是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD ABQDi中棱BC,CCi的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCCiBi (包括邊界)運(yùn)動(dòng)若PAi /面AMN，則PAi的長(zhǎng)度圍是A. 2,、5C. 32,323血 r-B. ,、52D. 2,3AB二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知向量BA （丄，一3） , BC2

4、 2則 ABC12.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列an中,其前n項(xiàng)和為Sn n N *，且-丄，則S4a?8313.能夠說明 設(shè)a,b是任意非零實(shí)數(shù)，若ab，則-a1 ”是假命題的一組b整數(shù)a, b的值依次為14.已知F是拋物線C: y2 4x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),fm的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N 若M為FN的中點(diǎn)，貝U FN15.石景山區(qū)為了支援邊遠(yuǎn)山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由13名一線中小學(xué)教師三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（本小題14分）如圖，在正四棱錐 P ABCD中，AB PB 2、2 , AC BD O (I)求證：BO 面 PAC ;D-O(n)求

5、二面角 A PC B的余弦值.17.(本小題14分)2020年，將實(shí)行新的高考方案新方案規(guī)定：語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目， 考生還需從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目.若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目，則稱該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定例如，學(xué)生甲選擇物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目，則學(xué)生甲的選考方案確定，物理、化學(xué)和生物”為其選考方案.某校為了解高一年級(jí) 840名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取60名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表：性別選考方案確定情況物理化學(xué)生物歷史地理政治男生選考方案確定的有16人161

6、68422選考方案待確定的有12人860200女生選考方案確定的有20人610201626選考方案待確定的有12人2810002(I )估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？(n )從選考方案確定的16名男生中隨機(jī)選出2名，求恰好有一人選 物理、化學(xué)、生物 的概率；(川)從選考方案確定的 16名男生中隨機(jī)選出2名，設(shè)隨機(jī)變量0兩名男生選考方案不同1兩名男生選考方案相同，求的分布列和期望18.(本小題14分)已知銳角 ABC，同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：1Aa 13c 15sinC33(I)請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說明理由;(n)求 ABC的面積.19.(本小題15分)2已

7、知橢圓C:篤ay2、 、2、21( a b 0)的右焦點(diǎn)為F (1,0)，離心率為.直線l過點(diǎn)b22F且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn) 代B，線段AB的中點(diǎn)為M .(I)求橢圓C的方程；(n)證明：直線 OM的斜率與I的斜率的乘積為定值；(川)延長(zhǎng)線段0M與橢圓C交于點(diǎn)P ,若四邊形OAPB為平行四邊形，求此時(shí)直線I的 斜率.20.(本小題14分)已知函數(shù) f(x) x2(x 0), g(x) aln x(a 0).(I)若f (x) g(x)恒成立，數(shù)a的取值圍；(n)當(dāng)a 1時(shí)，過f(x)上一點(diǎn)(1,1 )作g(x)的切線，判斷：可以作出多少條切線,并說明理由.21.(本小題14分)有限

8、個(gè)元素組成的集合A aa2， ,an , n N*，記集合 A中的元素個(gè)數(shù)為card(A)，即card (A) n.定義A A x y|x A, y A,集合a a中的元素個(gè)數(shù) 記為card (A+A),當(dāng)card (A+A)二n(； 1)時(shí)，稱集合 A具有性質(zhì)P .(I ) A 1,4,7，B 2,4,8，判斷集合A,B是否具有性質(zhì)P，并說明理由；(n)設(shè)集合 A a1,a2,a3,2020 , a1 a2 a32020且 ai N*(i 1,2,3)，若集合A具有性質(zhì)P，求a1a2 a3的最大值；(川)設(shè)集合A a1,a2, , an，其中數(shù)列a.為等比數(shù)列，ai 0(i 1,2, ,n)

9、且公 比為有理數(shù)，判斷集合集合A是否具有性質(zhì)P并說明理由.數(shù)學(xué)試卷答案及評(píng)分參考、選擇題：本大題共 10個(gè)小題，每小題 4分，共40分.題號(hào)12345678910答案BCDAABDCCB二、 填空題：本大題共 5個(gè)小題，每小題 5分，共25分.11. ;12. 15;13.2, -1 ;答案不唯一614. 3 ；15小學(xué)中級(jí).三、解答題：本大題共 6個(gè)小題，共85分解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.(本小題14分)以0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系分7(I)證明：聯(lián)結(jié) PO .在正方形 ABCD中，因?yàn)锳B 2 2 , 所以A0 2 .又因?yàn)镻B 2邁所以P0 2.所以點(diǎn)P

10、的坐標(biāo)為P(0, 0, 2)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C( 2, 0, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(0, 2, 0).則 PC ( 2,0, 2) , CB (2,2, 0).令y1，則x1 , z1 故平面PBC的一個(gè)法向量(1,1,1) 13分T Ttigcos,比12-|n 1II n213所以二面角APC B的余弦值為4a Zk14分3由（I）知，BO 平面PAC 所以平面PAC的一個(gè)法向量為(0, 2, 0) 10分設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量(x,y,z) PCT3Oy22X17.（本小題14分）解：（I ）由數(shù)據(jù)知，60人中選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有所以該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考

11、生物的學(xué)生有8402860392人（n）選考方案確定且為 物理，化學(xué)，生物”的男生共有8人。 設(shè)恰好有一人選物理、化學(xué)、生物 ”為事件Ap(A)c8c8Cw8158+20=28人1分4分5分6分8分（川）由數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的男生中有8人選擇物理、化學(xué)和生物；有 4人選擇物理、化學(xué)和歷史；有 2人選擇物理、化學(xué)和地理；有2人選擇物理、化學(xué)和政治.9分的可能取值為0,1.P(0)1 1C4C4c；c216710P( 1)c；c：c；c：21610所以的分布列為:10101014分01P73101018.（本小題14分）解：（I） ABC同時(shí)滿足，.3分理由如下：若厶ABC同時(shí)滿足，則在銳角A

12、ABC中，1 1sinC，所以 0<C -3 26又因?yàn)锳 ，所以一vA+C -3322所以AABC不能同時(shí)滿足，6分所以AABC同時(shí)滿足， 7分因?yàn)閏 a所以C A若滿足所以B ,這與 ABC是銳角三角形矛盾，則a c °則B夕這與 abc是銳角三角形矛盾故厶ABC不滿足.故厶ABC滿足，.（n）因?yàn)? 2 2a b c 2bccosA ,所以132 b2152 2 b 15 12解得12分b 8 或 b 7 .2 2 2713157 時(shí)，cosC7 13所以C為鈍角，與題意不符合，所以b 8.13分所以 ABC的面積S bcsin A230.3 .14分19.（本小題15分

13、）解：（I）由已知c1,又a2b2c2，解得a 2,b所以橢圓方程為2y2 1.（n）設(shè)直線1的方程為yk(x 1)(k0)2x 2彳 y 1聯(lián)立2消去y得y k(x 1)(k0)(2k21)x2 4k2x 2k2 2 0,不妨設(shè) A(xyj ,B(X2, y?)X24k2-，因?yàn)镸1為線段AB的中點(diǎn)所以xm 722k22k2 1 'kyM k(xM 1)尹所以koMt12k所以kOM k|1 k2k-為定值.2(川)若四邊形OAPB為平行四邊形，則所以XPXiX24k212k2ypyiy2 心 i)k(X2 1)k(XiX22)2k2k2因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以(侖2解得k2 1即k

14、22 2所以當(dāng)四邊形OAPB為平行四邊形時(shí)，直線l的斜率為20.(本小題14分)解：(I)令 h(x)=f(x) g(x)X2 al nx(x0)所以 h (x)=2x -x2 22x a2 2令h(x)=空12分13分14分15分 1分3分X(0壽諂,)h(x)0+h(x)減極小值增當(dāng)x變化時(shí)，h (x),h(x)的變化情況如下表:所以在(0,)的最小值為h(a) - aln a - ? In ?V22 V2222所以當(dāng)0 a 2e時(shí)，h(x) 0恒成立，即f(x) g(x)恒成立.7分(n)可作出2條切線.8分理由如下：當(dāng)a 1時(shí)，g(x) In x.設(shè)過點(diǎn)(1,1)的直線I與g(x) I

15、n x相切于點(diǎn)P(xo,y°),9分則 g (x。)y。11In x0 1即x° 1xx 1整理得x01 n冷2X0 1010分令 m(x) xlnx 2x 1,則m(x)在(0,)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與切點(diǎn) p的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng).m (x) Inx 1，令 m(x) In x 1 0解得 x e . 11分,1、1,124且 m(p)In 21 -y 10eeeeem(e)eIn e 2e1e 10m(e2)2 eIn e22e21 10所以 m(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,)上單調(diào)遞增13分當(dāng)x變化時(shí)，m (x), m(x)的變化情況如下表：x(0,e)e(e,) 1m (x)

16、0+m(x)減極小值增1 2所以m(x)在(_y,e)和(e,e )上各有一個(gè)零點(diǎn)，即 xl nx 2x 1 0有兩個(gè)不同的解e所以 過點(diǎn)(1,1)可作出y In x的2條切線14分21.(本小題14分)解：(I )集合A不具有性質(zhì)P，集合B具有性質(zhì)P .A A 2,5,8,11,14 ,card(A+A)=5衛(wèi)不具有性質(zhì) P;2B B 4,6,8,10,12,16 ,card(B+B)=6篤衛(wèi)，具有性質(zhì) P.3 分(n)若三個(gè)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則 A a,b,c不具有性質(zhì)P，理由是a c 2b.因?yàn)?a1 a2 as 2020 且 ai N*(i 1,2,3)所以 as 2019 ,要使a1 a?a3取最大，則a3 2019 ；a22018，易知2018,2019 ,2020不具有性質(zhì)P，要使a1 a? as取最大,則 a2 2017 ；a 2016，要使a a： a3取最大，檢驗(yàn)可得a 2013