求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)和加速度

1、大學(xué)物理學(xué)業(yè)競(jìng)賽講座力學(xué)例題及解答例1 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其速度與位置坐標(biāo)的關(guān)系為 v=2x 1若t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn) 位于坐標(biāo)原點(diǎn)，求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)和加速度。解：=2xdtx dx0 2x 1t0dt(e2t2-1)學(xué) 2e2tdt2例2 一半徑為R的半圓柱體沿水平方向作加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)，如圖示。豎直桿只能在豎直方 向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)半圓柱體的速度為v時(shí)，桿與半圓柱體 的接觸點(diǎn)P的角位置為為求此時(shí)豎直桿運(yùn)動(dòng)的速 度和加速度。解:x = Rsin 二y = Rcosdxc口 d日d日vRcosdtdt dtdyRsin 二=vtan - dtdtVPapRcos -dvp.2 . drata n：

2、 vseca ta n dtdt例3如圖示合頁構(gòu)件由兩個(gè)菱形組成, 其邊長之比為2: 1。頂點(diǎn)A?以速度 水平移動(dòng)，求當(dāng)構(gòu)件的所有角為直角時(shí)，頂點(diǎn)ABB2的速度Rcos3 r解：Xa2 = 31 cos VdxA2=v03l sindtdr>dtd 丁 _dt 一 3l sin 二VoyBiXB2=2l cos v 】vA=l cost > vb1x=l Sin V )vy.、d日 2-2l sinv°dtdt 3趟+41vodtdt 3dydtd日1二 l cosvoctg vdt35.l cost > vB2xdxBdtsin芒2 dt56V0=丄丨sin v

3、r2二觀cos dt 2 dt 6 例4甲、乙兩小孩在做游戲，甲在樹上,yB21一 v°ctgrVo乙在地上用槍描準(zhǔn)甲，乙一開槍，甲就 從樹上跳下（初速度為零）。問：甲是否 被擊中？若被擊中，求出被擊中的時(shí)間 和地點(diǎn)。乙解:（略）例5 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)t=0時(shí)自坐標(biāo)原點(diǎn)以初速中受到空氣阻力f = -mkv，求:(1)（2）解:t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度; 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。(1)mg f 二 ma-mkvx 2mg - mkvydtdVy二 mdt(1)由（1）：dvx 一頃 -T dtt0(Wvxdvx由（2）:甲hv。=v°i做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程dvytvg -kVydT >

4、 .o（k）dt=0VTk，y 欝1）VxVy二 v°eJstdx dt_kt 二 v°e （2）vxxtdx"。_ktv0kt xe dt j x （1 - e ） kvy=空=g（1 _e乂），Jdy =dt k0Og-e&d-y 黑tg （1 -e蟲）k2x = ±（1 e） k八？tk討論:（1）Vx =V。kT。，：Vy =gtX =v0ty pt2理想平拋運(yùn)動(dòng)（2） t 廠:,乂=0& =g/kVox = ky=l勻速直線運(yùn)動(dòng) g_k2例6 一小環(huán)A套在半徑為a的豎直大圓環(huán)上，小環(huán)與 大環(huán)之間的摩擦系數(shù)為，證明：當(dāng)大環(huán)以勻角速

5、繞 它自己水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如果（g/a）1/2（11/臚）1/4則小環(huán)與大環(huán)之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)。解：N + mg cosT = ma特2丿f=mgsi門日c ANmg sin ：（ma 2-mg cos）- .-1/2,g sin 日亠 口、 a + cos 日）la = I令 f L）=（誓 cos"， f'）=0 >tan J 1/ Jsin J -1/ . 1；'丄2, cos -/1；'丄2例7如圖，設(shè)所有的接觸面都光滑，求物 體m相對(duì)于斜面的加速度和M相對(duì)于地面 的加速度。解1:mg sin v - max* 弘mgcos日=mayN1 sin 日

6、=Ma0_ _3x = -a0 cos日 +a'a =a° +a'T t.c tay = t sin 6mg si nr -m(£0cosv a')« 2 mgcosB =mao sin 日 tN1 sin 日=Ma0(M m)g sin j2M msin 二 mg sin cosM msin2 二解2：mg si nr ma0 cos v - ma'N1 -mgcos) ma0sin v -0 =N1 sin v - Ma0a'ao_ (M m)g sin)M msin2 rmgi n cosM msin2例8 一質(zhì)量為m

7、的質(zhì)點(diǎn)以初速vo，拋射角珀乍斜拋運(yùn)動(dòng)，落地時(shí)與地面發(fā)生碰撞，而后作第二次斜拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)兩次斜拋運(yùn)動(dòng)的飛行時(shí)間相等， 而第二次斜 拋運(yùn)動(dòng)的射程是第一次的一半，求碰撞時(shí)地面對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量。y解：-mgti j -mgj I v2x" -v1xfI 二 m(V2x -Vix)i mg(. ：ti 迤力Vo sin日小=ti = - :t2, Vix =VoCOSr,V2xg1 Vo COS T2I - - mv0 cos / mv0 sin j2例9 一質(zhì)量為M的圓環(huán)用線懸掛著,兩質(zhì)量為m的有孔小珠套在此環(huán)上，小珠可在環(huán)上無摩擦滑動(dòng)，如圖所示。 今將兩小珠從環(huán)的頂部釋放，使之沿相反方向自由

8、滑下。3(1)證明：為使小珠下滑過程中大環(huán)能升起，m和M必須滿足：m .M ；2(2)在滿足上述條件下，求大環(huán)開始升起時(shí)小珠與環(huán)中心連線與豎直線的夾角解:(1)(2)1 2mgR(1 cos日)=一 mV ijT Nmg cos v N =R上升條件：2Ncos， Mg，2mg(2 -3cos)cos J Mg2 a 2 p + Mcos cos36m以上不等式有解：4 4M 門 3“ m M9 6m23當(dāng)m3M時(shí)，以上不等式的解為:2二 mg(2 _3cosr)1以)5如1必3(1_即開始上升時(shí)，o嚴(yán)(1+嚴(yán)? 2m例10如圖所示，半徑為R、質(zhì)量為M、表面光滑的半球放在光滑的水平面上， 在其

9、正上方置一質(zhì)量為 m的小滑塊。當(dāng)小滑塊從頂部無初速地下滑后，在圖示 的T角位置處開始脫離半球，已知 cos" = 0.7，求M/m。VvR解:mvx - MV 二 0 I x1 2 1 2 2I - MV +m(vx +vy) =mgR(1cos日)x =v'cosr -VVy =v'sin 日_-_ vv =V +v't <m(v'cos v -V) - MV =0i 121222MV m(v'cos)-V) v' sin 打二 mgR(1-cos"2(M m)gR(1-cosr)M +msin2 日m2gR(1 -c

10、osRcos 二(M m)(M ms in2 巧脫離球面的條件：N = 0,則匚v*2 2( M + m)mg(1cosT)mg cos v - m廠RM +msin 日M cos3 J - 3cos v.43m3cos v - 2例11用一彈簧把質(zhì)量各為 mi和m2的兩木塊連起來，一起放在 地面上，彈簧的質(zhì)量可不計(jì)，而 m2>m1，問：對(duì)上面的木塊必 須施加多大的壓力F，以便在F突然撒去而上面的木塊跳起來 時(shí)，恰能使下面的木塊提離地面？解:m1m2FF mig 二 kx1m2剛好能被提起的條件:(1)m1m2g 二 kx2機(jī)械能守恒：1 . 2kx1 - m1 gx-i根據(jù)(1)(3)

11、可得(2)(3)x= 0X2X1nF =血 m2)g例12如圖，求當(dāng)人從小車的一端走到另一端時(shí)，小車相對(duì)與地面移動(dòng)的距離。解:XC2 :ml Ml/2m Mms + M (s +1 / 2)m M由 Xci =Xo2 得:ml s = m M例13如圖，質(zhì)量為m的小球，拴于不可伸長 的輕繩上，在光滑水平桌面上作勻速圓周運(yùn) 動(dòng)，其半徑為R,角速度為，繩的另一端通 過光滑的豎直管用手拉住，如把繩向下拉R/2 時(shí)角速度為多少？解：L =mvR =mR%RL'=mv' = mR2 24例14如圖所示，質(zhì)量為 m的小球B放在光滑的水平槽內(nèi)，現(xiàn)以一長為 l的 細(xì)繩連接另一質(zhì)量為 m的小球A

12、，開始時(shí)細(xì)繩處于松弛狀態(tài)，A與B相距為l/2。 球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右運(yùn)動(dòng)。當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到圖示某一位置時(shí)細(xì)繩被拉緊，試求B球開始運(yùn)動(dòng)時(shí)速度vB的大小。解：mv0l 12= mvA lmv0 = mvB mvA cos600 mvA|cos300 -0vB cos30 vA|3vBv°7例15固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸ooo 轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)大小圓柱的半徑分別為R和r，質(zhì)量分別為M和m，繞 在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體 m1Vamumum1和物體m2相連，mi和m2則掛在圓柱體的兩側(cè)，如圖所示，設(shè)R=0.20m, r=0.10m, m=4kg, M=10kg

13、, mi=m2=2kg，求柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度及兩側(cè)繩中的張力。mii g Ti = maim?g +T? = m?a2TiR-T2J-'印=Ra, a2 = ra.1J 12Jmi Rm2r1. 2 2f2a =6.13rad /sT1 =17.2NT2 =20.8N1m2gm1g例16如圖，滑輪質(zhì)量為M，半徑為R,物體質(zhì)量m,彈簧屈強(qiáng)系數(shù)k,斜面傾 角二均為已知。開始時(shí)扶住物體 m,使系統(tǒng)保持靜止，彈簧無伸縮，然后放開。求：（1）（2）（3）解:物體下滑距離為x時(shí)的速度為多少？下滑距離x為多大時(shí)，物體的速度為最大，最大速度為多少? 物體下滑的最大距離為多大？（設(shè)繩子與滑輪間無相對(duì)滑

14、動(dòng)）(1)_12.1,2 丄 1,2.-0=mv 十一丨 +kx -mgxsin 廿 2 2 2v = RCOJ =】MR2、一 22mgxsin v - kx2(2)(3)m M /2dv dv dx dv mg sin v - kx av dtdx dtdvdxX :XmXmaxxm=0、Xmaxdx m M /2mgs in 日_ ! mgxsin 6.'Vmax , . . , _km M / 2 2mg sinftl/2。l/2 B2m例17如圖，長為I,質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)棒的兩端 分別連著質(zhì)量均為m的小球A和質(zhì)量為2m的小 球B。整個(gè)系統(tǒng)繞過細(xì)棒的中點(diǎn) 0的水平軸自水 平位置

15、以零初速自由下擺，求：（1）系統(tǒng)擺到某一角位置二時(shí)，細(xì)棒的角速度和角加速度;（2）解:此時(shí)細(xì)棒對(duì)小球A、B的作用力。(1)1 l12mgsin)-2mg-sin-J2 2l 2l 212J =m() 2m()mlI 22122T5 .2ml66gsin v51d， d d r d 3g cosOf = = codt de dt de 5l(2)l 3l 23.aBt 苛=10gco，aBn W5gsin =2mgcos v -TBt =2maBt =2m g cos=2m 3g sin 二5TAn卄2mgTBn -2mgsin v - 2maB圖11TBt = 7 mg cos5TBn 16

16、mg si nr513.TAt = mg cosH 10TAn =? mg sinT 5例18水平面內(nèi)有一靜止的長為I，質(zhì)量為m的細(xì)棒，可繞通過棒一端 0點(diǎn)的鉛直軸旋轉(zhuǎn)。今有一質(zhì)量為m/2、速率為V0的子彈在水平面內(nèi)沿棒的垂直方向射擊 棒的中點(diǎn)，子彈穿出時(shí)速率減為 V0/2。當(dāng)棒轉(zhuǎn)動(dòng)后，設(shè)棒上各點(diǎn)單位長度受到的 阻力正比于該點(diǎn)的速率（比例系數(shù)為 k）。試求：（1）子彈穿擊瞬時(shí)，棒的角速度-'0為多少？（2）當(dāng)棒以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，受到的阻力矩 Mf為多少？（3）棒的角速度從'0變?yōu)?/2時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為多少？1lm1Q1l/2 j V0l/2m/2解（D因?yàn)榫?0,所以系統(tǒng)（子彈、

17、棒）角動(dòng)量守恒。子彈擊人前*子彈 1量牛$捧的角動(dòng)量為零卡子彈擊穿后瞬間，子彈角動(dòng)量為罟-尋-?棒的角占 ££t為皿（2）所以總阻力矩Aly = JdAlf =&ur2dr = V<3）由角動(dòng)量定理A4工 dCfeoZ3 dt n -i-wzZ2 dw5om:'n2klC例19如圖，圓柱體A上繞著輕繩，繩子跨 過一定滑輪B與物體C相連。設(shè)A、B、C 的質(zhì)量均為為m,圓柱體和定滑輪的半徑均 為R，系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)。求物體C下落 h后的速度和加速度。（設(shè)圓柱體與接觸面 間、定滑輪與繩子間都無相對(duì)滑動(dòng)）解：mg T| = maT R TqR = J%訂2R + fR =叫T2 - f = mac2 a = R%, ac = R-：2, a = ac R-：2, J = mRag , v2ah6gh1515另解：1 2 12 12 12mgh mv J 1 J 2mvC2 2 2 2v = R ,vC2 1,2 1,2 1 22 ' 2 2 2 C,JmR22=R 2, v =vC R 2, J16ghv283訪冷9v 二V 15'例20