初中數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義-以代數(shù)為主的綜合題

1、以代數(shù)為主的綜合題 一、課標(biāo)下復(fù)習(xí)指南初中代數(shù)綜合題，主要以方程、函數(shù)這兩部分為重點(diǎn)，因此牢固地掌握方程 與不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判別式、函數(shù)的解析式的確定及函 數(shù)性質(zhì)等重要基礎(chǔ)知識(shí)是解好代數(shù)綜合題的關(guān)鍵.在許多問(wèn)題中，代數(shù)和幾何問(wèn)題交織在一起，就要溝通這些知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，以數(shù)形結(jié)合的方法找到解決問(wèn)題的突破口.通過(guò)解綜合題有利于透徹和熟練地掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更深刻地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.二、例題分析例1 關(guān)于x的一元二次方程x2 (2m+1)x+ m2+m2=0.(1)求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x

2、i, X2滿足|xiX2 | = 1 m，求m的值.m 1解 (1)解法一： =(2m+ 1)24(m2+ m 2) = 4m2+4m+ 1 4m24m+ 8=9>0.不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.解法二：由原方程可得x1 = m+2, x2= m 1.不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)由(1)得 | x1-x2 | =3.m 2m 2又 | x1 x2 | 1 , 3 1 m 1m 1解得m=4.經(jīng)檢驗(yàn)，m= 4符合題意. m的值為4.說(shuō)明 此題利用一元二次方程根的判別式判斷其根的情況， 這是根的判別式 應(yīng)用的最基本的問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上可與方程、 函數(shù)知識(shí)結(jié)合，

3、綜合地解決代數(shù)問(wèn) 題.例2 已知二次函數(shù)y= (a+c)x2 + 2bx (c-a),其中a, b, c是AABC的三 邊，且 a>b, a>c, a+c=2b.(1)若這個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，試證： ABC是等邊三角形；(2)若4ABC是直角三角形，求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象除頂點(diǎn)以外都在軸上方.分析(1)從結(jié)論看，要證 ABC是等邊三角形，需證a=b=c；從條件看， 由函數(shù)圖象通過(guò)原點(diǎn)，可知(0, 0)滿足該函數(shù)的解析式，將之代入變形，尋找 a =b= c的關(guān)系.(2)從結(jié)論看，要證二次函數(shù)的圖像除頂點(diǎn)外都在 x軸上方，那么解析式配方 后y= a(x+m)2+n,其中n =

4、0；從條件看，利用 ABC是直角三角形，a+c= 2b,可將a, b, c均用a表示，通過(guò)配方觀察結(jié)論.證明(1)由y=(a+c)x2+2bx(ca)的圖象過(guò)原點(diǎn)，得a = c.又,. a+c=2b, .a=b=c.即AABC是等邊三角形.(2)由 ABC是直角三角形，及a> b, a>c,得 a2=b2+c2.解法一：.a+b = 2b,b -a,c53 a.582y -ax582812-ax- a-a(x-)0.5552.從圖象看二次函數(shù)的圖象除頂點(diǎn)外都在x軸上方.解法二：=(2b)2+ 4(a c)(c- a) = 4(b2+ c2 a2) = 0.一二次函數(shù)的圖象與x軸只有

5、一個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在x軸上. a>0, c>0,a+c>0.二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上.二次函數(shù)的圖象除頂點(diǎn)外都在 x軸上方.例3 關(guān)于x的方程(ac)(x+1)(x 1) = 2(bx+ c)有兩個(gè)相等實(shí)根，其中a, b,c為 ABC 中/A, ZB, /C 的對(duì)邊，若 a2+2ac 4b2+c2 = 0,求 sinB 和 tanA 的值.分析 從題目結(jié)構(gòu)看是把方程的知識(shí)、三角形邊角關(guān)系“串聯(lián)”起來(lái)，知識(shí) 銜接關(guān)系清楚，屬組合型綜合題.解 把方程(a c)(x+ 1)(x- 1) = 2(bx+ c)整理得(a c)x22bx a c= 0,因 為方程有兩個(gè)相等實(shí)根，所以a-cw

6、0,且 =0,即 4b2+4(a c)(a+c) = 0.b 21(-)(b 1) (-) c 0. 2+ a2 c2=0.ABC為直角三角形，/ C = 90° .由 a2 + 2ac 4b2+c2=0可得(a+c+2b)(a+c2b) = 0.,a+c+2b> 0,.a+c2b= 0.3 .222a c,b a c ,5由,可得 5a c 2b c .4b c.5, RtAABC 中，a ： b ： c=3 ： 4 ： 5.b4a3sin B, tan Ac5b4例4 (天津)已知函數(shù)yi=x, y2 = x2+bx+c,為方程yi y2=0的兩個(gè) 根，點(diǎn)M(t, T)在函

7、數(shù)y2的圖象上.(1)若-,-,求函數(shù)y2的解析式；32(2)在(1)的條件下，若函數(shù)yi與y2的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)為 A, B,當(dāng)4ABM的一一. 1面積為二時(shí)，求t的值；123(3)若0V < <1,當(dāng)0<t<1時(shí)，試確定T,三者之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.分析 第(1)問(wèn)由y1 y2=0得x2+(b1)x+ c=0均兩根為，利用根的 定義代入得到b, c的方程組可求出b, c值；第(2)問(wèn)分別求出A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)， 利用直線v= x與x軸夾角為45。得到關(guān)于t的方程；第(3)問(wèn)利用求差法比較T, ,的大小，注意對(duì)t的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)的確定相應(yīng) T,的大小關(guān)系.解 (

8、1)y1 = x, y2 = x2+bx+c, y1一y2 = 0, .x2+ (b 1)x+c= 0.111 c1將 一，一分別代入 x2+ (b 1)x+ c= 0,得(一)(b 1) - c 0,323311解得b 1,c 166函數(shù)y2的解析式為V2由已知，yi與y2， 1 11 1的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（）,（）.得2 2 3 3、2 一 AB ,設(shè)ABM中AB邊上的圖為h,1.2則 S>aABMAB h ha h212112即,2h 144由直線必=乂與乂軸的夾角為450 可得 | t T | = V2h.t21t 62I，行|t21144當(dāng)t2上時(shí)，解得t1t25.1

9、2當(dāng)t21 j時(shí), 144解得t3.212-，5 . 212 t的值為512212-212-(3)由已知,=2+b+ c,2 + b + c,T= t2+bt+c.-T- =(t )(t+ +b),T- =(t )(t+ +b),=(2+b +c)-( 2+b +c), 化簡(jiǎn)得(一)(+ +b1)=0.v0< < <1,得一w0, ; + +b1=0.有 a+b=1 >0,+b=1 >0.又 0<t<1 時(shí)，. t+ +b>0, t+ +b>0.當(dāng) 0<t0 時(shí)，T< < ;當(dāng) <t0 時(shí)，<TW ;當(dāng) <

10、;t<1 時(shí)，< <T.說(shuō)明 本題是關(guān)于函數(shù)、方程、不等式的綜合題，知識(shí)面廣.y= a(aw0)與函數(shù) y=x例5 (杭州)已知：如圖221,平行于x軸的直線和函數(shù)y 所以 3a2 + 8a 3= 0.解得 a= 3 或 a的圖象分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,又有定點(diǎn)P(2, 0). x圖 22-1一1(1)若a>0,且tan POB -,求線段 AB的長(zhǎng);9(2)在過(guò)A, B兩點(diǎn)且頂點(diǎn)在直線y=x上的拋物線中，已知線段 AB 在它的對(duì)稱(chēng)軸左邊時(shí)，y隨著x的增大而增大，求滿足條件的拋物線的解析式;(3)已知經(jīng)過(guò)A, B, P三點(diǎn)的拋物線，平移后能得到y(tǒng) 9 x2的圖象，求點(diǎn)P5到

11、直線AB的距離.一1分析(1)由tan POB 1及點(diǎn)B在拋物線上，得到點(diǎn)B橫、縱坐標(biāo)的方程9組，從而求得A, B的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；(2)先設(shè)點(diǎn)A(a, a), B(-,a) .由AB ?a3求得a,再根據(jù)a的取值分類(lèi)討論確定拋物線的解析式；(3)設(shè)A(a, a), B(-,a), a先根據(jù)條件確定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，再求二次函數(shù)的解析式和a的值，最后確定P 到直線AB的距離.1 一，1解 (1)設(shè) A(a , a) , B (-,a)，則 AB = | a | .當(dāng) a > 0 時(shí)， aatan POB a2 -19a118解得a(舍負(fù)).AB|-3|一333(2)由條件可知拋物線開(kāi)口

12、向下，18AB a a3一 .1 一 .一 ,， 一一 一 , 當(dāng)a= 3時(shí)，點(diǎn)A(3, 3), B( -, 3),因?yàn)轫旤c(diǎn)在y=x上，所以頂點(diǎn)為355 5 c(5,5),所以可設(shè)二次函數(shù)為y k(x5)2333所以所求函數(shù)解析式為y 3(x 5)2 431 .同理，當(dāng)a 1時(shí)，所求函數(shù)解析式為y3(3)由條件可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線a 1 x5 ，5 ,把點(diǎn)A坐標(biāo)代入，解得k3533 /5 24(x 3)設(shè)所求二次函數(shù)解析式為y 9(x 2)x5(a 1) 2a將點(diǎn)A(a, a)的坐標(biāo)代入，得13a245a+18=0.解得ai = 3a2= £ ,所132 2a以點(diǎn)P到直線AB的距

13、離為3或6 .13說(shuō)明 本題是一次函數(shù)、反比例函數(shù)和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用， 解決方法一般 是從交點(diǎn)入手，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.解答時(shí)要注重?cái)?shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論時(shí)一定要全面，做到不重不漏.例6 (西城模擬)如圖22 2,在等腰梯形 ABCD中AB / DC, AB=12,A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)得到等腰梯形OEFG(O,E,BC 445，/DAB = 45° .以AB所在直線為x軸, 系，將等腰梯形ABCD繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900F, G分別是A, B, C, D旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)).(1)寫(xiě)出C,(2)將等腰梯形ABCD沿x軸的負(fù)半軸平行移動(dòng),設(shè)移動(dòng)后的 OA的長(zhǎng)度是x.如圖223

14、,等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重合部分的面積是y,當(dāng)點(diǎn)D 移動(dòng)到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 x 的取值范圍；圖 223(3)在直線CD上是否存在點(diǎn)P,使4EFP為等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解過(guò)C作CH，x軸于點(diǎn)H(見(jiàn)圖22 4). BC 472 , /CBA= /DAB=45° ,1 .CH = HB = 4.2 .C點(diǎn)坐標(biāo)為（8, 4）.同理可求得F點(diǎn)坐標(biāo)為（一4, 8）.（2）設(shè)AD, DC分別與OG, OE交于點(diǎn)M, N（見(jiàn)圖225）.圖 225DAB = /GOA= 45° ,八2八.2 八

15、OM AM -2-OA -2-x,ON 4.連接OD,則S四邊形 MOND= S DMO + SaDNO, 一-11.即 y2 DMMO- DNON221 221(4.2 萬(wàn)x).亍x(x 4) 42 2221 2-j-x2 4x 8(4 x 8).說(shuō)明也可利用 S 四邊形 MOND = S 梯形 AOND 一 &AOM 求解.(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a, 4).可得G(-4, -4).若 PE=PF,在 RtzXPNE 和 RtzXPGF 中，由 PE2= PN2+NE2= PG2+FG2 = PF2,得 a2+(12 4)2 = (a+4)2 + 42.解得a=4.若PF=EF,貝U由

16、 PF2=PG2+FG2=EF2.得(a+ 4)2+42=(472)2.解得 ai = 0, a2= 8.當(dāng)a= 一8時(shí)，P( 8, 12)與E, F三點(diǎn)共線，不合題意，舍去.當(dāng)a=0時(shí)，P(0, 4)符合題意.若PE=EF,貝U由 PE2=PN2+NE2=EF2,得 a2+(12 4)2 = (4&)2.化簡(jiǎn)得a2+32=0,方程無(wú)解，此時(shí)P點(diǎn)不存在.綜合、知，所求P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(4, 4), P2(0, 4).說(shuō)明圖形的平移和旋轉(zhuǎn)是解決綜合題的重要方法，要很好地掌握由變換產(chǎn) 生的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化特點(diǎn)，從而構(gòu)建方程和函數(shù)來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.三、課標(biāo)下新題展示例7 (江西)某天，小明來(lái)到體育館

17、看球賽.進(jìn)場(chǎng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)門(mén)票還在家里， 此時(shí)離比賽開(kāi)始還有25分鐘，于是立即步行回家取票.同時(shí)，他父親從家里出 發(fā)騎自行車(chē)以他3倍的速度給他透票，兩人在途中相遇，相遇后小明立即坐父親 的自行車(chē)趕回體育館.圖22-6中線段AB, OB分別表示父子倆送票、取票過(guò)程 中，離體育館的路程s(米)與所用時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題(假設(shè)騎自行車(chē)和步行的速度始終保持不變):圖 226求點(diǎn)B的坐標(biāo)和AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)小明能否在比賽開(kāi)始前到達(dá)體育館？分析 觀察分析圖象可知AB代表父親騎自行車(chē)送票，OB代表小明回家取 票設(shè)小明的步行速度為x米/分，B為相遇點(diǎn)，且3600= 15(x

18、+3x),從而求出小 明步行速度和父親騎自行車(chē)的速度.解(1)方法一：從圖象可以看出：父子倆從出發(fā)到相遇花費(fèi)了15分鐘.設(shè)小明步行的速度為x米/分，則小明父親騎車(chē)的速度為3x米/分.依題意得15x+ 45x= 3600,解得x=60.所以?xún)扇讼嘤鎏庪x體育館的距離均 60X 15=900(米).所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(15, 900).設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為s= kt+ b(kw 0).由直線 AB 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(0, 3600), B(15, 900)b15k3600,b 900.解得180,3600.直線AB的函數(shù)關(guān)系式為s= - 180t+3600.方法二：從圖象可以看出：父子倆從出發(fā)到相遇花費(fèi)

19、了15分鐘.設(shè)父子倆相遇時(shí)，小明走過(guò)的路程為 x米.依題意得3 360°_- 解得x = 900.1515所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(15, 900).以下同方法一.(2)方法一：小明取票后，趕往體育館的時(shí)間為 -900- 5 (分鐘).60 3小明取票花費(fèi)的時(shí)間為15+5= 20(分鐘).V20<25, 小明能在比賽開(kāi)始前到達(dá)體育館.方法二：在 s= 180t+3600中，令 s= 0,得 0=180t + 3600.解得t=20.即小明的父親從出發(fā)到到達(dá)體育館花費(fèi)的時(shí)間為20分鐘.小明取票的時(shí)間也為20分鐘.V 20V 25, 小明能在比賽開(kāi)始前到達(dá)體育館.說(shuō)明 本題為函數(shù)圖象信息題

20、，圖象信息題是指給出相關(guān)圖象，通過(guò)觀察分 析圖象，從中獲取相關(guān)信息進(jìn)行計(jì)算或推理的一類(lèi)問(wèn)題.例8 (福州)已知直線l: y= x+m(mw 0)交x軸，y軸于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)C, M分別在線段 OA, AB上，且OC=2CA, AM = 2MB,連接MC,將 ACM繞點(diǎn) M旋”專(zhuān)180°得到 FEM,顯然點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)F在直線l上；取線段EO的 中點(diǎn)N,將4ACM沿MN所在直線翻折，得到PMC,其中P與A為對(duì)稱(chēng)點(diǎn).記 過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)圖象為Ci ,過(guò)點(diǎn)M且以B為頂點(diǎn)的二次函數(shù)圖象為 C2,過(guò) 點(diǎn)P且以M為頂點(diǎn)的二次函數(shù)圖象為 C3.如圖22-7所示，當(dāng)m=6時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M, F

21、的坐標(biāo)；求Ci, C2的函數(shù)解析式；圖 22-7(2)當(dāng)m發(fā)生變化時(shí)，在C1的每一支上，y隨x的增大如何變化？i青說(shuō)明理 由；若C2, C3中的y都隨著x的增大而減小，寫(xiě)出x的取值范圍.解 (1)見(jiàn)圖228,圖 228點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, 4),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(一2, 8).設(shè)Ci的函數(shù)解析式為y -(k 0).x- Ci 過(guò)點(diǎn) F(-2, 8),.Ci的函數(shù)解析式為y 16x.C2的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0, 6),.設(shè)C2的函數(shù)解析式為y= ax2+6(aw0).- C2 過(guò)點(diǎn) M(2, 4),1 .4a+6=4.解得 a21 2.C2的函數(shù)解析式為y-x2 6.2(2)依題意得 A(m, 0),

22、B(0, m).12點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-m, - m),331 4點(diǎn)F的坐標(biāo)為(一 m, m)3 3k設(shè)C1的函數(shù)解析式為y -(k 0).x144 2- C1 過(guò)點(diǎn) F ( - m, - m), k - m .339: mw0,k< 0.在C1的每一支上，y隨著x的增大而增大.1.如圖所小，當(dāng)m>0時(shí)，潴足題意的x的取值范圍為0 x -m；當(dāng)m<03時(shí)，滿足題意的x的取值范圍為1mx 0.3說(shuō)明本題涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和圖象的變換等多個(gè)知識(shí) 定，有一定難度.例9 (深圳)如圖229,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 0),將線段OA繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到

23、線段OB.圖 22-9求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過(guò)A, O, B三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn) C,使ABOC的周長(zhǎng)最??？若存在， 求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(4)如果點(diǎn)P是(2)中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在 x軸的下方，那么 PAB是否 有最大面積*有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及 PAB的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明 理由.分析(1)由/ AOB=120°可得OB與x軸正半軸的夾角為60° ,利用OB =2及三角函數(shù)可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)利用待定系數(shù)法可求出解析式；(3)OB為 定值，即求BC+CO最小.利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn) C為直線

24、AB與對(duì)稱(chēng) 軸的交點(diǎn)；(4)利用轉(zhuǎn)化的方法列出 S*ab關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式求 解.解(1)B(1, 3).3(2)設(shè)拋物線的解析式為v= ax(x+2),代入點(diǎn)B(1,J3),得a23 .3因此y粵x2笠x. 33(3)如圖2210,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x= 1,因?yàn)锳, O關(guān)于拋物線的 對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)點(diǎn) C位于對(duì)稱(chēng)軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，ABOC的周長(zhǎng)最小.圖 2210.3設(shè)直線AB的解析式為y=kx+ b(kw0),則k b點(diǎn)解得k 2k b 0.b因此直線AB的解析式為y tx雪當(dāng)乂= 1時(shí)，y號(hào)3因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,*)(4)如圖2211,過(guò)P作y軸的平行線交AB于D,

25、設(shè)其交x軸于E,交過(guò)點(diǎn)B與x軸平行的直線于F.圖 22-111 “ 32(百 x2.33 2 )2.3x) 3設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x.貝1 & FAB= & FAD + SaPBD11PD AE PD BF22 1一PD (AE BF) 22)1 23-2- x3當(dāng)時(shí)x-,4PAB的面積的最大值 43為,止匕時(shí)P( - , -3)2824說(shuō)明 本題為二次函數(shù)的綜合題，綜合程度較高，要掌握利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示 坐標(biāo)軸上線段的方法.因?yàn)榫€段的長(zhǎng)度為正數(shù)，所以在用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度 時(shí)，我們用“右邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)減左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 上邊點(diǎn)的縱坐標(biāo)減下邊點(diǎn)的縱 坐標(biāo)”，從而不用加絕對(duì)信號(hào)，本題中

26、線段 PD的長(zhǎng)為yD yp就是利用了這一規(guī) 律.四、課標(biāo)考試達(dá)標(biāo)題（一）選擇題1.已知a, b, c均為正數(shù)，且k,則下列四個(gè)點(diǎn)中，在正比例函數(shù)y= kx圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)是().1A. (1,2)B. (1, 2)-1C. (1, 2)D. (1, -1) *135792.已知函數(shù)y= x- 5,令x -,1,-,2,-,3,-, 4,-,5,可得函數(shù)圖象上的十個(gè)22222點(diǎn).在這十個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取兩個(gè)點(diǎn)P(x1, y1), Q(x2, y2),則 P, Q 兩點(diǎn)在同一反比例函數(shù)圖象上的概率是（).A9B.45C.45D.3 .如圖2212,陰影部分的面積相等的是（）.圖 22-12A.B.C.D

27、.(二)填空題4 .若點(diǎn)P(a+b, 5)與點(diǎn)Q(1, 3ab)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于 x的二次三項(xiàng)式x2 2ax b可以分解為25 .已知點(diǎn)A, B在x軸上，分別以A, B為圓心的兩圓相交于 M(3a-b, 5), N(9,2a+3b),則ab的值是，一 .4 k 、 46 .(武漢)如圖2213,直線y x與雙曲線y (x 0)父于點(diǎn)A.將直線y -x3x3，一一 9 一.、一，一 一 k向右平移9個(gè)單位后，與雙曲線y -(x 0)交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C,若2xAO 2,則"圖 22-13(三)解答題7.(常州)如圖2214,k已知A(1, m)與B(2,m 3百)是反比例函數(shù)y

28、 圖象 x上的兩個(gè)點(diǎn).求k的值;k若點(diǎn)C(-1, 0),則在反比例函數(shù)y -圖象上是否存在點(diǎn)D,使得以A, xB, C, D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形 陪存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.8.(長(zhǎng)沙)如圖2215(a),已知直線y11 2-x與拋物y-x6父于A, B兩點(diǎn)24(點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)).圖 22-15(1)求A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求線段AB的垂直平分線的解析式；(3)如圖2215(b),取與線段AB等長(zhǎng)的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在 A, B 兩處.用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖 P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)， 動(dòng)點(diǎn)P將與A, B構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最

29、 大的三角形勉口果存在，求出最大面積，并指出此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存 在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.9.如圖2216,拋物線與x軸交于A(x1, 0), B(x2, 0)兩點(diǎn)，且X1>X2,與y軸 交于點(diǎn)C(0, 4).其中x1、x2是方程x22x8 = 0的兩個(gè)根.(1)求這條拋物線的解析式;點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE/AC,交BC于點(diǎn)E,連接CP,當(dāng) CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)探究：若點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn) Q,使4QBC成 為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由.以代數(shù)為主的綜合題1. A.2. B.3

30、. D.4. (x 1)2.5. -6. 12.87. (1)解：(1)由(一1) m= 2 (m 3囪,得 m= 2E,因此 k 2T3.(2)如答圖 221,作 BE，x 軸，E 為垂足，則 CE = 3, BE v13 , BC 2« , 因此/BCE=30° .答圖22-1由于點(diǎn)C與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，因此 CAx軸，從而/ACB=120° .當(dāng)AC為底時(shí)，由于過(guò)點(diǎn)B且平行于AC的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) B.故不符合題意.當(dāng)BC為底時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，交雙曲線于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A, D分別 作x軸，y軸的平行線，交于點(diǎn)F.由于/DAF = 30°

31、; ,設(shè) DF=m（m1>0）,則AF 、. 3ml, AD 2m1由點(diǎn) A（ 1, 2；3）,得點(diǎn) D（ 1 T3m1, 2<3 mJ.因此（1 ，3 m1）（ 2.3 mJ 2.3,1-解得m ZV3（m1 = 0舍去），因此點(diǎn)D（6,學(xué)）.33此時(shí)AD 14 V3，與BC的長(zhǎng)度不等，故四邊形 ADBC是梯形.3如答圖222,當(dāng)AB為底時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為D.由于AC=BC, /CAB = 30° ,從而/ ACD= 150° .作DH ，x 軸，H 為垂足，則/ DCH=60° ,設(shè) CH m2(m2 0),則

32、DH 忌m2, CD 2m2 .由點(diǎn) C( 1 , 0),得 點(diǎn) D( 1 m2,J3m2),因止匕，(1m2)V3m22V3,解得m22(m21 舍去)，因此點(diǎn) D(1,2,V3).此時(shí)CD = 4,與AB的長(zhǎng)度不相等，故四邊形 ABDC是梯形.答圖22-2當(dāng)過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，與雙曲線在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為D時(shí)見(jiàn)答圖223,同理可得，點(diǎn)D( 2, J3),四邊形ABCD是梯形.綜上所述，函數(shù)y 孕圖象上存在D,使得以A, B, C, D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的3四邊形為梯形，點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為D(6,飛3)或D(1,2«)或D( 2, <3).3答圖22-38.解：(1)解：依題意，A, B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1 21x 6 x 的解.解得 x1 = 6, x2= - 4.42 .A(6, 3), B(-4, 2).(2)解法一：作AB的垂直平分線分別交x軸，y軸于C, D兩