數(shù)列通項超全高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項解法專題總結(jié)

1、、累加法（逐差相減法）1、an 12、an 1anan 1anaa2aian數(shù)列通項總結(jié)an d （ d為常數(shù)）,等差數(shù)列anf(n),f(n 1)2 f(n 2)f(1)f(1) f(2)變形為an 1 an f(n),前提f(1)這n 1個等式累加得：f(n 1),一 .一 1例1：已知數(shù)列an滿足a1, an 1anf (n1）可求例2：已知數(shù)歹I3中a1 1 ,且a2ka2k 1n1)k,，求ana2k 1a2k3k,k 1,2,3（D求a3,a5 （2）求an的通項公式.、累積法（逐商相乘法）1、an1 qan （q為常數(shù)），等比數(shù)列2、an1f (n)an ,變形為咄anf(n),

2、前提f(2)f (n1）可求ana n 1a n 1an 2f(nf(n1)2）這n 1個等式累乘得ana1f(1)f(2)f (n1)a2a1f(1)一 , ，_2例1：已知數(shù)列an滿足a1 -3an 1nlan，求 an。一3n 1例2：已知a1 3, an1 -a3n 2n (n1),求 an。二、公式法an Sn Sn1(n 2), am &1Sn(n1)例1：已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn滿足S1>1且6Sn =(an 1)(an 2) nC N求an的通項公式。1解：由 a1 G二(a1 1)(a1 2)解得 a1=1 或 a1=2,由已知4S1>1

3、,因此 a1=26一，11又由 an 1Sn1Sn=)an11)(an12)(an1)(an2)彳寸66(an 1 an)(an 1 an 3)=0an >0 二 an 1an從而an是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，故an的通項為烝=2+3(n-1)=3n-1.例2:已知數(shù)列an前n項和Sn4 小(1)求an 1與an的關(guān)系；(2)求通項公式an.四、待定系數(shù)法1、an 1 pan q (其中p, q均為常數(shù)，(pq(p 1) 0)。把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an 1 t p(an t),其中 t -q,令 bn1 an 1 t,則 bn1 pbn 等比數(shù)列 1 p例1:已知數(shù)列 an中，a1

4、 1 , an 1 2an 3,求an.2、an 1pan qn,兩邊同除以qn 1 ,a4衛(wèi)當(dāng) qq q q例2：已知數(shù)列 an 中，& 5,an 1 1an (1)n1,求 an。 6323、an 1pan(p 0,an 0) logan1log pan10gpr log anhoganlogp等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an 1 pan q1例1:已知數(shù)列 an中，a1 1,an1 - a2 (a 0),求數(shù)列an的通項公式.a1.一例2：已知數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且滿足：a0 1,an1 an(4 an),nN.求數(shù)列an的通項公式an4、an 1 pan an b (p 1、0,

5、 a 0)利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an1 x(n 1) y p(an xn y),與已知遞推式比較，解出x, y,從而轉(zhuǎn)化為 an xn y是公比為p的等比數(shù)列。例 1:設(shè)數(shù)列 an : a14,an3an 1 2n 1,(n 2),求 an.5、an i an pn q 或 an 1 an pqn轉(zhuǎn)化為a2nl與a2n是等差或等比數(shù)列求解。例 1:在數(shù)列an中，ai 1,an i 6n an ,求 an例 2:在數(shù)列an中，a1 1, anan 1 3n,求 an五、取倒法an 1an ,兩邊取倒：1an一q1 q ,bn1,則 bn1qbn1 等an qan 1ananan 1比數(shù)

6、列，更一般：an1 apan qa例 1:已知數(shù)列an, a1= 1, an 1 n N ,求 an=?1 an例2:若數(shù)列的遞推公式為a1 3, 2(n N),則求這個數(shù)列的通項公式。an 1 an例3:已知數(shù)列an滿足a1 1,n 2時，an 1 an 2an 1an ,求通項公式。例4：已知數(shù)列 an滿足：an an1,a1 1,求數(shù)列 an的通項公式。3 an1 1例 5:若數(shù)列 an 中，a1二1, an 1 =-2a nC N ,求通項 an .an 2六、特征方程法1、已知數(shù)列an的項滿足：a1 a且對于n N ,都有an 1 pan q (其中P、 ran hq、r、h R ,

7、且ph qr,r 0,a h),稱方程x -pxq為數(shù)列an的特征方 rrx h程.(1)當(dāng)特征方程有兩個相同的特征根x時，(i )若a1 x,則數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列(ii )若d x,則數(shù)列為等差數(shù)列。an x當(dāng)為等比數(shù)列。 x2(2)當(dāng)特征方程有兩個相異的特征根xi、x2時，則數(shù)列亙 a n說明：(i) ox?的順序是任意的(ii )亙與a3 互為相反數(shù)，如果一個為整數(shù)，一個為分?jǐn)?shù)，為了計 an x2 an xi算方便，可取a_2！為整數(shù)。an x2例i：已知數(shù)列an滿足性質(zhì)：對于n N ,an i4an 3an2,求an的通項公式.特征方程求根：x方,x22x 3(x3)(x 1)o,(2

8、)根據(jù)根的情況判斷等比或等差,并求出:3, q(3)驗證：包an i(i)34an 3 ( an 2i)4an 3 3an 25ananananw2325 a- anJ)3(4)換元：令bnanan則,biai( i)bnbiqni3)5n(5)反解：(3)5n ian( i),則an3an(n i)5 iL(n i)5例2：已知數(shù)列%的首項an i3an2an in i ,2 ,L .(I)求an的通項公式;解：其中數(shù)列an的通項公式的求解如下:數(shù)列an相應(yīng)的特征方程為x3x2x特征根為 ii i, 20所以數(shù)列電為等比數(shù)列，由 anai35,a29ii，得數(shù)列a的首項是an29*,公比是-

9、11所以a a n2解之得an /萬2、形如an 2pan 1qan（p,q是常數(shù)）的數(shù)列形如a m1,a2 m2,an 2 pan 1 qan（p,q是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項an,其特征方程為X2pX q（1）若有二異根, ，則可令an c1 n c2 n（c1,c2是待定常數(shù)）（2）若有二重根,則可令an （G nc2）n（C1,Q是待定常數(shù)）再利用a1 m1,a2 m2,可求得G。，進而求得an例1:已知數(shù)列an滿足a12,a2 3,烝2 3為12an(n*N ),求數(shù)列an的通項an解：其特征方程為X2 3x2,解得 Xi1,X22,令annC1 1nc2 2 ，a1a2。2c2 2 ,得G 4c2 3an1 2n 1例2:c2已知數(shù)列an滿足a11, a22,4an4an 1 an(n*)，求數(shù)列an的通項an解：其特征方程為4X24x1 ,解得X1X2令annc24 (C1 C2)a2 (G 2c2)1 121 24/曰 C14，行C，c26an3n 22n 1七、雙數(shù)列型累加、累乘、化歸等方法求解。根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用例 1 ： bn 3n 2 3n，求 Sn例2:已知數(shù)列a