小學工程問題歸納及經(jīng)典練習題

1、解工程問題的方法工程問題是研究工作量、工作效率和工作時間三者之間關系的問題。這三者 之間的關系是：工作效率X工作時間=工作量工作量工作時間=工作效率工作量工作效率=工作時間根據(jù)上面的數(shù)量關系，只要知道三者中的任意兩種量，就可求出第三種量。由于工作量的已知情況不同，工程問題可分為整數(shù)程問題和分數(shù)工程問題 兩類。在整數(shù)工程問題中，工作量是已知的具體數(shù)量。解答這類問題時，只要按 照上面介紹的數(shù)量關系計算就可解題，計算過程中一般不涉及分率。在分數(shù)工程 問題中，工作量是未知數(shù)量。解這類題時，也要根據(jù)上面介紹的數(shù)量關系計算， 但在計算過程中要涉及到分率。一、工作總量是具體數(shù)量的工程問題）例1建筑工地需要1

2、200噸水泥，用甲車隊運需要15天，用乙車隊運需要 10天。兩隊合運需要多少天（適于四年級程度）解：這是一道整數(shù)工程問題，題中給出了總工作量是具體的數(shù)量1200噸， 還給出了甲、乙兩隊完成總工作量的具體時間。先根據(jù)“工作量+工作時間=工作 效率，分別求出甲、乙兩隊的工作效率。再根據(jù)兩隊工作效率的和及總工作量, 利用公式“工作量工作效率=工作時間，求出兩隊合運需用多少天。甲車隊每天運的噸數(shù)：（甲車隊工作效率）12004-15=80 （噸）乙車隊每天運的噸數(shù)：（乙車隊工作效率）12004-10=120 （噸）兩個車隊一天共運的噸數(shù):80+120=200 （噸）兩個車隊合運需用的天數(shù):12004-2

3、00=6 （天）綜合算式:12004- （120015+12004-10）=12004- （80+120） =1200200 =6 （天）答略。*例2生產(chǎn)350個零件，李師傅14小時可以完成。如果李師傅和他的徒弟 小王合作，則10小時可以完成。如果小王單獨做這批零件，需多少小時（適于 四年級程度）解：題中工作總量是具體的數(shù)量，李師傅完成工作總量的時間也是具體的。李師傅1小時可完成：350+14=25 （個）由如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時可以完成可知，李師傅和 徒弟小王每小時完成：3504-10=35 （個）小王單獨工作一小時可完成:35-25=10 （個）小王單獨做這批零件需要:3

4、50910=35 （小時）綜合算式:350+ （3504-10-3504-14）=350+ （35-25=3504-10=35 （小時）答略。*例3把生產(chǎn)2191打毛巾的任務，分配給甲、乙兩組。甲組每小時生產(chǎn)毛 巾128打.，乙組每小時生產(chǎn)毛巾160打;乙組生產(chǎn)2小時后，甲組也開始生產(chǎn)。 兩組同時完工時超產(chǎn)1打。乙組生產(chǎn)了多長時間（適于四年級程度）解：兩組共同生產(chǎn)的總任務是：2191-160x2+1=1872 （打）兩組共同生產(chǎn)的時間是：1872-r （160+128）=（小時）乙組生產(chǎn)的時間是：+2=（小時）綜合算式：（2191-160x2+1） 4- （160+128） +2=18724-

5、288+2=+2=（小時）答略。練習題：1、筑路隊疾患修筑一條長2400米的公路，甲隊單獨做需要20天完成，乙 隊單獨需要30天完成。如果兩隊同時開工共同修筑，只需幾天就可以完成2、甲、乙兩個工程隊合修一條長42千米的水泥路，甲隊每天修千米，比乙 隊的2倍多千米。（1）乙隊每天修多少千米（2）兩隊合修多少天可以修完3、紅星服裝廠計劃生產(chǎn)2800套夏季學生服，已經(jīng)生產(chǎn)了 5天，每天生產(chǎn)80 套，剩下的20天完成，平均每天要生產(chǎn)多少套4、王師傅加工一種零件，由原來的每個用12分鐘降低到每個8分鐘，原來 每天加工300個，現(xiàn)在每天加工多少個5、用兩臺機器生產(chǎn)108個齒輪。第一臺小時能生產(chǎn)18個，第二

6、臺小時能生 產(chǎn)8個。兩臺機器一同生產(chǎn)一段時間以后，還剩45個。兩臺機器一同生產(chǎn)了多 少小時綜合算式：(108 -45)-(18-4-+8-1-)= 63+(4 + 5)= 63-9 = 7 (小時)答略。二、工作總量不是具體數(shù)量的工程問題工程問題方法總結：基本數(shù)量關系：工效義時間=工作總量二：基本特點：設工作總量為“1”，工效=1/時間三：基本方法：算術方法、比例方法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做分想。五：類型與方法：-：分做合想：1.合想,2.假設法,3.巧抓變化（比例）,4.假設法。二：等量代換：方程組的解法一代入法，加減法。三：按勞分配思路：每人每天工效一每人工作量一按比例分配

7、四：休息請假：方法：1.分想：劃分工作量。2.假設法：假設不休息。五：休息與周期：1 .已知條件的順序：先工效，再周期，先周期，再天數(shù)。2 .、工.天數(shù)：近似天數(shù)，準確天數(shù)。4.列表確定工作天數(shù)。六：交替與周期：估算周期，注意順序！七：注水與周期：1.順序，2.池中原來是否有水，3.注滿或溢出。八：工效變化。九：比例：1.分比與連比，2.歸一思想，3.正反比例的運用，4.假設法思想 （周期）。十：牛吃草問題：1.新生草量，2.原有草量，3.解決問題。工程問題當知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也就是知道了所需的時 間比。因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中把工作量設為整體

8、1 的做法，而偏重于整數(shù)化或“從比例角度出發(fā)，也許會使我們的解題思路更靈 活一些.兩個人的問題標題上說的兩個人，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體.（一）兩個人的問題例1. 1 一件工作，由A做20天完成，B做15天完成。（1）兩隊合做5 天可以完成工程的幾分之兒（2）兩隊合做6天，還剩下工程的幾分之幾（3）兩 隊合做兒天完成解:(1) ( + )x5 = 20 1512(2)(3)1 131-( + )x6 =20 151011604 1+(+ ) = = 8 (天)20 1577答:(1)兩隊合做5天可以完成工程的9兩隊合做6天，還剩下工程的上。（3）兩隊合做8士天完成。10【解析】此題

9、是工作效率問題。A用20天完成，總工程是1，所以中隊的工作效率是1 + 20 =,乙對的工作效率是1-2-15 = o2015問題（1）要求完成的工程量，用工作效率x工作時間;問題（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用總工程量 1減去已 做工程量；問題（3）要求完成時間，用總工程量 1總工效。例、一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，現(xiàn)在甲、乙做了 3天, 余下的工作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作解：（1） 1 （ + ） x 3 =9 66=1（天） O O答：乙需要做1天可以完成全部工作。（【解析】要解決此題，就要清楚此工程的過程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是

10、 甲和乙一起做，之后轉由乙單獨完成，求的是乙單獨完成剩下的工作時間?？偣こ淌恰?，就可以知道：甲的工作效率是1+9 = ,乙對的工作效率是91 4-6 = O6求乙單獨完成剩下的工作時間，還需要知道乙的工作總量，乙的工作總量=1- 甲乙一起3天做的工作量。甲和乙3天的工作總量：工作效率X工作時間=工作總量（- + -）x3, 9 6剩下：11、C 11 ）x3 =-9 66r乙完成剩下的工作時間：利用工作總量+工作效率=工作時間-S- = 1（天） 6 6練習一1、一項工程，甲隊單獨做24天完成，乙隊單獨做16天完成。甲、乙兩隊 合做，多少天可以完成（適于六年級程度）解：把這項工程的工作總量看

11、作1。甲隊單獨做24天完成，做1天完成這項工程的乙隊單獨做16天完成，做1天完成這項工程的士。甲、乙2416兩隊合做1天，完成這項工程的之二）二。工作息8:1中包含多少個；24 16 4X4X甲、乙兩隊合做完成這項工程就需要多少天。1245=1 十 483 千=”（天）答略。2、一項工程，由甲工程隊修建需要20天，山乙工程隊修建需要30天。甲、乙兩隊合做多少天能完成全工程的97（適于六年級程度）解：把這項工程的工作總量看作1，山中工程隊修建需要20天，知甲工鄙一天完成這項工程的J ;由乙工程隊修建需要30天，知乙工程隊一天完 乙V蟋項工程的,甲、乙兩個工程隊共同修建一天，完成這項工程的 w31

12、 13評含有多少個弓+之，甲、乙合作完成這項工程的彳就需要多少天。乙2 U311一 + C ）4 120 獷3.3+2=廠53 1=-T 一4 12=9（天）3、一項工程，甲、乙合做5天可以完成，甲單獨做15天可以完成。乙單獨 做多少天可以完成（適于六年級程度）解：把這項工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合做一天完成這項工程的g。甲單獨做15天可以完成，甲做一天完成這項工程 的從甲、乙的工作效率之和（減去甲的工作效率，可求出乙的工作 效率;-。工作總量1中包含多少個乙的工作效率，乙單獨做這項工程就需要多長的時間。二115=（天）答：乙單獨做天可以完成。例：一件工作，甲做9天可以

13、完成，乙做6天可以完成?，F(xiàn)在甲先做了3天, 余下的工作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作解一：把這件工作看作1,甲每天可完成這件工作的九分之一，做3天完成的 以乙每天可完成這件工作的六分之一，（1-g）+優(yōu)=4 （天）答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天 完成3份.乙完成余下工作所需時間是（18-2x3） +3=4 （天）.解三：甲與乙的工作效率之比是6 ： 9=2 ： 3.中做了3天，相當于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4 （天）.練習二1、一項工程，甲獨做需15天，乙獨做需12天，現(xiàn)在甲乙合作若干

14、天后，乙再 接著做3天，就完成了全部工程，問甲乙合作了多少天2、一項工程，甲隊單獨做需20天完成，如果甲乙合作12天可以完成，如果乙 隊單獨做，多少天可以完成例：一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了, 由乙繼續(xù)做了 40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天)解：共做了6天后，原來，甲做24天，乙做24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40= (24+16)天.這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率如果乙獨做，所需時間是50天如果甲獨做，所需時間是75天答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天.練習三1、甲乙兩人合作生產(chǎn)一批零件，6天

15、可以完成任務，甲先做5天，因有事外出, 這時只完成任務的/，如果接下來由乙完成，還需要多少天2、一批零件，先由20人生產(chǎn)了 10天完成任務的，余下的工程要提前10天完 成，還要增加多少人3、甲乙二人合作一批零件需20天，甲比乙多做了這批零件的抽，中單獨做需 多少天完成4、一項工程，甲乙兩隊需10天完成，甲乙兩隊合作了幾天，因乙隊有事調離, 由中隊乂干了 8天，乂知甲隊獨做需20天完成，問甲、乙兩隊合干了多少天例：一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在兩隊合作, 其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工 共用了多少天時間解一：甲隊單獨做8天，乙

16、隊單獨做2天，共完成工作量余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11 （天）.答：從開始到完工共用了 11天.解二：設全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在中隊單獨做8 天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊合作（30-3x8-1x2） -? （3+1） = 1 （天）.解三：甲隊做1天相當于乙隊做3天.在甲隊單獨做8天后，還余下（甲隊）10-8= 2 （天）工作量.相當于乙隊要 做2x3=6 （天）.乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）6-2=4 （天）工作量.4=3+1,其中3天可由中隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天.解四：方法：分休合想（題中說甲乙兩隊沒有在一

17、起休息，我們就假設他們 在一起休息.）甲隊每天工作量為1/10,乙為1/30,因為甲休息了2天，而乙休息 了8天，因為82,所以我們假設甲休息兩天時，乙也在休息。那么甲開始工作時, 乙還要休息：8-2=6(天)那么這6天內中獨自完成了這項工程的1/10x6=6/10,剩下 的工作量為1-910=4/10,而這剩下的W10為甲乙兩人一起合作完成的工程量，所 以，工程量的4/10需要甲乙合作：10)X1/10+e0)=3天。所以從開始到完工共 需：8+3=11(天)例：一項工程，中隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊 一起做，其間中隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用

18、了 16天.問乙 隊休息了多少天 解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是 (14-20)X16+ (1+30) x16=4/3由于兩隊休息期間未做的工作量是43-1=1/3乙隊休息期間未做的工作量是-1/20x3=110乙隊休息的天數(shù)是1優(yōu)0:(10)=11/2答：乙隊休息了5天半.解二：設全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩隊休息期間未做的工作量是(3+2) X16- 60= 20 (份).因此乙休息天數(shù)是(20- 3 x 3) 4-2=(天).解三：甲隊做2天，相當于乙隊做3天.甲隊休息3天，相當于乙隊休息天.如果中隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當于

19、乙隊6天工作量，乙 休息天數(shù)是=(天).練習四1、一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在兩隊合作, 其間中隊休息了 2天，乙隊休息了 8天(不存在兩隊同一天休息).問開始到完 工共用了多少天時間2、加工一批零件，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成，現(xiàn)在兩人合作完 成，中間甲休息了天，乙休息了若干天（兩人沒有同事休息一天），這樣共用14 天完工，問乙休息了多少天3、一件工作，甲單獨做需要12天完成，乙單獨做需要10天完成，現(xiàn)在中乙合 作8天完成任務，已知這段時間甲休息了 2天看，那么乙休息了多少天4、一項工程，甲單獨做需要12天完成，乙單獨做需要8天完成，現(xiàn)在兩人合作,

20、中途休息了 2天，乙沒有休息，完成這件工程共用了多少天例題5 一項工程，甲、乙兩隊合作15天完成，若甲隊做5天，乙隊做3天, 只能完成工程的，乙隊單獨完成全部工程需要兒天1【思路導航】此題已知甲、乙兩隊的工作效率和是.，只要求出甲隊貨乙隊的 JL J工作效率，則問題可解，然而這正是本題的難點，用“組合法”將中隊獨做5天，乙隊獨做3天，組合成甲、乙兩隊合作了 3天后，甲隊獨做2天來考慮，就711可以求出甲隊2天的工作量布-X3=,從而求出中隊的工作效率。所 OJQU以/171【行-（而一記 X3） + （5-3） =20 （天） L JDU JL J答：乙隊單獨完成全部工程需要20天。練習五1、

21、師、徒二人合做一批零件，12天可以完成。師傅先做了 3天，因事外出， 由徒弟接著做1天，共完成任務的方。如果這批零件由師傅單獨做，多少 天可以完成2、某項工程，甲、乙合做1天完成全部工程的焉o如果這項工程由甲隊獨做2天，再由乙隊獨做3天，能完成全部工程的H o甲、乙兩隊單獨完成這 項工程各需多少天3、甲、乙兩隊合做，20天可完成一項工程。先由甲隊獨做8天，再由乙隊獨Q做12天，還剩這項工程的左o中、乙兩隊獨做各需幾天完成例題6一項工程，甲隊獨做12天可以完成。甲隊先做了 3天，再由乙隊做2天，則能完成這項工程的o現(xiàn)在甲、乙兩隊合做若干天后，再由乙隊單獨做。做完 后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等。求兩段一

22、共用了幾天【思路導航】此題很容易先求乙隊的工作效率是：J 一X3）；再由Z 1Zo條件“做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等”的題意，可組合成由兩個乙 隊和一個甲隊合做需若干天完成，即可求出相等的時間。（1）乙隊每天完成這項工程的1 1 1（2 -12 乂3）+2食（2）兩段時間一共是14-X2+7 ） X2 = 6 （天）o 1Z答：兩段時間一共是6天。練習六1、一項工程，甲隊獨做15天完成。若甲隊先做5天，乙隊再做4天能完成這O項工程的正O現(xiàn)由甲、乙兩隊合做若干天后，再由乙隊單獨做。做完后發(fā) 現(xiàn)，兩段時間相等。這兩段時間一共是幾天2、一項工程，甲、乙合做8天完成。如果先讓甲獨做6天，再由乙獨做，完成

23、 任務時發(fā)現(xiàn)乙比甲多了 3天。乙獨做這項工程要幾天完成3、某工作，甲單獨做要12天，乙單獨做要18天，丙單獨做要24天。這件工 作先由甲做了若干天，再由乙接著做；乙做的天數(shù)是甲3倍，再由內接著做, 丙做的天數(shù)是乙的2倍。終于完成了這一工作。問總共用了多少天（二）、多人的工程問題例1. 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、 丙兩人合作要60天完成，問甲一人獨做需要多少天完成z 111、c1解:答:【解析】(+ + ) + 2 =36 45 60301-(-) = 90 (天)30 451-)=60 (天)30 601-(-) = 180 (天)30 36獨做完成，甲

24、需90天，乙需60天，丙需180天。此題有別與以上3題，是要對工作效率更深刻的理解，尋找數(shù)學量之間的關 系。1、有一項工程，甲隊獨做需8天，乙隊獨做需10天，丙隊獨做需20天，現(xiàn)在 由丙隊先獨做9天后，再由甲乙合作，問再需多少天可以完成2、一項工程，甲乙兩人合作8天完成，乙丙兩人合作9天完成，中丙兩人合作18天完成，如果丙一人來做，完成這項工程需要多少天3、一項工程，甲乙兩人合作8天完成，乙丙兩人合作6天完成，丙丁兩人合作12天完成，那么甲丁兩人合作多少天可以完成4、一項工程，中乙兩人合作6天完成，乙丙兩人合作9天完成，中丙兩人合 作15天完成，現(xiàn)在甲乙丙三人合作需多少天5、生產(chǎn)一批零件，甲乙

25、兩人合作12小時完成，乙丙兩人合作15小時完成，甲 丙兩人合作20小時完成，現(xiàn)在甲乙丙三人合作需多少小時6、某工程如果由甲乙丙合作18天完成，有乙丙丁隊合作15天完成，山甲乙丁 隊合作12天完成，有甲丙丁隊合作20天完成，山中隊單獨做需要多少天完成例題2。一項工作，甲、乙、丙3人合做6小時可以完成。如果甲工作6小時后，乙、 丙合做2小時，可以完成這項工作的（ ;如果甲、乙合做3小時后，丙做6小時, 也可以完成這項工作的| O如果由中、丙合做，需幾小時完成【思路導航】將條件“甲工作6小時后，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作 的1”組合成“甲工作4小時，甲、乙、丙合做2小時可以完成這 2項工作的

26、 ”，則求出甲的工作效率。同理，運用“組合法”再求 出丙的工作效率。甲每小時完成這項工程的兒分之兒2 11（T - X2） r （6 2）D o12內每小時完成這項工程的幾分之幾2 11（Z 7 X3） -r （6 3）D olo甲、丙合做需完成的時間為：1 111+ （T? +狼）=7三（小時）1Z loD1答：甲、丙合做完成需要小時。練習二1、 ？2、 一項工作，甲、乙、丙三人合做，4小時可以完成。如果甲做4小時后，乙、13丙合做2小時，可以完成這項工作的石；如果甲、乙合做2小時后，丙再 lo做4小時，可以完成這項工作的共o這項工作如果由甲、丙合做需幾小時 1O完成3、 一項工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成?，F(xiàn)在先 由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天則可以完成。乙獨做這項工 程要兒天就可以完成4、 一項工程，甲、乙兩隊合做10天完成，乙、丙兩隊合做8天完成?，F(xiàn)在甲、 乙、丙三隊合做4天后，余下的工程由乙隊獨做5；天完成。乙隊單獨做這 項工程需多少天可以完成5、 一件工作，甲、乙合做4小時完成，乙、丙合做5小時完成?，F(xiàn)在由