【人教版】八年級(jí)下數(shù)學(xué)《勾股定理》單元訓(xùn)練(含答案)

1、勾股定理專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1.巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)名師點(diǎn)金：求最短距離的問題，第一種是通過計(jì)算比較解最短問題；第二種是平面圖形， 將分散的條件通過幾何變換（平移或軸對(duì)稱）進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決； 第三種是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩 點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程 （距離）.用計(jì)算法求平面中最短問題1 .如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人從 A走到B,為了避免拐角C 走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1 m）,卻踩傷了花草.2 .小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計(jì)了如下問題：如圖，以

2、往 從黃石A坐客車到武昌客運(yùn)站B,現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃城際列車”到武漢 青山站C,再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站 B.設(shè)A氏80 km, BO20 km, /ABC= 120° .請(qǐng)你幫助小明解決以下問題：求A, C之間的距離.（參考數(shù)據(jù)表1=4.6）（2）若客車的平均速度是60 km/h,市內(nèi)的公共汽車的平均速度為 40 kmfh, “武黃城際列車”的平均速度為180 kmfh,為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站， 小明應(yīng)選擇哪種乘車方案？請(qǐng)說明理由.（不計(jì)候車時(shí)間）（第2題）用平移法求平面中最短問題3 .如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是 50 cm 30

3、cm, 10cm, A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只壁虎，它想到B點(diǎn)去 吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只壁虎從 A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，至少 需爬（）A. 13 cm B. 40 cm C. 130 cm D. 169 cm（第3題）（第4題）4 .如圖，已知/ B= /C= /D= / E= 90° ,且 AB= C53, BO4, D±EF =2,則AF的長(zhǎng)是.用對(duì)稱法求平面中最短問題5 .如圖，在正方形 ABCm，AB邊上有一點(diǎn)E, AE= 3, EB= 1,在AC上有點(diǎn)P,使EN BP最短，求EP+ BP的最短長(zhǎng)度.（第5題）6 .高速公路的同一側(cè)

4、有 A、B兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線 MN 的距離分別為AA' = 2 km, BB' = 4 km, A B' = 8 km要在高速公路上A、B' 之間建一個(gè)出口 P,使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.求這個(gè)最短距離.BM *H K（第6題）用展開法求立體圖形中最短問題類型1圓柱中的最短問題(第7題)7 .如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為 ,高為2, AB, CD分別是兩底面的 冗直徑.若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線 的長(zhǎng)度是(結(jié)果保留根號(hào)).類型2圓錐中的最短問題8 .已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：(1)此圖形

5、的名稱為 .(2)請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體， 并把它沿AS剪開，鋪在桌面上，則 它的側(cè)面展開圖是一個(gè).(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食 品，但它又不能直接沿 AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè) 面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長(zhǎng)為10,側(cè)面展開圖的圓心角為90° ,請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短 路程.(第8題)類型3正方體中的最短問題9 .如圖，一個(gè)正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只 螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角 G處.(1)請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能

6、路徑；(2)當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為4時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng).（第9題）類型4長(zhǎng)方體中的最短問題10 .如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是 12 cm, 8 cm, 30 cm,在AB的 中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲從E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲爬行的 最短路程.（第10題）專訓(xùn)2.巧用勾股定理解折疊問題名師點(diǎn)金：折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個(gè)圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊問題就是巧用軸對(duì)稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律.利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：（1）運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；（2） 在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x,將此直

7、角三角 形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來；（3）利用勾股定理列方程求出x; （4）進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題.巧用全等法求折疊中線段的長(zhǎng)1 .（中考 泰安）如圖是一直角三角形紙片，/ A= 30° , BO4cm,將其折 疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C'處，折痕為BD,如圖，再將圖沿DE折疊， 使點(diǎn)A落在DC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A處，如圖，則折痕DE的長(zhǎng)為（）(第1題)8A. - cm B. 2 ：3 cm 3C. 2 12 cm D. 3 cm巧用對(duì)稱法求折疊中圖形的面積2 .如圖所示，將長(zhǎng)方形 ABCD&直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，BC 交 AD 于 E, A

8、D= 8, AB= 4,求 ABED的面積.(第2題)巧用方程思想求折疊中線段的長(zhǎng)3 .如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCDt, E是邊CD的中點(diǎn)，將 ADE沿AE 對(duì)折至 AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G連接AG.(1)求證： AB(G AAFCG(2)求BG的長(zhǎng).(第3題)巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4 .如圖，將長(zhǎng)方形ABCD&直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD 于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接CE.(1)求證：AE= AF= CE= CF;設(shè)A已a(bǔ), EA b, DOc,請(qǐng)寫出一個(gè)a, b, c三者之間的數(shù)量關(guān)系式.（第4題）專訓(xùn)3.利用勾股定理解題的7種常見題型名師點(diǎn)金：勾股定理

9、建立起了 “數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，應(yīng)用勾股定理可以解與直角 三角形有關(guān)的計(jì)算問題，證明含有平方關(guān)系的幾何問題，作長(zhǎng)為F（n為正整數(shù)） 的線段，解決實(shí)際應(yīng)用問題及專訓(xùn)一、專訓(xùn)二中的最短問題、折疊問題等，在解決過程中往往利用勾股定理列方程（組），有時(shí)需要通過作輔助線來構(gòu)造直角三角 形，化斜為直來解決問題.利用勾股定理求線段長(zhǎng)1.如圖所示，在等腰直角三角形 ABC中，/ABC= 90° ,點(diǎn)D為AC邊的中 點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE!DF,交AB于E,交BC于F,若AE= 4, FO3,求EF的長(zhǎng).（第1題）利用勾股定理作長(zhǎng)為,'n的線段2 .已知線段a,作長(zhǎng)為小a的線段時(shí)，只要分別以長(zhǎng)為

10、和的線段為直角邊 作直角三角形，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)就為 53a.利用勾股定理證明線段相等3 .如圖，在四邊形 ABFCt, /AB諼90° , CDLAR AD= 2ABCD.求證: AB= BC.（第3題）利用勾股定理證明線段之間的平方關(guān)系4 .如圖，/ C= 90° , AMM= CM MP31AB于點(diǎn) P. 求證：bP= bC+a#.（第4題）利用勾股定理解非直角三角形問題5 .如圖，在 ABC中，Z C= 60° , AB= 14, AC= 10.求 BC的長(zhǎng).（第5題）利用勾股定理解實(shí)際生活中的應(yīng)用6 .在某段限速公路BC上（公路視為直線），交通管

11、理部門規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過60 km/h即50 m/s ,并在離該公路100 m處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn) 3A.在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A位于y軸上，測(cè)速路段BC在x軸上，點(diǎn)B 在點(diǎn)A的北偏西600方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東450方向上.另外一條公路 在y軸上，AO為其中的一段.（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）一輛汽車從點(diǎn)B勻速行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間是15 s,通過計(jì)算，判斷該 汽車在這段限速路上是否超速.（參考數(shù)據(jù)：43=1.7）（第6題）利用勾股定理探究動(dòng)點(diǎn)問題7 .如圖，在 RtzXABC中，/ AC氏90° , AB= 5cm, AO3 cm,動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線

12、BC以1 cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求BC邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)ABP%直角三角形時(shí)，借助圖求t的值；(3)當(dāng)ABP%等腰三角形時(shí)，借助圖求t的值.答案專訓(xùn)11. 4(第2題)2.解：(1)如圖，過點(diǎn)C作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.ABC= 120° , .BCE= 300 .在 RtzXCBE中，v BO20 km, .BE= 10 km由勾股定理可得C已10 3 km在 RtzXACE中，. AC= AF+CU= (AB+BE)2 + CE=8 100 + 300= 8 400, .AO20721 = 20X4.6 =92(km).801(2)選擇乘 武黃城際

13、列車.理由如下：乘客車需時(shí)間 3 =際=1虱h(huán)),乘603 92 201“武黃城際列車”需時(shí)間12=癡+茄=190(h).3J3 90'選擇乘“武黃城際列車”.（第3題）3 . C點(diǎn)撥：將臺(tái)階面展開，連接AR如圖，線段AB即為壁虎所爬的最短 路線.因?yàn)?BC= 30X3+ 10X 3=120（cm）, AO 50 cm,在 RtzXABC中，根據(jù)勾 股定理，得AB2 = AC+BC=16 900,所以AB= 130 cm所以壁虎至少爬行130 cm4 . 105 .解：如圖，連接BD交AC于O,連接Eg AC交于點(diǎn)P,連接BP.（第5題）易知BDLAC,且B氏OD ；BP= PR則BP

14、+ EP= ED,止匕時(shí)最短.AE= 3, AD= 1 + 3 = 4,由勾股定理得ED=AU + AD= 32 + 42= 25 = 52,ED= BP+ EP= 5.6 .解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于MNH勺對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC交MNT點(diǎn)P,則點(diǎn)P即 為所建的出口.止匕時(shí)A、B兩城鎮(zhèn)到出口 P的距離之和最小，最短距離為AC的長(zhǎng).作 AD±BB'于點(diǎn) D,在 RtAADOt, AD= A B' = 8 km, DO6 km .AO .aD+dC = 10 km這個(gè)最短距離為10 kmBjL：”m _d-.Jc（第6題）7 . 2啦點(diǎn)撥：將圓柱體的側(cè)面沿AD剪開并鋪平得長(zhǎng)方形A

15、A' D D,連接 AC,如圖.線段AC就是小蟲爬行的最短路線.根據(jù)題意得 A況2x2兀X1 = 2.冗2在 RtABC中，由勾股定理，得 AC = AE2+BC = 22+ 22=8, - AO<8 = 2V2.B(第7題)8 .解：(1)圓錐(2)扇形(3)把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，AC為蝸牛爬行的最短路線.(4)在 RtzXASC中，由勾股定理，得 AC= 102+52= 125, ： AC=小元=5/5.故蝸牛爬行的最短路程為5 .15.9 .解：(1)螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC i和AC.(2)如圖，AC 1 =寸42+ (4+ 4) 2 =

16、475.AC=' (4 + 4) 2+42 = 4，5.所以螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng)是 4、/5.10 .解：分為三種情況：如圖，連接EG，一1在 RtzXEBC中,EB= 12+8 = 20(cm), BOX30= 15(cm).由勾股定理，得 EO 202+ 152 = 25(cm).如圖，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求 CE= '673 cm>25 cm如圖，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求 CE= 122+ (30+8+ 15) 2 =72 953( cm)>25 cm綜上可知，小蟲爬彳T的最短路程是 25 cm(第10題)專訓(xùn)21 . A2 .解：由題意易知A

17、D/ BG./2=/3.BC D與ABC皿于直線BD對(duì)稱， / 1 = /2. ./ 1 = /3. .EB= ED.設(shè) EB= x,則 ED= x, AE= AD- ED= 8-x.在 RtABE中,A百+ A)= BU, .42+ (8 x)2 = x2. . .x = 5.1 1. .D5. .&be-DE- AB=-X5X4=10.2 2解題策略：解決此題的關(guān)鍵是證得 EAEB,然后在RtzXABE中，由B= = A戌 + AU,利用勾股定理列出方程即可求解.3. (1)證明：在正方形 ABCLfr, AAAB, / D= / B=90° .將 ADB& AE

18、對(duì)折至 AFE.AD= AF, DE= EF, / D= / AFE= 90° .AB= AF, / B= /AF& 90° .又A氏 AGRtAABG RtAAFGfHL).(2)解：. AB®AAFCGBG= FG.設(shè) B氏FG= x, WJ GC= 6-x,.E為CD的中點(diǎn),.CE= DE= EF= 3,EG= 3 + x.在 RtCEG, 32+ (6x)2=(3+x)2,解得 x=2.BG= 2.4. (1)證明：由題意知，AF= CF, A已CE, / AFE= / CFE又四邊形 ABCD 是長(zhǎng)方形，故AD/ BG丁. / AE已 / CFE

19、.； / AFE= / AEF. .AE= AF= EO CF.(2)解：由題意知，AE= EO a, ED= b, DO c,由 / D= 90° 知，eD+dC =cE,即 b2+ c2 = a2.專訓(xùn)I 3（第1題）1.解：如圖，連接BD.二.等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，BD± AC BD分/ABC腰三角形三線合一），. / AB氏/ CB氏45° , 又易知/ C= 45° , /AB氏 /CB氏 / C.BD= CD. Dn DF, BDLAG丁. / FDO / BD曰 / ED拼 / BDF. ./ FDC= /EDB.在

20、AEDEIf 4FDC 中，/ EB氏 / C,BD= CDZEDB= / FDC. .ED挈FDCASA, .BE= FO 3. .AB= 7, WJ BO 7. . . BF= 4.在 RtzXEBF中，E=bU+B盧=32 + 42 = 25, .EF= 5.2 . 2a； 3a3 .證明：.CDLAR./ADC= 90° ,即ADO直角三角形.由勾股定理，得aG+cD= aC.又 ; AD= 2AE2-CD,.AE2+ CD=2A百.AC= 2AE2./ABC=90° ,.ABC是直角三角形.由勾股定理，得Ae+BC= AC,.一+ BC = 2AE2, 故 BC=

21、A百，即 AB= BC.方法總結(jié)：當(dāng)已知條件中有線段的平方關(guān)系時(shí)， 應(yīng)選擇用勾股定理證明，應(yīng)用勾股定理證明兩條線段相等的一般步驟： 找出圖中證明結(jié)論所要用到的直角 三角形；根據(jù)勾股定理寫出三邊長(zhǎng)的平方關(guān)系；聯(lián)系已知，等量代換，求之 即可.（第4題）4 .證明：如圖，連接BM. PML AB,.BMPf口 AMP勻?yàn)橹苯侨切? .B& pM = bM, aP+pM= aM.同理可得bC+cM= bM. .bP+ pM = bC+cM.又 = CM= AM .CM= aM=aP+pM. .bP+ pM = bC+aP+pM. .bF= bC+aP.（第5題）5.思路導(dǎo)引：過點(diǎn)A作AD，B

22、C于D,圖中出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形一一 RtAACD 和RtAABD這兩個(gè)直角三角形有一條公共邊 AD,借助這條公共邊可建立起兩個(gè) 直角三角形之間的聯(lián)系解：如圖，過點(diǎn)A作ADL BC于點(diǎn)D. ./ADC= 90° .又C= 60° ,ii1 /CA氏 90 / C= 30 , . CD= 2Ao 5. 在 RtACD中，AD=，ACCD川102 52= 573. 在 RtABD中，BD=辦AD =11. .BO BN C5 11 + 5=16.方法總結(jié)：利用勾股定理求非直角三角形中線段的長(zhǎng)的方法： 作三角形一邊 上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合條件，采用推理 或列方程的方法解決問題.6.思路導(dǎo)引:(1)要求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo),只要分別求出O壞口 OC勺長(zhǎng)即可.(2)由(1)可知BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而利