勾股定理種證明方法

1、勾股定理的證明【證法11 （課本的證明）做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 a、b,斜邊長(zhǎng)為c,再做 三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是 a + b ,所以面積相等.即2, 2,1 ,2,1 ,C2ab4 abe4 ab2222,整理得a2 b2【證法2】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積 一 lab 一 一 等于2 .把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀， 使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、 C三點(diǎn)在一條直線上，C G D三點(diǎn)在一條直線上.c的 Rt

2、AHAE 里 Rt AEBF, /AHE = /BEF: /AEH + /AHE = 90o, /AEH + /BEF = 90o. . /HEF = 180o90o= 90o. 四邊形EFGH一個(gè)邊長(zhǎng)為 正方形.它的面積等于C2. Rt GDH Rt HAE, /HGD = /EHA: /HGD + /GHD = 90o, /EHA + /GHD = 900又 /GHE = 900,. /DHA = 900+ 900= 1800. ABC混一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b,2的正方形，它的面積等于a b以c為斜2.2a bh 212a b 4 -ab c2.【證法3（趙爽證明） 以a、b為直角邊（b&g

3、t;a）邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角./生一< -1ab , 、e人+1三角形的面積等于2 .把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀. Rt ADAH 里 Rt A ABE, /HDA = /EAB / HAD + / HAD = 900,/ EAB + / HAD = 900,ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2.EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 900. EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為ba的正方形，它的面積等于 b a,1 .224 -ab b a c.2.2,22.a b c .【證法4】（1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊

4、，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于2 .把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上. Rt AEAD 里 Rt ACBE, /ADE = /BEC: /AED + /ADE = 90o, /AED + /BEC = 90o. . /DEC = 180o 90o= 90o. . ADE奧一個(gè)等腰直角三角形， 1 2 它的面積等于2c .又,: /DAE = 90o, /EBC = 90o, AD/ BC1 a1-a . 2.a2b25】 ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于 2211 22 ab c222c.a、b ,斜邊長(zhǎng)為c.把它 過(guò)C作AC

5、的延長(zhǎng)線交DF于（梅文鼎證明）做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使 D E、F在一條直線上. 占P . D、E、F 在一條直線上，且 Rt AGEF 二 Rt EBD,/EGF = / BEDFbZaPba/EGF + /GEF = 90 , /BED + / GEF = 90 , /BEG =180o- 90o= 90o.AB = BE = EG = GA = c , nGABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形./ABC + /CBE = 90o.Rt ABC 里 Rt AEBD, c /ABC = /EBD/ EBD + / CBE = 90o./ C

6、BD= 900又 /BDE = 900, /BCP = 900,BC = BD = a . BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理，HPFG1：一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCB的面積為S,則2-1c S 2 ab2 ,2.22. a b c .【證法6】（項(xiàng)明達(dá)證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 a、b （b>a）,斜邊長(zhǎng)為 c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使 E、A、C三點(diǎn)在一條 直線上.EccacAPbb/a過(guò)點(diǎn)Q作QP/ BQ交AC于點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)B作BML PQ垂足為M 再過(guò)點(diǎn)F作FNL PQ垂足為N: /BCA = 90o, QP

7、/BQ. /MPC = 900,; BMI± PQ. /BMP = 90o,. BCPM是一個(gè)矩形，即/ MBC = 9: /QBM + /MBA = /QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o,/QBM = /ABC又 /BMP = 90o, / BCA = 90o, BQ = BA = c, Rt BMQ& Rt BCA同理可證 Rt AQNF 二 Rt AAEF從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）【證法7（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使D L c E在一條直線上，連結(jié)BR CD 過(guò) C作

8、 CU DE交AB于點(diǎn)M交DE于點(diǎn)L.; AF = AC , AB = AD, /FAB = / GAD A FAB 二 A GAQ12a FAB的面積等于2 GAD勺面積等于矩形ADLM 的面積的一半，同理可證，矩形 MLEB勺面積=b2.矩形ADLM勺面積=a2 正方形ADEB勺面積=矩形ADLM勺面積+矩形MLEB勺面積.c2 a2 b2 ,即 a2 b2 c2.【證法8】（利M相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊AG BC的長(zhǎng)度分別為a、b,斜邊AB的長(zhǎng)為c,過(guò)點(diǎn)C作CDL AR垂足是D 在 ADC和 ACB中， : /ADC = /ACB = 90o, / CAD =

9、 / BAC AADC s AACB AD： AC = AC : AB,即 AC2 AD ? AB .同理可證， CDB s AACB從而有 BC2 BD?AB.AC2 BC2 AD DB ? AB AB2,即 a2 b2 c2.【證法9（楊作玫證明）a、b (b>a),斜邊長(zhǎng)為c.過(guò) A 作 AF，AG AF 交 GT做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形 于F, AF交DT于R 過(guò)B作BP，AF,垂足為P,過(guò)D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為 E, DE交 AF于 H: /BAD = 90o, / PAC = 90o,

10、/ DAH = / BAC又,: /DHA = 90o, /BCA = 90o, AD = AB = c , Rt DHA 二 Rt BCA . DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一個(gè)矩形, 所以 Rt APB 二 Rt A BCA 即 PB = CA = b, AP= a,從而 PH = b a. Rt DGT 里 Rt BCA , Rt DHA 里 Rt BCA Rt DGT 里 Rt DHA.DH = DG = a , / GDT = / HDA.又 /DGT = 90o, /DHF = 90o,/GDH = / GDT + / TDH = / H

11、DA+ / TDH = 90o, . DGF偎一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形. . GF = FH = a . TF±AF, TF = GT GF = ba . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）2c Si S2 S3 S4 S5TF=b a,下底 BP= b,高 FP=a + （b a）.,則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為S8S3S4-b b a ? a b a 2b2 1 ab2S5S8S9S3S4把代入, =b2 S2a2 b2b3 abs8 = b2 Si S8得S9 = b2 a2.2c .【證法I0（李銳證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為 a、b（b>a）

12、,斜邊的長(zhǎng)為c,做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、 b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 A E、G三點(diǎn)在一條直線上,用數(shù)字表示 面積的編號(hào)（如圖）,: /TBE = / ABH = 900 /TBH = /ABE又 /BTH = / BEA = 900 BT = BE = b , Rt AHBT 二 Rt A ABE. HT = AE = a . GH = GTHT = ba.又 /GHF + /BHT = 900,/ DBC + / BHT = / TBH +. /GHF = /DBC; DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 900, Rt A HGF 二 Rt A B

13、DC 即 & S2.過(guò) Q作 QMLAG 垂足是 M 由/BAQ = /BEA = 900,可知 /ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c ,所以 Rt A ABE 二 Rt A QAM,又 RtAHBT 二 RtA ABE 所以 RtAHBT 二 Rt A QAM,即 7 S5.由 Rt A ABE 二 Rt A QAM 又得 QM = AE = a, / AQM = /BAE又/ AQM + / FQM = 90(0, / BAE + / CAR = 90o, / FQM = / CAR/QMF = /ARC = 900, QM = AR = a, Rt QMF二 Rt

14、ARC 即 “ & ./AQM = /BAESiS2S3S4又S72 aS2 b2S8S5SiS6S4S3S5a2SiS7 S8S6b2S3s7S8【證法b211】=Si=c22cS4S3S2 S5（利用切割線定理證明）在RtAABC4設(shè)直角邊BC = a,AC = b,斜邊AB = c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線分別于 D E,則BD = BE = BC = a.因?yàn)? BCA = 90o, 點(diǎn)C在。B上，所以AC是OB的切線.由切割線定理，得一 AB BE ABBD=c2即 b2 c2a2 b2【證法12】a22a ,2c .（利用多列米定理證明）'

15、CbEBD A在RtAABCt設(shè)直角邊BC= a, ACb斜邊AB = c （如圖）.過(guò)點(diǎn)A作AD/ CR過(guò)點(diǎn)B作BD/ CA則ACB曲矩形，矩形ACBD3接于一個(gè)圓.根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有AB?DC AD?BC AC?BD,; AB = DC = c , AD = BC = a ,AC = BD = b ,AB2 BC2 AC2,即 c2 a2 b2 ,.222.a b c .【證法13（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在RtAABC4設(shè)直角邊 BC = a, AC = b,斜邊AB = c.作RtAABC勺內(nèi)切圓。O,切點(diǎn)分別為D E、F （如圖），設(shè)。的

16、半徑為r.; AE = AF , BF = BD, CD = CE, AC BC AB AE CE BD CD AF BFb cb 2rb 22, c.2rS ABC2abb2 2ab1ab 24S ABC又S ABCCECD = r + r = 2r,2c4 r2rc1br 1 a b c r 2=24 r24 r2 a2rcrcb2AOB12r24sS BOCS AOC1 -cr 21一 ar2r2rcABC2ab2ab 2abc222c2a b c【證法14（利用反證法證明）AG BC的長(zhǎng)度分別為a、b,斜邊AB的長(zhǎng)為c,過(guò)如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊 點(diǎn)C作CDL AR垂足是D假設(shè)

17、a2 b2 c2,即假設(shè)AC2 BC2 AB2,則由AB2 AB?AB = abad 可知 AC2 AB?AD ,或者 BC2BD =AB?AD AB?BDAB?BD .即 AD: AO AC AB,或者 BD: BO BC AB在 ADCRI ACB 中，: /A = /A,若 AD: AO AC/ AD6 / ACB在 CDEfn ACB中，; ZB = /B,若 BD BO BC/ CD四 / ACB又 /ACB = 90o,AC2 BC2 AB2的假設(shè)不能成立. /AD690o, /CD學(xué)90o.這與作法CD!AB矛盾.所以, 2.22 .a b c .【證法15（辛卜松證明）設(shè)直角三

18、角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為 a、b,斜邊的長(zhǎng)為c.作邊長(zhǎng)是a+b的正方形ABCD把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為b2面積為b2b216】2ab ;把正方形ABC劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形 ABCD勺1 .24 -ab c22= 2ab c ._22ab 2ab c,2 c.（陳杰證明）a、H、M三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)字表E、B5b中FACGp23baac7E b D H a M4c設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b （b>a）,斜邊的長(zhǎng)為c.做兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為 b的正方形（b>a）,把它們拼成如圖所示形狀，使 示面積的編號(hào)（如圖）.在EH = b上截取ED = a ,連結(jié)DA DG則 AD = c .; EM = EH + HM = b + a , ED = a . DM = EM-ED = b a a = b . 又 /CMD = 900, CM = a,/AED = 900, AE = b , Rt AED 二 Rt ADMC/EAD = /MDC DC = AD = c .: /ADE + /ADC+/MDC =180o/ ADE + / MDC = /ADE + / EAD = 90o, . /ADC = 90o.作AB/ DC CB/ DA貝U ABC匿一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. / BAF + /