八種求數(shù)列通項的方法_已知遞推公式_求通項公式

1、相品用。3求數(shù)列通項公式方法歸納、公式法2,求數(shù)列an的通項公式。例1已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3 2n, ai解：an 1 2an 3 2n兩邊除以2n 1 ,得a* 2n 1an 3aanan _ 叫 an 1 a_ nc ) 八-n 1_n2222-,故數(shù)列2是 22114以a1 2 1為首項，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得電 1 (n 1)3,21 222n2 31c所以數(shù)列an的通項公式為an (n )2n。22、累加法1 ,求數(shù)列an的通項公式。例2已知數(shù)列an滿足an 1 an 2n 1, a1解：由 an 1 an2n1 得 an1 an2n 1 則an

2、(anan1)(an1 an 2)L(a3a2)(a2a1)a12(n 1)12( n 2) 1L (2 21) (2 1 1) 12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 1(n 1)n2(n 1) 12(n 1)(n 1) 12 n所以數(shù)列an的通項公式為ann2。an 1例3、在數(shù)列 an中，a13,an1n(n 1) ,求通項公式an.解：原遞推式可化為:11an 1 a nn n 111a2a1一一，則1 211a3 a2 一 一2 3a4a311an an 1 一n 1 n相品用口"-1an a11- an逐項相加得：n .故例4已知數(shù)列an滿足an 1 an3

3、,求數(shù)列an的通項公式。解：由an 1an 2 3n 1 得 an12 3n所以an 3nn 1.例5、已知數(shù)列an滿足an 1 3an 2n )31,ai3,求數(shù)列an的通項公式。解：ann3an 2 3.一 n 11兩邊除以3an3n1an3n3nan3nan3n(32(n3an an?)1)1)1(3 ,1 3n(an 1an 113n 113nan 2) 3n 2,) (313n 1(an 213n 2_±)3n 213n 2L包)31)因此an3n2(n1)3n 1)2n3則an3n3n例6.在數(shù)列中,a10且anan2nan2n2n 32小練:已知an滿足a11an 1a

4、n13323ann(n 1)求3的通項公式。相品用。3已知an的首項 a11 ? an 1 an 2n (n)求通項公式。已知an中，a1 3, an 1 an 2 ,求 an、累乘法類型 an 1 f(n)an型例7已知數(shù)列an滿足an 12(n1)5n an,ai3,求數(shù)列an的通項公式。解:因為 an 12( n 1)5n an,ai3,所以ana0,則 q 2(n 1)5n ,故 anananan1 I a3 a2Laan 1 an 2a2 a12(n 1 1)5" 12(n 22n 1n(n 1) L 3 2 5n (n 1)3 2n 1 5k n!1)5(n 1)所以數(shù)列

5、an的通項公式為an 3例8已知數(shù)列an滿足a1 1, an公式。解：因為 an a1 2a2 3a3 L所以 an 1 a1 2a23a3 L (n用式一式得an 1an nan.(n 1)an(n2)2 L(n 2) L2(22 1 3211) 522(1 1) 51 32na1(nn(n 1)5kn!.2 a2 3a3 L1)an 1(n1)an 1 nan2)(n 1)an i(n 2),求an的通項故苦ann 1(n 2)所以an_a_ a_L l a3 a2 n(n 1) L 4 an 1 an 2a23a2n!2 a2.由 an a1 2a2 3a3 L (ai 1,則a2 1,

6、代入得所以，an的通項公式為an例9.在數(shù)列an中，a11an 1n解：由條件等式 ann 11a1 一 a練習(xí)：1、已知： 3 ,n2、已知an中，an 1 n四、待定系數(shù)法 an 1 can例10已知數(shù)列an滿足an解：設(shè) an 1 x 5n 12(ann 1)an 1(n 2),取n 2#a2_n!an 1 3 4 5 L n 。2n!.2an 1n,ann 1 ,求通項an.anan 1 逛 n 1得，an 1 an 2an2n 11 二7 an 12n 1(n 2)求數(shù)列二 an2 且&2求數(shù)列通項公式。d (c 0,c 1)型1 2an 3 5n, a16 ,求數(shù)列x 5n

7、)a1 2a2,則 a2 a1,又知n 2 1 11二2,得an n.an的通項。an的通項公式。將an12an 35n代入式，得2an 35nx5n 12an 2x5n,等式兩邊消去2an ,得3 5n x 5n 1 2x 5n ,兩邊除以5n ,得3 5x 2x,則x1,代入式得an 1 5n 1 2(an 5n)a5n 1由a1516 5 10及式得an5n0 ,則an1 n 2,則數(shù)列an5n是以an 5a1 51 1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則 an 5n 2n 1 ,故an 2n 1 5n。例11已知數(shù)列an滿足an 1 3an 5 2n 4, a1 1,求數(shù)列an的通項公式。

8、解：設(shè) an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y) 相品用口"-將 an 1 3an 5 2n4代入式，得3an 5 2n 4 x 2n 1y 3(an x 2ny)整理得(5 2x) 2n4 y 3x 2n 3yo令5 2x 3x,則x 5,代入式得4 y 3y y 2an 152n 1 2 3(an5 2n 2)由 a152121 1213 0 及式，n 9n 1得 an 5 2n 2 0 ,則 an1 52rl_2 3,an 5 2n 2n1 一 .一 一故數(shù)列an522是以a15 22112 13為首項，以3為公比的等比數(shù)列,因此 an 52n 2 13 3n1 ,

9、則 an133n15 2n 2。例12已知數(shù)列an滿足an12an3n2 4n 5,a11 ,求數(shù)列an的通項公式。22解：設(shè) an 1 x(n 1) y(n 1) z 2(an xn yn z) 將an1 2an 3n2 4n 5代入式，得-2，,、2,2、2an3n 4n5 x(n 1) y(n1)z 2(an xn ynz),貝U222an(3 x)n(2x y 4)n (xyz 5) 2an 2xn2yn 2z22等式兩邊消去 2an,得(3 x)n (2x y 4) n (x y z 5) 2xn 2yn 2z,3 x 2xx 3解方程組 2x y 4 2y ,則y 10 ,代入式，

10、得x y z 5 2z z 183n2 10n 18)an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an.2由 a1 3 110 1 18 1 31 3220及式，得an 3n 10n 18 02則 a1 1 3(n一2一0(n一)一8 2,故數(shù)列an 3n2 10n 18為以 an 3n2 10n 182a1 3 110 1 18 1 31 32為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此_ 2_n1_n4_ 2_an3n10n 1832 2，則 an2 3n10n 18。例 13.數(shù)列 an 滿足 an 1 2an 1，a1 2,求 an解：設(shè) an1 x 2(ax12a nx,對照原遞推式，

11、便有 x 1.故由an 1an 112an 1, 得 an 1 12(an 1) 即 an 12，得新數(shù)列an1是以a1 1 2 1 1為首項，以2為公比的等比數(shù)歹U。a 1(n=1,2,3)，an 12n 1a2,即通項an2n 11練習(xí)：1、已知an滿足a13, a- 2an 1求通項公式。2、已知an中，a11an3an 12 ( n 2)求 an分析：構(gòu)造輔助數(shù)列,an 1 3(an 1 1),則 an3n 1同類變式1、已知數(shù)列an滿足an12an (2n 1) ，且a1 2,求通項an分析：(待定系數(shù))，構(gòu)造數(shù)列an kn b使其為等比數(shù)列，即 an1 k(n 1) b 2(an

12、kn b),解得 k 2,b 1求得 an 5 2n1 2n 11-,aan an 12n 1/ I2、已知：a11 , n 2時， 2,求an的通項公式。相品用。3an解：設(shè)An B12am A(n 1) B1an 二 an21An 21A 21a2解得:a14an 4n6是以3為首項,2為公比的等比數(shù)列an 4n1 n 13(2)an4n 63、已知數(shù)列an滿足an 13an2 3n1,a13,求數(shù)列an的通項公式。an解：an3a n2 3n 1兩邊除以3n 1an3nan 1o n 1則3an3n13nan,on故3anan1)1a(-aan 2 ) 3n 2an3n 2an 3 )

13、3n 3a1a13132(32(3F)2(32(32(n31)13n13n 2a nn因此32(n 1)3(1 c n3n 1)12 3n3n3n相品用口"-例7已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2an 2n(1) 寫出數(shù)列的前3項a1，a2，a3;(2) 求數(shù)列an的通項公式.解：(1)由 a1S12a12 ,得 a1由 a1 a 2 S22 a 24 得 a26由 a1a2a3S32a3 6 得 a314(2)當(dāng) n2時，有anSnSn 12 anan 12 gp an 2an 1 2令an，則 an 2an 1，與比較得，an是以a1(4)2n4為首項，以2為公比的等比數(shù)列.2

14、",故 an 2n 12引申題目:1、已知an中，a12an12n2 (n2)求 an2、在數(shù)列an中,a11, an 12an4 3n1,求通項公式an解：原遞推式可化為:3、an13n比較系數(shù)得則數(shù)列 an. an4 3n2(an3n 1)=4式即是：an 14 3n2(an 4 3n 1)4 3n 1旱ZE5 2n已知數(shù)列an滿足an 11 1個等比數(shù)列，其首項 a1 4 35 ,公比是2./an 43n15 2n 12an3 2na12 ,求數(shù)列an的通項公式。解. an 1 2an 3on一， .2兩邊除以an 1 a n2n 1 ,得 2n 12nan2n久 曳2 11故

15、數(shù)列2n是以223為首，以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得a34 1 (n 1)22 ,所以數(shù)列an的通項公式為an3n 1)2n224、若數(shù)列的遞推公式為5、若數(shù)列的遞推公式為6、已知數(shù)列an滿足ann 1解：設(shè)an 1 x 5將an 12an,得 3得an 1由a15aianan1 3an 2 3n 1(n丫）,則求這個數(shù)列的通項公式1an1(n¥)則求這個數(shù)列的通項公式2an3 5n,a16 ,求數(shù)列an的通項公式。2(an X5n)2an 35n代入式，得2an3 5n1 2an 2x 5n ,等式兩邊消去nn 1n5 x 5 2x 5 ,兩邊除以5n 12(an

16、 5n)6 5 1 W0及式，得an 5n5na1 51 1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則類型5、取倒數(shù)例8、已知數(shù)列an中，其中a11,且當(dāng)解:an將an 12an 11兩邊取倒數(shù)得:首項是a111 (n公差為2,所以例9、數(shù)列an中，且a1提示an1anan 19no /例 10、2 an 1a1得3 x5 2x,則x=1,代入式,an 1則an5n 15n2 一 ro Ei 一，則數(shù)列an 5 是以nan51ann> 2 時，an1)nn 1 n25,2an 1an 12an1 1這說明求通項公式an。是一個等差數(shù)列,2 2n 1an,即12n 12an2an 1 ,求數(shù)列an的

17、通項公式.an相品用口"-2解：an 12n即bn 1bn2nbn則bi2 1 2n 12n2n2n例11、數(shù)列an中,ananana1求an的通項。2n 1an解：an 12n1anan 1an12n 1bn設(shè)anbn 1bn12n 1bn bn12n練習(xí):bnbn12nbn 1bn12n 1bnb3b2bnb2b1bnbn122b112n 222112212n1、在數(shù)列an中, 類型6、取對數(shù)法a1例12若數(shù)列an中,12n(1)n121212n2n2nan2n2n 11,an 1a1 =3 且解由題意知an >0,將anananan 1,3求an2an （n是正整數(shù)）,則

18、它的通項公式是anlgan 12ici1an兩邊取對數(shù)得lg an 1 2lgan,即lgan相品用。3以數(shù)列1g an是以1g al = lg 3為首項，公比為2的等比設(shè)bnbn i12n練習(xí):bnbnb3b2bnbnbn12nbnbnb2b1bnbnb11_2n 112212n1、在數(shù)列an中,a1五、對數(shù)變換法2n1,an例10已知數(shù)列an滿足an 1解：因為 an 1 2 3n a；,a1常用對數(shù)得1g an 151gan設(shè) 1g an 1x(n 1) y")n112n12n2n2n 1anan求an2 3na1an的通項公式。7 ,所以ann1g3 1g 25(1g anx

19、n y)0,11an 10。在 an 12 3n5 an式兩邊取將式代入 M 式，得 51g ann 1g 3 1g 2 x(n 1) y 5(1g anxn y),兩邊消去51g an并整理,得(lg3x)n xy 1g 2 5xn 5y ,則1g3 x 5xx y 1g2 5y1g3彳1g3 761g24代入61式，得1g an1g34(n 1)1g31g245(1g an13n 1g3 Ig24164由iga1g3 141g3161g241g71g341g3161g240及式,得 1g an1g3161g240,1g an則一1g3 /T(n 1)1g3761g241g an165,所以

20、數(shù)列1g an比數(shù)列，則1gan密4% 41g3161g316孽1g24是以1g 7(1g71g34 1g341g3161g3161g2為首項，以)5n 1,因此5為公比的等1g an(1g 7(1g71g 3411g 341g 3161g(71g(713413413G11g 36124)51g2)5n111g 24)5n1g 3n41g 361g 311g(3 4 316 24)5n1g(73153124)5n 513n 1 1165n1g(75n 4n 13 165n 12n 11g(34 3元5n 1 12.)1j12')則an75n 15n 4n 13 165n 1 12丁。六

21、、迭代法例11已知數(shù)列an滿足an 1 a3(n 1)2n解：因為1g 2411g 316 1g 2a1 5,求數(shù)列an的通項公式。3(n 1) 2n 2 3n 2n 1an 2(n1)n2(n2) (n1)a3(32) 2332(n 1)n2(n 2) (n 1)2)(n1) n / 3) (n 2) (n 1)3n 1 2 3L L (n 2) (n 1)n 21 2 L L (n 3) (n 2) (n 1)科n(n 1)3n 1 n! 2T又a15,所以數(shù)列an的通項公式為an 5n(n 1)3n 1 n!2-2-1o評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式an 1a3(n1)2兩邊取常用對數(shù)得lg an 13(n 1) 2n 1g an,即站1g an3(n 1)2n ,再由