高考數(shù)學(xué)新題型選編（共70個(gè)題）

1、高考數(shù)學(xué)新題型選編（共70個(gè)題）1、（）已知函數(shù)：求函數(shù)的最小值;（）證明:；（）定理:若 均為正數(shù),則有 成立(其中請你構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，證明：當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，解：（）令得2分當(dāng)時(shí)， 故在上遞減當(dāng)故在上遞增所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為.4分（）由，有即故5分（）證明:要證： 只要證： 設(shè)7分則令得.8分當(dāng)時(shí)，故上遞減，類似地可證遞增所以的最小值為10分而=由定理知: 故故 即: .14分2、用類比推理的方法填表 等差數(shù)列中等比數(shù)列中答案：3、10定義一種運(yùn)算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，則n*1等于An Bn+1 Cn -1 D 答案：D4、

2、若為的各位數(shù)字之和，如：，則;記_答案：55、下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面。aaaaaaaaaa（1）請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側(cè)棱垂直于底面？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由；（2）若SA面ABCD，E為AB中點(diǎn)，求二面角E-SC-D的大??；（3）求點(diǎn)D到面SEC的距離。（1）存在一條側(cè)棱垂直于底面（如圖）3分SABCDEFGH證明：且AB、AD是面ABCD內(nèi)的交線SA底面ABCD5分（2）分別取SC、SD的中點(diǎn)G、F，連GE、GF、FA，則GF/EA,GF=EA,AF/EG而由SA面ABCD得SACD，又ADCD，CD面SAD，又SA=

3、AD,F是中點(diǎn)， 面SCD,EG面SCD,面SCD所以二面角E-SC-D的大小為9010分(3)作DHSC于H，面SEC面SCD,DH面SEC,DH之長即為點(diǎn)D到面SEC的距離，12分在RtSCD中，答：點(diǎn)D到面SEC的距離為14分6、一個(gè)計(jì)算裝置有一個(gè)入口A和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口B，將自然數(shù)列中的各數(shù)依次輸入A口，從B口得到輸出的數(shù)列，結(jié)果表明：從A口輸入時(shí)，從B口得；當(dāng)時(shí)，從A口輸入，從B口得到的結(jié)果是將前一結(jié)果先乘以自然數(shù)列中的第個(gè)奇數(shù)，再除以自然數(shù)列中的第個(gè)奇數(shù)。試問：（1） 從A口輸入2和3時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？（2） 從A口輸入100時(shí)，從B口得到什么數(shù)？并說明理由。解（1）

4、（2）先用累乖法得得7、在ABC中，給出ABC滿足的條件，就能得到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程，下表給出了一些條件及方程：條件方程ABC周長為10：ABC面積為10：ABC中，A=90：則滿足條件、的軌跡方程分別為 （用代號、填入）答案：8、已知兩個(gè)函數(shù)和的定義域和值域都是集合1,2,3,其定義如下表. x123f（x） 231x123g（x） 132填寫下列的表格,其三個(gè)數(shù)依次為x123g (f（x）) A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1答案：D9、在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。則函數(shù)的最大值等于（ C ）（“”和“”仍為通常的

5、乘法和減法）A. B. 1C. 6D. 1210、已知，x表示不大于x的最大整數(shù)，如，則_；使成立的x的取值范圍是_ 答案：211、為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)是否在直線上”這個(gè)課題，我們可以分三步進(jìn)行研究： （I）首先選取如下函數(shù)： ， 求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)： 與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1） 與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（1，1） 與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（），（1，0），（0，1） （II）觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論； （III）對得到的結(jié)論進(jìn)行證明。 現(xiàn)在，請你完成（II）和（III）。解：（II）原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)不一定在直線yx上2分

6、 （III）證明：設(shè)點(diǎn)（a，b）是的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn)，由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線yx對稱，則點(diǎn)（b，a）也是的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且有 若ab時(shí)，交點(diǎn)顯然在直線上 若ab且是增函數(shù)時(shí)，有，從而有ba，矛盾；若ba且是增函數(shù)時(shí)，有，從而有ab，矛盾 若ab且是減函數(shù)，有，從而ab成立，此時(shí)交點(diǎn)不在直線yx上；同理，b2時(shí)，W1W2，此時(shí)，把a(bǔ)單位量的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的農(nóng)藥量較少；當(dāng)a=2時(shí)，W1=W2，此時(shí)，兩種清洗方式效果相同；當(dāng)a2時(shí)，W1W2，此時(shí)，把a(bǔ)單位量的水清洗一次，殘留的農(nóng)藥量較少1216、直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如果函

7、數(shù)f(x)的圖象恰好通過k(kN*)個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為k階格點(diǎn)函數(shù)。下列函數(shù)： f(x)=sinx； f(x)=(x1)2+3； ，其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有 . 答案：17、一水池有2個(gè)進(jìn)水口,1個(gè)出水口,一個(gè)口進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示(至少打開一個(gè)水口),給出以下3個(gè)論斷： 進(jìn)水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙（1）0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；（2）3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；（3）4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水。則一定不確定的論斷是 (把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號都填上)。答案：（2）（3）18、已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn. ()若Sm，Sm2，Sm1成

8、等差數(shù)列，證明am，am2，am1成等差數(shù)列； ()寫出()的逆命題，判斷它的真?zhèn)?，并給出證明. 證 () Sm1Smam1，Sm2Smam1am2由已知2Sm2SmSm1， 2(Smam1am2)Sm(Smam1)，am2am1，即數(shù)列an的公比q. am1am，am2am，2am2amam1，am，am2，am1成等差數(shù)列. () ()的逆命題是：若am，am2，am1成等差數(shù)列，則Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列an的公比為q，am1amq，am2amq2由題設(shè)，2am2amam1，即2amq2amamq，即2q2q10，q1或q. 當(dāng)q1時(shí)，A0，Sm， Sm2， Sm1不成等

9、差數(shù)列.逆命題為假.19、2005年底，某地區(qū)經(jīng)濟(jì)調(diào)查隊(duì)對本地區(qū)居民收入情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取1000戶，按高收入中等收入低收入125戶400戶475戶本地區(qū)確定的標(biāo)準(zhǔn)，情況如右表：本地區(qū)在“十一五”規(guī)劃中明確提出要縮小貧富差距，到2010年要實(shí)現(xiàn)一個(gè)美好的愿景，由右邊圓圖顯示，則中等收入家庭的數(shù)量在原有的基礎(chǔ)要增加的百分比和低收入家庭的數(shù)量在原有的基礎(chǔ)要降低的百分比分別為 ( B )A25% , 27.5% B62.5% , 57.9% C25% , 57.9% D62.5%,42.1%20、一個(gè)三位數(shù)abc稱為“凹數(shù)”，如果該三位數(shù)同時(shí)滿足ab且bc，那么所有不同的三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)是_答

10、案：三位“凹數(shù)”可分兩類：一類是aba，共有45，另一類是abc，ac，共有2240，故共有45+240285個(gè)21、定義運(yùn)算 ，若復(fù)數(shù)，則 。答案：-422、從裝有個(gè)球（其中個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出個(gè)球,共有種取法。在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個(gè)球全部為白球，共有，即有等式：成立。試根據(jù)上述思想化簡下列式子： 。答案： 根據(jù)題中的信息，可以把左邊的式子歸納為從個(gè)球（n個(gè)白球，k個(gè)黑球）中取出m個(gè)球，可分為：沒有黑球，一個(gè)黑球，k個(gè)黑球等類，故有種取法。23、定義運(yùn)算xy=，若|m1|m=|m1|，則m的取值范圍是 24、在公差為的等差數(shù)列中，若是的前項(xiàng)和，則數(shù)列也成等差數(shù)列

11、，且公差為，類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公比為的等比數(shù)列中，若是數(shù)列的前項(xiàng)積，則有 。25、考察下列一組不等式： 將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為 26、對任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算，其中為常數(shù)，等號右邊的運(yùn)算是通常意義的加、乘運(yùn)算?，F(xiàn)已知，且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使得對任意實(shí)數(shù)，都有，則 。27、對于任意實(shí)數(shù)，符號表示的整數(shù)部分，即是不超過的最大整數(shù)”。在實(shí)數(shù)軸R（箭頭向右）上是在點(diǎn)左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，當(dāng)是整數(shù)時(shí)就是。這個(gè)函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。那么=_820428、我國男足運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)會(huì)至海外俱樂部常會(huì)成為體

12、育媒體關(guān)注的熱點(diǎn)新聞。05年8月，在上海申花俱樂部隊(duì)員杜威確認(rèn)轉(zhuǎn)會(huì)至蘇超凱爾特人俱樂部之前，各種媒體就兩俱樂部對于杜威的轉(zhuǎn)會(huì)費(fèi)協(xié)商過程紛紛“爆料”：媒體A：“, 凱爾特人俱樂部出價(jià)已從80萬英鎊提高到了120萬歐元?！泵襟wB：“, 凱爾特人俱樂部出價(jià)從120萬歐元提高到了100萬美元，同時(shí)增加了不少附加條件?！泵襟wC：“, 凱爾特人俱樂部出價(jià)從130萬美元提高到了120萬歐元?！闭埜鶕?jù)表中提供的匯率信息（由于短時(shí)間內(nèi)國際貨幣的匯率變化不大，我們假定比值為定值），我們可以發(fā)現(xiàn)只有媒體 （填入媒體的字母編號）的報(bào)道真實(shí)性強(qiáng)一些。29、已知二次函數(shù)同時(shí)滿足：不等式的解集有且只有一個(gè)元素；在定義域內(nèi)存

13、在，使得不等式成立。 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，（寫出的一個(gè)通項(xiàng)公式）滿足：對任意的正整數(shù)都有，且，并說明理由；（3）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號數(shù)。令（為正整數(shù)），求數(shù)列的變號數(shù)。解：（1）的解集有且只有一個(gè)元素， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，故不存在，使得不等式成立。 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，故存在，使得不等式成立。 綜上，得， （2）要使，可構(gòu)造數(shù)列，對任意的正整數(shù)都有， 當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即， 又，等等。 （3）解法一：由題設(shè)，時(shí)，時(shí)，數(shù)列遞增，由，可知，即時(shí)，有且只有個(gè)變號數(shù)；又，即，此處變號數(shù)有個(gè)。綜上得 數(shù)列共有個(gè)

14、變號數(shù)，即變號數(shù)為。解法二：由題設(shè)， 時(shí)，令； 又，時(shí)也有。綜上得 數(shù)列共有個(gè)變號數(shù)，即變號數(shù)為。30、在R上定義運(yùn)算：xy=x(1 -y) 若不等式(x-a)(x+a)0)上變化，求x2+2y的最大值；（3）由能否確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，如能，求解析式；如不能，再加什么條件就可使之間建立函數(shù)關(guān)系，并求出解析式。解：（1） （4分）（2）根據(jù)得 （5分） （7分） （10分）（2）不能 （11分） 如再加條件就可使之間建立函數(shù)關(guān)系 （12分）解析式 （14分）（不唯一，也可其它答案）32、用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板。隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會(huì)越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前

15、一次的。已知一個(gè)鐵釘受擊次后全部進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長度是釘長的，請從這個(gè)實(shí)事中提煉出一個(gè)不等式組是 。33、已知，記，（其中），例如： 。設(shè)，且滿足，則有序數(shù)組是 。 34、（12=9+3）（理）設(shè)表示冪函數(shù)在上是增函數(shù)的的集合；表示不等式 對任意恒成立的的集合。（1）求；（2）試寫出一個(gè)解集為的不等式。（文）設(shè)表示冪函數(shù)在上是增函數(shù)的的集合；表示不等式對任意恒成立的的集合。（1）求；（2）試寫出一個(gè)解集為的不等式。解：（理）（1）冪函數(shù)在上是增函數(shù)，即， 又不等式對任意恒成立，即， 。 （2）一個(gè)解集為的不等式可以是 。 （文）（1）冪函數(shù)在上是增函數(shù)，即， 又不等式

16、對任意恒成立，即， 。 （2）一個(gè)解集為的不等式可以是 。35、（理）已知為正常數(shù)。 （1）可以證明：定理“若、，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）”推廣到三個(gè)正數(shù)時(shí)結(jié)論是正確的，試寫出推廣后的結(jié)論（無需證明）； （2）若在上恒成立，且函數(shù)的最大值大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并由此猜測的單調(diào)性（無需證明）； （3）對滿足（2）的條件的一個(gè)常數(shù)，設(shè)時(shí)，取得最大值。試構(gòu)造一個(gè)定義在上的函數(shù)，使當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列。解：（1）若、，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）。 （2）在上恒成立，即在上恒成立，即，又，即時(shí)，又，。 綜上，得 。 易知，是奇函數(shù)，時(shí)，函數(shù)有最大值，時(shí)，函數(shù)有最小值。故猜

17、測：時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增。（3）依題意，只需構(gòu)造以為周期的周期函數(shù)即可。 如對，此時(shí)， 即 。（文）已知函數(shù)，（）當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（）求滿足下列條件的所有實(shí)數(shù)對：當(dāng)是整數(shù)時(shí)，存在，使得是的最大值，是的最小值；（）對滿足（）的條件的一個(gè)實(shí)數(shù)對，試構(gòu)造一個(gè)定義在，且上的函數(shù)，使當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列。解：（）當(dāng)時(shí)，若，則在上單調(diào)遞減，不符題意。故，要使在上單調(diào)遞增，必須滿足 ， 。（）若，則無最大值，故，為二次函數(shù)，要使有最大值，必須滿足，即且，此時(shí)，時(shí)，有最大值。又取最小值時(shí)，依題意，有，則，且，得，此時(shí)或。滿足條件的實(shí)數(shù)對是。（）當(dāng)實(shí)

18、數(shù)對是時(shí)，依題意，只需構(gòu)造以2（或2的正整數(shù)倍）為周期的周期函數(shù)即可。如對，此時(shí)，故。36、有窮數(shù)列an，Sn為其前n項(xiàng)和，定義為數(shù)列an的“凱森和”， 如果有99項(xiàng)的數(shù)列a1、a2、a3、a99的“凱森和”為1000，則有100項(xiàng)的數(shù)列 1、a1、a2、a3、a4、a99的“凱森和”= 991 。37、先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題： 已知，求證， 證明：構(gòu)造函數(shù) 因?yàn)閷σ磺衳R，恒有0，所以0, 從而得， （1）若，請寫出上述結(jié)論的推廣式； （2）參考上述解法，對你推廣的結(jié)論加以證明。解：（1）若，求證： (4)（2）證明：構(gòu)造函數(shù) (6) (9) (11) 因?yàn)閷σ磺衳R，都有

19、0，所以=0, 從而證得：. (14)38、已知兩個(gè)向量， .（1）若t=1且，求實(shí)數(shù)x的值；（2）對tR寫出函數(shù)具備的性質(zhì).解：（1）由已知得 2分 4分解得，或 6分（2） 8分具備的性質(zhì)：偶函數(shù)；當(dāng)即時(shí)，取得最小值（寫出值域?yàn)橐部桑?；單調(diào)性：在上遞減，上遞增；由對稱性，在上遞增，在遞減 14分說明：寫出一個(gè)性質(zhì)得3分，寫出兩個(gè)性質(zhì)得5分，寫出三個(gè)性質(zhì)得6分，包括寫出函數(shù)的零點(diǎn)（，）等皆可。寫出函數(shù)的定義域不得分，寫錯(cuò)扣1分39、對于集合N=1, 2, 3, n及其它的每一個(gè)非空子集，定義一個(gè)“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)。例如集合1,

20、2, 4, 6, 9的交替和是964216，集合5的交替和為5。當(dāng)集合N中的n=2時(shí)，集合N=1, 2的所有非空子集為1，2，1, 2，則它的“交替和”的總和S2=1+2+(21)=4，請你嘗試對n=3、n=4的情況，計(jì)算它的“交替和”的總和S3、S4，并根據(jù)其結(jié)果猜測集合N=1, 2, 3, n的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和Sn= n .2n1 。(不必給出證明)40、若AB是過二次曲線中心的任一條弦，M是二次曲線上異于A、B的任一點(diǎn)，且AM、BM均與坐標(biāo)軸不平行，則對于橢圓有。類似地，對于雙曲線有= 。41、已知（1）, 求的最小值（2）P、Q關(guān)于點(diǎn)（1，2）對稱，若點(diǎn)P在曲線C上移動(dòng)

21、時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是函數(shù)的圖象，求曲線C的軌跡方程。（3）在中學(xué)數(shù)學(xué)中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維形式。如從可抽象出的性質(zhì)，試分別寫出一個(gè)具體的函數(shù)，抽象出下列相應(yīng)的性質(zhì)由 可抽象出由 可抽象出(1) 3等號當(dāng)x=2時(shí)成立， 4(2)設(shè)P(x,y)則Q(2-x,4-y)5由4y=lg(2x)可得：y=4lg(2x)(3) h(x)=_y=2x等_, (x)=_y=lgx等_1142、已知函數(shù)的最大值為正實(shí)數(shù)，集合，集合。（1）求和；（2）定義與的差集：且。設(shè)，均為整數(shù)，且。為取自的概率，為取自的概率，寫出與的二組值，使，。（3）若函數(shù)中， 是（2）中較大的一組，試寫出在區(qū)間,n上的

22、最大值函數(shù)的表達(dá)式。 答案：（1），配方得，由得最大值。3分 ，。6分 （2）要使，。可以使中有3個(gè)元素，中有2個(gè)元素， 中有1個(gè)元素。則。9分中有6個(gè)元素，中有4個(gè)元素， 中有2個(gè)元素。則12分（3）由（2）知13分 18分1A1A2A3A4A5B1B2B3B4BnAnAn+1234nxOy43、在數(shù)學(xué)拓展課上，老師規(guī)定了一種運(yùn)算:a*b= ,例如：1*2=1，3*2=2，則函數(shù)的值域?yàn)椤?4、已知點(diǎn)列B1(1,y1)、B2(2,y2)、Bn(n,yn)（nN） 順次為一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)， 點(diǎn)列A1(x1,0)、A2(x2,0)、An(xn,0)（nN） 順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x1=a

23、（0a1）， 對于任意nN，點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以 Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形。求yn的通項(xiàng)公式，且證明yn是等差數(shù)列；試判斷xn+2-xn是否為同一常數(shù)（不必證明），并求出數(shù)列xn的通項(xiàng)公式； 在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時(shí)a值；若不存在， 請說明理由。解：（1）(nN),yn+1-yn=,yn為等差數(shù)列 (4) （2）xn+1-xn=2為常數(shù) (6) x1,x3,x5,x2n-1及x2,x4,x6,，x2n都是公差為2的等差數(shù)列， x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a， xn= (10

24、) （3）要使AnBnAn+1為直角三形，則 |AnAn+1|=2=2()xn+1-xn=2() 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,xn+1-xn=2(1-a). 2(1-a)=2() a=(n為奇數(shù)，0a1) (*) 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n5，則(*)無解； (14) 當(dāng)偶數(shù)時(shí)，xn+1=n+a，xn=n-a，xn+1-xn=2a. 2a=2()a=(n為偶數(shù)，0a1) (*)，取n=2，得a=, 若n4，則(*)無解. 綜上可知，存在直角三形，此時(shí)a的值為、. (18)45、證明：當(dāng)a1時(shí)，不等式成立。要使上述不等式成立，能否將條件“a1”適當(dāng)放寬？若

25、能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理由。 請你根據(jù)、的證明，試寫出一個(gè)類似的更為一般的結(jié)論，且給予證明。解：（1）證：,a1，0， 原不等式成立 (6) （2）a-1與a5-1同號對任何a0且a1恒成立，上述不等式的條件可放寬 為a0且a1 (9) （3）根據(jù)（1）（2）的證明，可推知：若a0且a1，mn0，則有(12) 證：左式-右式= (14) 若a1，則由mn0am-n0,am+n0不等式成立； 若0a1，則由mn00am-n1, 0am+n1不等式成立.(16)46、為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下圖：加密密鑰密碼發(fā)送解密密鑰密碼 明文 密

26、文 密文 明文， 現(xiàn)在加密密鑰為y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通過加密后得到密文“3”， 再發(fā)送，接受方通過解密密鑰解密得明文“6”，問“接受方接到密文”4“，則解密 后得到明文為 14 。47、規(guī)定ab=，a, b，若1k=3，則函數(shù)f(x)=kx的值域?yàn)?(1,+ ) 48、同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級的平均分將降低； 反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級的平均分將提高. 這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語 言描述為：若有限數(shù)列 滿足，則 （結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示）.和49、已知數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列

27、（）.（1）若，求；（2）試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍；（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列. 提出同（2）類似的問題（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？ 解（1）. 4分 （2）， 8分 ， 當(dāng)時(shí)，. 12分 （3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列. 14分研究的問題可以是：試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍. 16分研究的結(jié)論可以是：由， 依次類推可得 當(dāng)時(shí)，的取值范圍為等. 18分50、定義一種運(yùn)算“*”，對于，滿足以下運(yùn)算性質(zhì)： ； 。則的數(shù)值為_3004_。

28、A B C D A1 B1 C1 D151、已知命題：平面上一矩形的對角線與邊和 所成角分別為，則。若把它推廣到空 間長方體中，試寫出相應(yīng)的命題形式：_ _。長方體中，對角線與棱所成的角分別為，則，?；蚴牵洪L方體中，對角線與平面所成的角分別為，則，?；蚴牵洪L方體中，對角面與平面所成的二面角分別為，則。52、如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差(1)設(shè)數(shù)列是公方差為的等方差數(shù)列，求和的關(guān)系式；(2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列；(3) 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公方差為的等方差數(shù)列，若

29、將這種順序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個(gè)數(shù)(1)解：由等方差數(shù)列的定義可知：5分(2)證法一：是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則又是等方差數(shù)列，7分 即， 10分，即是常數(shù)列11分證法二：是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則又是等方差數(shù)列，設(shè)公方差為，則7分代入得， 同理有，兩式相減得：即，10分，即是常數(shù)列11分證法三：（接證法二、）由、得出：若，則是常數(shù)列 8分若， 則 是常數(shù), ，矛盾10分 是常數(shù)列 11分(3)依題意， ， ，或， 13分 即該密碼的第一個(gè)數(shù)確定的方法數(shù)是，其余每個(gè)數(shù)都有“正”或“負(fù)”兩種確定方法，當(dāng)每個(gè)數(shù)確定下來時(shí)，密碼就確定了，即確定密碼的方法數(shù)是種，故，這種密碼共種16分53、已

30、知函數(shù)，當(dāng)點(diǎn)在的圖像上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上移動(dòng)（1） 若點(diǎn)P坐標(biāo)為（），點(diǎn)Q也在的圖像上，求的值；（2） 求函數(shù)的解析式；（3） 當(dāng)時(shí)，試探求一個(gè)函數(shù)使得在限定定義域?yàn)闀r(shí)有最小值而沒有最大值解：（1）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為（），點(diǎn)的坐標(biāo)為，2分點(diǎn)也在的圖像上，即5分（根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得，請相應(yīng)給分）（2）設(shè)在的圖像上則，即 8分而在的圖像上，代入得，為所求11分（3）；或 等 15分如：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減， 故 ，即有最小值，但沒有最大值18分（其他答案請相應(yīng)給分）（參考思路）在探求時(shí)，要考慮以下因素：在上必須有意義（否則不能參加與的和運(yùn)算）；由于和都是以為底的對數(shù)，所以構(gòu)造的函數(shù)可以是以為底的對數(shù)，

31、這樣與和進(jìn)行的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為真數(shù)的乘積運(yùn)算；以為底的對數(shù)是減函數(shù)，只有當(dāng)真數(shù)取到最大值時(shí)，對數(shù)值才能取到最小值；為方便起見，可以考慮通過乘積消去；乘積的結(jié)果可以是的二次函數(shù)，該二次函數(shù)的圖像的對稱軸應(yīng)在直線的左側(cè)（否則真數(shù)會(huì)有最小值，對數(shù)就有最大值了），考慮到該二次函數(shù)的圖像與軸已有了一個(gè)公共點(diǎn)，故對稱軸又應(yīng)該是軸或在軸的右側(cè)（否則該二次函數(shù)的值在上的值不能恒為正數(shù)），即若拋物線與軸的另一個(gè)公共點(diǎn)是，則，且拋物線開口向下54、如圖，一個(gè)計(jì)算裝置有兩個(gè)數(shù)據(jù)輸入口、與一個(gè)運(yùn)算結(jié)果輸出口，當(dāng)、分別輸入正整數(shù)時(shí)，輸出結(jié)果記為，且計(jì)算裝置運(yùn)算原理如下： 若、分別輸入1，則；若輸入固定的正整數(shù)，輸入的正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來增大3；若輸入1，輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來3倍。 試求： （1）的表達(dá)式；（2）的表達(dá)式； （3）若、都輸入正整數(shù)，則輸出結(jié)果能否為2005？若能，求出相應(yīng)的；若不能，則請說明理由。解：（1） （2） （3） ， 輸出結(jié)果不可能為。55、對數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中。 對自然數(shù)，規(guī)定為的階差分?jǐn)?shù)列，其中。 （1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，試判斷，是否為等差或等比數(shù)列，為什么？