空間向量建系

1、zxyO規(guī)定：(1),Ox Oy Oz互直線相垂直；(2),.OxOyOz軸軸軸具有相同的單位長度“右手系”(1)右手大拇指所指方向表示Ox軸的正方向；Oy軸的正方向；Oz軸的正方向.空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)BCD1A1B1C1D右右手手食食指指所所指指方方向向表表示示)(2右右手手中中指指所所指指方方向向表表示示)(3CBGFEHADzxyO243D(2,4,3)A(2,0,3)B(0,0,3)空間點的坐標(biāo)空間點的坐標(biāo)空間向量的基本公式空間向量的基本公式),(),(222111zyxbzyxa設(shè)設(shè)2121211zyxa |:|)( 向向量量的的長長度度公公式式2121212zzyyxx

2、baba cos|:)( 向向量量的的數(shù)數(shù)量量積積坐坐標(biāo)標(biāo)公公式式2222222121212121213zyxzyxzzyyxxbaba|cos:)( 向向量量的的夾夾角角公公式式2121214zzyyxxbaba /:)( 向向量量平平行行的的充充要要條條件件05baba:)( 向向量量垂垂直直的的充充要要條條件件1P111( , )x y z2P222(,)x y z1 2|PP221212()()xxyy212()zz(3,1,2), (4, 2, 2), (0,5,1).xoyABCD 例1：在平面內(nèi)，求與三點等距離的點的坐標(biāo)解：D設(shè)點 的坐標(biāo)為 ( , ,0)x y| | |ADBD

3、CD222(3)(1)(02)xy222(4)(2)(02)xy222(3)(1)(02)xy222(0)(5)(0 1)xyxy3852153821(,0)55D 空間兩點的距離公式空間兩點的距離公式),(12121221zzyyxxPP32-2 0 4),( 2,1,2),2,| 4,OAOBOCOA OCOBBOC 例2：已知（ ，則的大小.1226231223OCOBOCOBOCOAOCOBOA)(3OCOB41343|cosOCOBOCOBBOC41arccos BOC,.PABCDABCDABaADb APc EPCCE 例3：四棱錐的底面為平行四邊形，為中點，求向量PABCDEC

4、PCE21)(ACAP 21)(ADABc2121bac212121DABC1A1B1C1DBDcCDbBDaADDCBAABCD111111111求求中中，設(shè)設(shè)例例：平平行行六六面面體體,DDbDDBDBD11111CBcCBCDBD11ABaABADBD11ABCBDDcbaBD113ABDADDcba1BDcba1)(cbaBD211E1B1D1C1A1F1BDEAFCG11111 11,1,2.ABCDEFABC DE F ABAA練習(xí)1:已知正六棱柱試建立空間直角坐標(biāo)系，并求出各頂點的坐標(biāo)zxyOA ( 3,0,0)1231A( 3,0,2)B1B( 3,1,0)( 3,1,2)KC

5、1C3 3(,0)223 3(,2)22D1D(0,1,0)(0,1,2)E1E(0,0,0)(0,0,2)HF1F31(,0)2233(,2)221111111290 ,/.ABCABCACBLACMABNBCLNMB練習(xí) ：已知直三棱柱中，是的中點，是的中點， 是的中點，求證：MNLB1C1A1BCAzxyO解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.12 ,2 ,ACm CBn CCh設(shè)N(0, ,0)nB(0,2 ,0)nL( ,0, )mhM ( , , )m n hLN ( , )mn hMB( , )mn hLN MB/LNMB LNMB且與顯然不重合/LNMB3 12,(,0),2290 ,

6、30 .(1)(2).BCOBCADyozBDCDCBCDADBC 例：如圖，是的中點，點 的坐標(biāo)為點 在平面上，且求向量的坐標(biāo)； 求向量與的夾角的大小xOyzBCDA),(),()(0100101BC),(),(2323023210CDD),(),()(020231232BCAD5102252|cosBCADBCADBCAD 則則，的的夾夾角角為為與與設(shè)設(shè)510arccos 的的夾夾角角為為與與BCAD11111,.ABCABCa DBCADAB例：正三棱柱中，各棱長都為是中點，求異面直線和的所成角ABC1A1B1CD為為原原點點，建建系系如如圖圖：中中點點以以DBCxyz),(),(),(

7、),(aaBaAaaAD02023023000011),(),(aaaABaaDA232230112814111111|cosABDAABDAABDA 則則，的的夾夾角角為為與與設(shè)設(shè)281411arccos的的夾夾角角為為與與異異面面直直線線ABDA1111111,.(1)(2).ABCDABC DE FBB CDD FADEEFCB例：正方體中，分別是的中點求證：平面；求異面直線與的所成角1A1B1C1DABCDEF建建系系如如圖圖：不不妨妨設(shè)設(shè)棱棱長長為為 , 1xyz),(),(),(),(),(211100000102101001EDAFD),(),(),(211000112101AE

8、ADFDAEFDADFDAEFDADFD11110,ADEFD平平面面1),(),(1110101BC),(),(212111011EFCB111cos|CBEFCBEFCBEF 設(shè)與的夾角為 ，則Exyz1B1C1A1DABCD11111111(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(0,0,6).(1)(2),/ /.ABCDABC DABDAEACECEM NAA ABMNDC例：長方體中， 若點 在直線上，且 是靠 的三等分點，求點 的坐標(biāo)； 若點分別是棱的中點，求證：:由題意，如圖建系(3,3,0),CECEAA260011),(), ,(),(222210262132021

9、320EE即即MN),(),(),(63000233001DNM),(),(60330231CDMNCDMNCDMN1121/11111320,15,70,| 1.ACABADAAP QBDPQ BPQPDPCQ、在長方體中，.如圖兩動點在線段上運動，點 在之間，且保持問動點 運動到什么位置時，異面直線與互相垂直CDBC1D1A1B1APQ解： 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.zxyOC (0,20, 70) D (0,0, 70)xoyD1C1A1B1QPE1DQx設(shè)x11DPxQ3,5x4,5x0P3(1),5x4(1),5x0DP 3(1),5x4(1),5x70CQ 3,5x420,5x700DP CQ 215540 xxx69或1DP710或111111422 6.3ABCABCAGABCABBC、已知斜三棱柱中，底面是邊長為 的正三角形， 在底面上的射影 是的重心，高為，求與所成角的大小A1C