鴿巢問(wèn)題(公開(kāi)課)

1、鴿巢問(wèn)題（1）數(shù)學(xué)廣角數(shù)學(xué)廣角我給大家表演一個(gè)我給大家表演一個(gè)“魔術(shù)魔術(shù)”。一副牌，取出大小王，還剩一副牌，取出大小王，還剩52張，你們張，你們5人每人隨意抽一人每人隨意抽一張，我知道至少有張，我知道至少有2張牌是同張牌是同花色的。相信嗎？花色的。相信嗎？（一）例（一）例1把把4支鉛筆放進(jìn)支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，個(gè)筆筒中，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少有里至少有2支鉛筆。支鉛筆。為什么呢？為什么呢？“總有總有”和和“至少至少”是什么意思？是什么意思？綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)http:/http:/www.Lwww.L 綠色圃中學(xué)資源網(wǎng)綠色圃中學(xué)資源網(wǎng)http:

2、/http:/cz.Lcz.L綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)http:/http:/www.Lwww.L 綠色圃中學(xué)資源網(wǎng)綠色圃中學(xué)資源網(wǎng)http:/http:/cz.Lcz.L把把4 4支筆放進(jìn)支筆放進(jìn)3 3個(gè)筆筒里，可以怎么放？個(gè)筆筒里，可以怎么放？有幾種放法？有幾種放法？擺法擺法1：擺法擺法2：擺法擺法3：擺法擺法4：不管怎么放，不管怎么放，總有總有一個(gè)筆筒一個(gè)筆筒至少至少放進(jìn)放進(jìn) 2 支筆支筆可以把可以把4 4分解成三個(gè)數(shù)分解成三個(gè)數(shù), ,共有四種情況：共有四種情況：(4,0,0)(4,0,0)(3,1,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,2,0)(2,1,1)(2,1,1)每

3、一種結(jié)果的三個(gè)數(shù)中每一種結(jié)果的三個(gè)數(shù)中, ,至少有一個(gè)至少有一個(gè)數(shù)是不小于數(shù)是不小于2 2的。的。 假設(shè)先平均每個(gè)筆筒里放假設(shè)先平均每個(gè)筆筒里放1 1支鉛支鉛筆。那么筆。那么,3,3個(gè)筆筒里就放了個(gè)筆筒里就放了3 3支鉛筆。支鉛筆。還剩下還剩下1 1支鉛筆支鉛筆, ,放進(jìn)任意一個(gè)筆筒里放進(jìn)任意一個(gè)筆筒里, ,那么這個(gè)筆筒里就有那么這個(gè)筆筒里就有2 2支鉛筆。支鉛筆。發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)： 把把4 4支筆放進(jìn)支筆放進(jìn)3 3個(gè)筆筒里，不管怎么個(gè)筆筒里，不管怎么放，放，總有總有一個(gè)筆筒里一個(gè)筆筒里至少至少有有2 2支筆。支筆。1 1、如果把、如果把5 5支筆放進(jìn)支筆放進(jìn)4 4個(gè)筆筒里呢？個(gè)筆筒里呢？我發(fā)現(xiàn)：筆

4、的數(shù)量比筆筒的數(shù)量我發(fā)現(xiàn)：筆的數(shù)量比筆筒的數(shù)量多多1 1時(shí)時(shí)，總有總有一個(gè)筆筒里一個(gè)筆筒里至少至少有有2 2支筆。支筆。2 2、把、把6 6支筆放進(jìn)支筆放進(jìn)5 5個(gè)筆筒里呢？個(gè)筆筒里呢？3 3、把、把7 7支筆放進(jìn)支筆放進(jìn)6 6個(gè)筆筒里呢？個(gè)筆筒里呢？4 4、把、把8 8支筆放進(jìn)支筆放進(jìn)7 7個(gè)筆筒里呢？個(gè)筆筒里呢？5 5、把、把9 9支筆放進(jìn)支筆放進(jìn)8 8個(gè)筆筒里呢？個(gè)筆筒里呢？6 6、把、把100100支筆放進(jìn)支筆放進(jìn)9999個(gè)筆筒里呢？個(gè)筆筒里呢？ “鴿巢問(wèn)題鴿巢問(wèn)題”又稱又稱“抽屜原理抽屜原理”，最先是由最先是由1919世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來(lái)的，所以又稱狄利克雷

5、提出來(lái)的，所以又稱“狄利克雷原理狄利克雷原理”。抽屜原理抽屜原理的應(yīng)的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問(wèn)題，并且常常能得到一多有趣的問(wèn)題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)些令人驚異的結(jié)果。果。 狄利克雷狄利克雷（18051859）數(shù)學(xué)小知識(shí)：鴿巢問(wèn)題的由來(lái)。數(shù)學(xué)小知識(shí)：鴿巢問(wèn)題的由來(lái)。小結(jié)：小結(jié)： 上面我們所證明的數(shù)學(xué)原理就是最簡(jiǎn)單的“抽屜原理”,可以概括為:把把m m個(gè)物體任意放到個(gè)物體任意放到m-1m-1個(gè)抽屜個(gè)抽屜里里, ,那么總有一個(gè)抽屜中那么總有一個(gè)抽屜中至少至少放放進(jìn)了進(jìn)了2 2個(gè)物體。個(gè)物體。隨堂練習(xí)：2、任意一個(gè)11位數(shù)中，至少有2個(gè)數(shù)位上的

6、數(shù)字是相同的。為什么？1、在班上任意選3人，他們中至少有2個(gè)人性別相同。為什么？（物體數(shù)是物體數(shù)是3 3，抽屜數(shù)是，抽屜數(shù)是2 2，把，把3 3人對(duì)到人對(duì)到2 2種性別里，那么總有一種性別種性別里，那么總有一種性別至少至少有有2 2個(gè)人。個(gè)人。）（物體數(shù)是物體數(shù)是1111，抽屜數(shù)是，抽屜數(shù)是1010，把，把1111個(gè)數(shù)位對(duì)應(yīng)到個(gè)數(shù)位對(duì)應(yīng)到1010種數(shù)字里，那么總有一種種數(shù)字里，那么總有一種數(shù)字?jǐn)?shù)字至少至少出現(xiàn)在出現(xiàn)在2 2個(gè)數(shù)位上。個(gè)數(shù)位上。）3、隨意找 13 位老師，他們中至少有 2 個(gè)人屬相相同。為什么？（物體數(shù)是（物體數(shù)是1313，抽屜數(shù)是，抽屜數(shù)是1212，把，把1313位老師對(duì)應(yīng)到位

7、老師對(duì)應(yīng)到1212個(gè)生肖屬相里，那么總有個(gè)生肖屬相里，那么總有一個(gè)生肖屬相一個(gè)生肖屬相至少至少有有2 2位老師。）位老師。）追問(wèn)追問(wèn): :如果要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多如果要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多2,2,多多3,3,多多4 4呢呢? ?把把7本書(shū)放進(jìn)本書(shū)放進(jìn)3個(gè)抽屜，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里個(gè)抽屜，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)至少放進(jìn)3本書(shū)。為什么？本書(shū)。為什么？ （二）例（二）例2我隨便放放看，我隨便放放看，一個(gè)抽屜一個(gè)抽屜1本，本，一個(gè)抽屜一個(gè)抽屜2本，本，一個(gè)抽屜一個(gè)抽屜4本。本。如果每個(gè)抽屜最多放如果每個(gè)抽屜最多放2本，那本，那么么3個(gè)抽屜最多放個(gè)抽屜最多放6本，可題目本，可

8、題目要求放的是要求放的是7本書(shū)。所以本書(shū)。所以兩種放法都有一個(gè)兩種放法都有一個(gè)抽屜放了抽屜放了3本或多本或多于于3本，所以本，所以獨(dú)立思考、小組交流獨(dú)立思考、小組交流第一個(gè)抽屜第一個(gè)抽屜7 76 65 54 43 33 3第二個(gè)抽屜第二個(gè)抽屜0 01 11 11 11 12 2第三個(gè)抽屜第三個(gè)抽屜0 00 01 12 23 32 2 列列舉舉法法數(shù)數(shù)的的分分解解法法通過(guò)操作通過(guò)操作, ,我們把我們把7 7本書(shū)放進(jìn)本書(shū)放進(jìn)3 3個(gè)抽屜個(gè)抽屜, ,總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)3 3本書(shū)。本書(shū)。把把7 7分解成三個(gè)數(shù)：分解成三個(gè)數(shù)： (7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,

9、1,2),(3,1,3) (7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,1,2),(3,1,3), ,(3,2,2)(3,2,2)這樣六種情況。這樣六種情況。在任何一種情況中在任何一種情況中, ,總有一個(gè)數(shù)不小于總有一個(gè)數(shù)不小于3 3。通過(guò)上面兩種方法通過(guò)上面兩種方法, ,我們知道了把我們知道了把7 7本書(shū)放進(jìn)本書(shū)放進(jìn)3 3個(gè)抽屜個(gè)抽屜, ,不管怎么放不管怎么放, ,總總有有1 1個(gè)抽屜里至少放進(jìn)個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3 3本書(shū)。但隨著書(shū)的本書(shū)增多本書(shū)。但隨著書(shū)的本書(shū)增多, ,數(shù)據(jù)變大數(shù)據(jù)變大, ,如果有如果有8 8本書(shū)會(huì)怎樣呢本書(shū)會(huì)怎樣呢?10?10本呢本呢? ?甚至更多呢甚至更多呢? ?

10、用列舉法、數(shù)的分解法會(huì)怎樣用列舉法、數(shù)的分解法會(huì)怎樣? ?繁瑣！繁瑣！假設(shè)法假設(shè)法我們能不能找到一種適用各種數(shù)據(jù)的一般方法呢我們能不能找到一種適用各種數(shù)據(jù)的一般方法呢? ?假設(shè)把書(shū)盡量的假設(shè)把書(shū)盡量的“平均分平均分”給給各個(gè)抽屜各個(gè)抽屜, ,看每個(gè)抽屜能分到看每個(gè)抽屜能分到多少本書(shū)多少本書(shū), ,你們能用什么算式你們能用什么算式表示這一平均分的過(guò)程呢表示這一平均分的過(guò)程呢? ?7 73=23=2（本）（本）11（本）（本）有余數(shù)的除法算式說(shuō)明了什么問(wèn)題有余數(shù)的除法算式說(shuō)明了什么問(wèn)題? ? 把把7 7本書(shū)平均放進(jìn)本書(shū)平均放進(jìn)3 3個(gè)抽屜個(gè)抽屜, ,每每個(gè)抽屜放個(gè)抽屜放2 2本書(shū)本書(shū), ,還剩還剩1

11、 1本本; ;把剩下把剩下的的1 1本不管放到哪個(gè)抽屜本不管放到哪個(gè)抽屜, ,總有一總有一個(gè)抽屜至少放個(gè)抽屜至少放3 3本書(shū)。本書(shū)。如果有如果有8 8本呢？本呢？ 8 83=23=2（本）（本）22（本）（本）, ,可以知道把可以知道把8 8本本書(shū)平均放進(jìn)書(shū)平均放進(jìn)3 3個(gè)抽屜個(gè)抽屜, ,每個(gè)抽屜放每個(gè)抽屜放2 2本書(shū)本書(shū), ,還剩還剩2 2本本; ;把剩下的把剩下的2 2本中的本中的1 1本不管放到哪個(gè)抽屜本不管放到哪個(gè)抽屜, ,總有一總有一個(gè)抽屜至少放個(gè)抽屜至少放3 3本書(shū)。本書(shū)。1010本呢？本呢？ 10103=33=3（本）（本）11（本）（本）, ,可知把可知把1010本本書(shū)平均放進(jìn)

12、書(shū)平均放進(jìn)3 3個(gè)抽屜個(gè)抽屜, ,每個(gè)抽屜放每個(gè)抽屜放3 3本書(shū)本書(shū), ,還剩還剩1 1本本; ;把剩下的把剩下的1 1本不管放到哪個(gè)抽屜本不管放到哪個(gè)抽屜, ,總有一個(gè)總有一個(gè)抽屜至少放抽屜至少放4 4本書(shū)。本書(shū)。物體數(shù)物體數(shù)抽屜數(shù)抽屜數(shù)商商余數(shù)余數(shù)至少數(shù)：至少數(shù)：商商1 如果物體數(shù)除以抽屜數(shù)有余數(shù)如果物體數(shù)除以抽屜數(shù)有余數(shù), ,用所得的商加用所得的商加1, ,就會(huì)發(fā)現(xiàn)就會(huì)發(fā)現(xiàn)“總有一個(gè)抽屜里至少有總有一個(gè)抽屜里至少有商加商加1個(gè)物體個(gè)物體”。我發(fā)現(xiàn)我發(fā)現(xiàn) 把把m m個(gè)物體放進(jìn)個(gè)物體放進(jìn)n n個(gè)抽屜個(gè)抽屜, ,如果如果m mn=bc(c0),n=bc(c0),那那么一定有一個(gè)抽屜至少放么一定

13、有一個(gè)抽屜至少放(b+1)(b+1)個(gè)物體。個(gè)物體。即：即：1、 5只只鴿子鴿子飛進(jìn)飛進(jìn)3個(gè)個(gè)鴿籠，總有一個(gè)鴿籠，總有一個(gè)鴿籠鴿籠至少至少飛進(jìn)（飛進(jìn)（ ）只）只鴿子？鴿子？做一做做一做2 2 5 53 31 1（只）（只）2（只）（只）至少數(shù)：至少數(shù)：1 11 1 2 22、 7只只鴿子鴿子飛進(jìn)飛進(jìn)4個(gè)鴿籠，總有一個(gè)個(gè)鴿籠，總有一個(gè)鴿籠鴿籠至少至少飛進(jìn)（飛進(jìn)（ ）只）只鴿子？鴿子？做一做做一做2 2 7 74 41 1（只）（只）3 3（只）（只）至少數(shù)：至少數(shù)：1 11 1 2 23、 9只只鴿子鴿子飛進(jìn)飛進(jìn)5個(gè)鴿籠，總有一個(gè)個(gè)鴿籠，總有一個(gè)鴿籠鴿籠至少至少飛進(jìn)（飛進(jìn)（ ）只）只鴿子？鴿子？

14、做一做做一做2 2 9 95 51 1（只）（只）4 4（只）（只）至少數(shù)：至少數(shù)：1 11 1 2 2 1、從我校學(xué)生中，任意挑選、從我校學(xué)生中，任意挑選13名學(xué)生，名學(xué)生，那么在這那么在這13名學(xué)生中至少有名學(xué)生中至少有2個(gè)人的屬相個(gè)人的屬相相同。為什么？相同。為什么？13121（名）（名）1（名）（名）至少數(shù)：至少數(shù)：112課后練習(xí)課后練習(xí)2、 某班有某班有32名小朋友是在名小朋友是在8月份出生的，能月份出生的，能否找到兩個(gè)在同一天過(guò)生日的小朋友。為什么？否找到兩個(gè)在同一天過(guò)生日的小朋友。為什么？8月份=31天 3231=1（名）1（名）至少數(shù)：至少數(shù)：1+1=21+1=2課后練習(xí)課后練習(xí)一盒圍棋棋子，黑白子混放，我們?nèi)我饷觯?）個(gè)棋子，才能保證至少有兩個(gè)棋子是同一個(gè)顏色的？三三 如果物體數(shù)除以抽屜數(shù)有余數(shù)如果物體數(shù)除以抽屜數(shù)有余數(shù), ,用所用所得的商加得的商加1 1, ,就會(huì)發(fā)現(xiàn)就會(huì)發(fā)現(xiàn)“總有一個(gè)抽屜里至總有一個(gè)抽屜里至少有少有商加商加1 1個(gè)物體個(gè)物