初中數(shù)學二次函數(shù)知識點匯總.

1、1. 定義 ：一般地，如果yax2bxc(a,b, c 是常數(shù)， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù) .2. 二次函數(shù) y ax2 的性質(zhì)（ 1）拋物線y ax2 的頂點是坐標原點，對稱軸是y 軸 .（ 2）函數(shù) yax2 的圖像與 a 的符號關(guān)系 .當 a0 時拋物線開口向上頂點為其最低點；當 a0 時拋物線開口向下頂點為其最高點 .（ 3）頂點是坐標原點，對稱軸是y 軸的拋物線的解析式形式為y ax2（ a0）.3. 二次函數(shù) y ax2 bx c 的圖像是對稱軸平行于（包括重合） y 軸的拋物線 .4.二 次 函 數(shù) y ax 2bxc 用 配 方 法 可 化 成 ： y a x

2、h 2k 的 形 式 ， 其 中hb ， k4ac b 2.2a4a5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：y ax2 ； y ax2k ； y a x h 2；y a x h 2k ； y ax 2bx c .6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. a 的符號決定拋物線的開口方向：當a0 時，開口向上；當a0時，開口向下；a 相等，拋物線的開口大小、形狀相同.平行于 y 軸（或重合）的直線記作xh . 特別地，y 軸記作直線 x0.7. 頂點決定拋物線的位置 . 幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a 相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.228. 求拋

3、物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法： y ax2bx ca xb4ac b，頂點是2a4a（b4acb 2b，）.2a4a，對稱軸是直線 x2a（ 2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為 ya xh 2k 的形式，得到頂點為( h , k ) ，對稱軸是直線xh .（ 3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.9. 拋物線 yax2bx c 中， a, b, c 的作用（ 1） a 決定開口方向及開口大小，這與y ax2 中

4、的 a 完全一樣 .（ 2） b 和 a 共同決定拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線 yax2bxc 的對稱軸是直線xbb0 （即a 、 b 同號）時，對稱軸在y 軸左側(cè)；，故： b 0 時，對稱軸為y 軸； b2aa0（即 a 、 b 異號）時，對稱軸在y 軸右側(cè) .a（ 3） c 的大小決定拋物線 y ax 2bxc 與 y 軸交點的位置 .當 x0 時， y c ，拋物線 yax2bx c 與 y 軸有且只有一個交點（ 0， c ）： c0 ，拋物線經(jīng)過原點 ; c0 , 與 y 軸交于正半軸；c0 , 與 y 軸交于負半軸 .以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立. 如拋物線的對稱軸在b

5、0 .y 軸右側(cè)，則a10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標yax2x0（ y 軸）（0,0 ）yax2kx0（ y 軸）(0,k )ya xh2當 a 0時xh(h ,0)ya xh2開口向上xh(h ,k )ky ax 2當 a 0時bb 4ac b 2bx cx開口向下2a(，)2a4a11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（ 1）一般式： yax2bxc . 已知圖像上三點或三對x 、 y 的值，通常選擇一般式 .（ 2）頂點式： ya xh 2k . 已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.（ 3）交點式：已知圖像與x 軸的交點坐標 x1 、 x2

6、 ，通常選用交點式： y a x x1 x x2 .12. 直線與拋物線的交點（ 1） y 軸與拋物線yax2bxc 得交點為 (0,c ).（ 2）與y 軸平行的直線xh 與拋物線yax 2bxc 有且只有一個交點(h ,ah 2bhc ).（ 3）拋物線與x 軸的交點二次函數(shù)yax2bxc 的圖像與x 軸的兩個交點的橫坐標x1 、x2 ，是對應(yīng)一元二次方程ax 2bxc0的兩個實數(shù)根. 拋物線與x 軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點0拋物線與x 軸相交；有一個交點（頂點在x 軸上）0拋物線與x 軸相切；沒有交點0拋物線與x 軸相離.（ 4）平行于x 軸的直線與

7、拋物線的交點同（ 3）一樣可能有0 個交點、 1 個交點、 2 個交點 . 當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為 k ，則橫坐標是 ax 2bxc k 的兩個實數(shù)根 .（ 5）一次函數(shù) ykx n k0 的圖像 l 與二次函數(shù) yax2bxc a0 的圖像 G 的交點，由方程組ykxn的解的數(shù)目來確定： 方程組有兩組不同的解時l 與 G 有兩個交點 ; yax2bx c方程組只有一組解時l 與 G 只有一個交點；方程組無解時l 與 G 沒有交點 .（ 6）拋物線與 x 軸兩交點之間的距離：若拋物線y ax2bxc 與 x 軸兩交點為 A x1，0 ， B x2，0 ，由于 x1

8、、 x2 是方程 ax2bxc0 的兩個根，故x1x2b , x1 x2caa2b2ABx1x2x1x22x1 x224x1x2b4c4acaaaa二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：2( , 是常數(shù)，0)yaxbxc a b ca（2）頂點式：()2( ,是常數(shù)，0)ya xhk a h ka（3）當拋物線 yax2bxc 與 x 軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程 ax 2bx c0 有實根 x1 和 x2存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式ax2bx c a( xx1 )( x x2 ) ，二次函數(shù) yax2bx c 可轉(zhuǎn)化為兩根式 y a( xx1 )( xx2 )。如果沒有交點，則不能這

9、樣表示?？键c三、二次函數(shù)的最值（10 分） 如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值） ，即當 xb4acb2時， y最值4a。2a如果自變量的取值范圍是x1 xx2bx1x x2 內(nèi)，那么，首先要看是否在自變量取值范圍2a若在此范圍內(nèi)， 則當 x=b時， y最值4acb 2；若不在此范圍內(nèi)， 則需要考慮函數(shù)在x1xx2 范2a4a圍內(nèi)的增減性， 如果在此范圍內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大， 則當 xx2 時， y最大 ax22bx2c ，當 xx1時， y最小 ax12bx1c ；如果在此范圍內(nèi)， y 隨 x 的增大而減小， 則當 xx1 時， y最大ax12bx

10、1c ，當 x x2 時， y最小ax 2bx c。22考點四、二次函數(shù)的性質(zhì)（614 分）1、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)函數(shù)yax 2bxc( a,b, c是常數(shù)， a0)a>0a<0yy圖像0x0x（ 1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（ 1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（ 2）對稱軸是 x=bb（ 2）對稱軸是 x=bb，頂點坐標是（，頂點坐標是（，2a2a2a2a4acb24ac b2）；4a）；4a性質(zhì)bb（ 3）在對稱軸的左側(cè)，即當 x<（ 3）在對稱軸的左側(cè)，即當 x<時， y 隨 x時， y 隨2a2a的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當x的增大而增大；

11、在對稱軸的右側(cè)，即當x>bx>b時， y 隨 x 的增大而減小，簡記左時， y 隨 x 的增大而增大， 簡記左減2a2a右增；增右減；（ 4）拋物線有最低點，當b時， y 有最?。?4）拋物線有最高點，當x=bx=時， y 有最2a2a4acb24acb 2值， y最小值大值， y最大值4a4a2yax2bxc(a,b, c是常數(shù)， a0)中， a、 b、 c 的含義：a表示開口方向：a >0、二次函數(shù)時，拋物線開口向上， ，a <0 時，拋物線開口向下b 與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=b2ac 表示拋物線與y 軸的交點坐標： （ 0， c ）3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)

12、系一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x 軸的交點坐標。因此一元二次方程中的b24ac ，在二次函數(shù)中表示圖像與x 軸是否有交點。當 >0 時，圖像與當 =0 時，圖像與當 <0 時，圖像與x 軸有兩個交點；x 軸有一個交點；x 軸沒有交點。二次函數(shù)知識點：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax2bx c （ ab c 是常數(shù)， a0 ）， ，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a 0 ，而 b，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù) y ax 2bxc 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是

13、2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)，b 是一次項系數(shù)，c 是常數(shù)項二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：oo結(jié)論： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小?？偨Y(jié)：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而增大；x 0時， y 隨向上y 軸x 的增大而減??；x 0 時， y 有最小值 0 a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而減?。粁 0時， y 隨向下y 軸x 的增大而增大；x 0 時， y 有最大值 0 2. yax2c 的性質(zhì)：結(jié)論： 上加下減。 同左上加，異右下減總結(jié)：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a00 ，

14、cx0 時， y 隨 x 的增大而增大；x 0時， y 隨向上y 軸x 的增大而減小；x 0 時， y 有最小值 c a00 ，cx0 時， y 隨 x 的增大而減??；x 0時， y 隨向下y 軸x 的增大而增大；x 0 時， y 有最大值 c 23. y a x h 的性質(zhì)：結(jié)論：左 加右減。 同左上加，異右下減總結(jié)：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0h ，0xh 時， y 隨 x 的增大而增大；x h 時， y 隨向上X=hx h 時， y 有最小值 0 x 的增大而減??；a0h ，0xh 時， y 隨 x 的增大而減?。粁 h 時， y 隨向下X=hx h 時， y 有最大值 0

15、x 的增大而增大；24.ya xhk 的性質(zhì)：總結(jié)：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0h ，kxh 時， y 隨 x 的增大而增大； xh 時， y 隨向上X=hxh 時， y 有最小值 k x 的增大而減??；a0h ，kxh 時， y 隨 x 的增大而減??； xh 時， y 隨向下X=hxh 時， y 有最大值 k x 的增大而增大；二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)2h，k ；a x hk ，確定其頂點坐標 保持拋物線 y ax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k 處，具體平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|個單位y

16、=ax 2+ky=ax2向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 ( h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|個單位平移 |k|個單位平移 |k|個單位向上 ( k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|個單位y=a( x-h)2y=a (x-h)2+k向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|個單位2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負左移；k 值正上移，負下移”概括成八個字“同左上加，異右下減 ”三、二次函數(shù) ya x2k 與 y ax2c 的比較hbx請將 y2x24x

17、5 利用配方的形式配成頂點式。請將yax2bx c 配成 y2a x hk 。總結(jié)：從解析式上看，ya xh22bxc是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前k 與 yaxb24acb 2b ，k4ac b2者，即 ya x，其中 h2a4a2a4a四、二次函數(shù) y ax2bx c 圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y ax2bxc 化為頂點式 y a (xh)2k ， 確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖. 一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點 0，c 、以及 0，c 關(guān)于對稱軸對稱的點2h ，c、與 x 軸的交點x1 ，0 ， x2 ，0

18、（若與 x軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與y 軸的交點 .五、二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)1.當 a0 時，拋物線開口向上，對稱軸為xb，頂點坐標為b ，4 acb22a2a4a當 xb時， y 隨 x 的增大而減小；當xb時， y 隨 x 的增大而增大；當xb時， y 有最2a2a2a小值 4acb24a2.當 a0 時，拋物線開口向下，對稱軸為xb，頂點坐標為b ，4acb2當 xb 時， y2a2a4 a2a隨 x 的增大而增大；當xb 時， y 隨 x 的增大而減??；當 xb 時， y 有最大值 4acb2

19、2a2a4a六、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù) ， a0 ）；2.頂點式： ya( xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù) ， a 0 ）；3.兩根式： ya( xx1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點，即b24 ac 0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .七、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項系數(shù)a2二次函數(shù)yaxbxc中， a 作為二次項系數(shù)，顯然a0 當 a 當 a0 時，拋物線開口向上，0 時，拋物線開口向下，a 的值越大，開口越小，反之 a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； a 的值越大，開口越大總結(jié)起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) b在二次項系數(shù)a 確定的前提下，