初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總.

1、1. 定義 ：一般地，如果yax2bxc(a,b, c 是常數(shù)， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù) .2. 二次函數(shù) y ax2 的性質(zhì)（ 1）拋物線(xiàn)y ax2 的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y 軸 .（ 2）函數(shù) yax2 的圖像與 a 的符號(hào)關(guān)系 .當(dāng) a0 時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng) a0 時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn) .（ 3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y 軸的拋物線(xiàn)的解析式形式為y ax2（ a0）.3. 二次函數(shù) y ax2 bx c 的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于（包括重合） y 軸的拋物線(xiàn) .4.二 次 函 數(shù) y ax 2bxc 用 配 方 法 可 化 成 ： y a x

2、h 2k 的 形 式 ， 其 中hb ， k4ac b 2.2a4a5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：y ax2 ； y ax2k ； y a x h 2；y a x h 2k ； y ax 2bx c .6.拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn). a 的符號(hào)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向：當(dāng)a0 時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；a 相等，拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小、形狀相同.平行于 y 軸（或重合）的直線(xiàn)記作xh . 特別地，y 軸記作直線(xiàn) x0.7. 頂點(diǎn)決定拋物線(xiàn)的位置 . 幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a 相同，那么拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.228. 求拋

3、物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法（1）公式法： y ax2bx ca xb4ac b，頂點(diǎn)是2a4a（b4acb 2b，）.2a4a，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) x2a（ 2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線(xiàn)的解析式化為 ya xh 2k 的形式，得到頂點(diǎn)為( h , k ) ，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xh .（ 3）運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.9. 拋物線(xiàn) yax2bx c 中， a, b, c 的作用（ 1） a 決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y ax2 中

4、的 a 完全一樣 .（ 2） b 和 a 共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置. 由于拋物線(xiàn) yax2bxc 的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xbb0 （即a 、 b 同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y 軸左側(cè)；，故： b 0 時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y 軸； b2aa0（即 a 、 b 異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y 軸右側(cè) .a（ 3） c 的大小決定拋物線(xiàn) y ax 2bxc 與 y 軸交點(diǎn)的位置 .當(dāng) x0 時(shí)， y c ，拋物線(xiàn) yax2bx c 與 y 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（ 0， c ）： c0 ，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn) ; c0 , 與 y 軸交于正半軸；c0 , 與 y 軸交于負(fù)半軸 .以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立. 如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在b

5、0 .y 軸右側(cè)，則a10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)yax2x0（ y 軸）（0,0 ）yax2kx0（ y 軸）(0,k )ya xh2當(dāng) a 0時(shí)xh(h ,0)ya xh2開(kāi)口向上x(chóng)h(h ,k )ky ax 2當(dāng) a 0時(shí)bb 4ac b 2bx cx開(kāi)口向下2a(，)2a4a11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（ 1）一般式： yax2bxc . 已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x 、 y 的值，通常選擇一般式 .（ 2）頂點(diǎn)式： ya xh 2k . 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（ 3）交點(diǎn)式：已知圖像與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) x1 、 x2

6、 ，通常選用交點(diǎn)式： y a x x1 x x2 .12. 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)（ 1） y 軸與拋物線(xiàn)yax2bxc 得交點(diǎn)為 (0,c ).（ 2）與y 軸平行的直線(xiàn)xh 與拋物線(xiàn)yax 2bxc 有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h ,ah 2bhc ).（ 3）拋物線(xiàn)與x 軸的交點(diǎn)二次函數(shù)yax2bxc 的圖像與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1 、x2 ，是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax 2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 拋物線(xiàn)與x 軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線(xiàn)與x 軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x 軸上）0拋物線(xiàn)與x 軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線(xiàn)與x 軸相離.（ 4）平行于x 軸的直線(xiàn)與

7、拋物線(xiàn)的交點(diǎn)同（ 3）一樣可能有0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為 k ，則橫坐標(biāo)是 ax 2bxc k 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .（ 5）一次函數(shù) ykx n k0 的圖像 l 與二次函數(shù) yax2bxc a0 的圖像 G 的交點(diǎn)，由方程組ykxn的解的數(shù)目來(lái)確定： 方程組有兩組不同的解時(shí)l 與 G 有兩個(gè)交點(diǎn) ; yax2bx c方程組只有一組解時(shí)l 與 G 只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)l 與 G 沒(méi)有交點(diǎn) .（ 6）拋物線(xiàn)與 x 軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線(xiàn)y ax2bxc 與 x 軸兩交點(diǎn)為 A x1，0 ， B x2，0 ，由于 x1

8、、 x2 是方程 ax2bxc0 的兩個(gè)根，故x1x2b , x1 x2caa2b2ABx1x2x1x22x1 x224x1x2b4c4acaaaa二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：2( , 是常數(shù)，0)yaxbxc a b ca（2）頂點(diǎn)式：()2( ,是常數(shù)，0)ya xhk a h ka（3）當(dāng)拋物線(xiàn) yax2bxc 與 x 軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程 ax 2bx c0 有實(shí)根 x1 和 x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式ax2bx c a( xx1 )( x x2 ) ，二次函數(shù) yax2bx c 可轉(zhuǎn)化為兩根式 y a( xx1 )( xx2 )。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這

9、樣表示?？键c(diǎn)三、二次函數(shù)的最值（10 分） 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值） ，即當(dāng) xb4acb2時(shí)， y最值4a。2a如果自變量的取值范圍是x1 xx2bx1x x2 內(nèi)，那么，首先要看是否在自變量取值范圍2a若在此范圍內(nèi)， 則當(dāng) x=b時(shí)， y最值4acb 2；若不在此范圍內(nèi)， 則需要考慮函數(shù)在x1xx2 范2a4a圍內(nèi)的增減性， 如果在此范圍內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大， 則當(dāng) xx2 時(shí)， y最大 ax22bx2c ，當(dāng) xx1時(shí)， y最小 ax12bx1c ；如果在此范圍內(nèi)， y 隨 x 的增大而減小， 則當(dāng) xx1 時(shí)， y最大ax12bx

10、1c ，當(dāng) x x2 時(shí)， y最小ax 2bx c。22考點(diǎn)四、二次函數(shù)的性質(zhì)（614 分）1、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)函數(shù)yax 2bxc( a,b, c是常數(shù)， a0)a>0a<0yy圖像0x0x（ 1）拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；（ 1）拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；（ 2）對(duì)稱(chēng)軸是 x=bb（ 2）對(duì)稱(chēng)軸是 x=bb，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，2a2a2a2a4acb24ac b2）；4a）；4a性質(zhì)bb（ 3）在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng) x<（ 3）在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng) x<時(shí)， y 隨 x時(shí)， y 隨2a2a的增大而減小；在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，即當(dāng)x的增大而增大；

11、在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，即當(dāng)x>bx>b時(shí)， y 隨 x 的增大而減小，簡(jiǎn)記左時(shí)， y 隨 x 的增大而增大， 簡(jiǎn)記左減2a2a右增；增右減；（ 4）拋物線(xiàn)有最低點(diǎn)，當(dāng)b時(shí)， y 有最小（ 4）拋物線(xiàn)有最高點(diǎn)，當(dāng)x=bx=時(shí)， y 有最2a2a4acb24acb 2值， y最小值大值， y最大值4a4a2yax2bxc(a,b, c是常數(shù)， a0)中， a、 b、 c 的含義：a表示開(kāi)口方向：a >0、二次函數(shù)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上， ，a <0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下b 與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)：對(duì)稱(chēng)軸為x=b2ac 表示拋物線(xiàn)與y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)： （ 0， c ）3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)

12、系一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。因此一元二次方程中的b24ac ，在二次函數(shù)中表示圖像與x 軸是否有交點(diǎn)。當(dāng) >0 時(shí)，圖像與當(dāng) =0 時(shí)，圖像與當(dāng) <0 時(shí)，圖像與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；x 軸有一個(gè)交點(diǎn)；x 軸沒(méi)有交點(diǎn)。二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax2bx c （ ab c 是常數(shù)， a0 ）， ，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0 ，而 b，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù) y ax 2bxc 的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是

13、2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)，b 是一次項(xiàng)系數(shù)，c 是常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：oo結(jié)論： a 的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小?？偨Y(jié)：a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a00 ，0x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；x 0時(shí)， y 隨向上y 軸x 的增大而減??；x 0 時(shí)， y 有最小值 0 a00 ，0x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。粁 0時(shí)， y 隨向下y 軸x 的增大而增大；x 0 時(shí)， y 有最大值 0 2. yax2c 的性質(zhì)：結(jié)論： 上加下減。 同左上加，異右下減總結(jié)：a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a00 ，

14、cx0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；x 0時(shí)， y 隨向上y 軸x 的增大而減小；x 0 時(shí)， y 有最小值 c a00 ，cx0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；x 0時(shí)， y 隨向下y 軸x 的增大而增大；x 0 時(shí)， y 有最大值 c 23. y a x h 的性質(zhì)：結(jié)論：左 加右減。 同左上加，異右下減總結(jié)：a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a0h ，0xh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；x h 時(shí)， y 隨向上X=hx h 時(shí)， y 有最小值 0 x 的增大而減??；a0h ，0xh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；x h 時(shí)， y 隨向下X=hx h 時(shí)， y 有最大值 0

15、x 的增大而增大；24.ya xhk 的性質(zhì)：總結(jié)：a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a0h ，kxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； xh 時(shí)， y 隨向上X=hxh 時(shí)， y 有最小值 k x 的增大而減?。籥0h ，kxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； xh 時(shí)， y 隨向下X=hxh 時(shí)， y 有最大值 k x 的增大而增大；二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟： 將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)2h，k ；a x hk ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) 保持拋物線(xiàn) y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k 處，具體平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|個(gè)單位y

16、=ax 2+ky=ax2向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 ( h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|個(gè)單位平移 |k|個(gè)單位平移 |k|個(gè)單位向上 ( k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|個(gè)單位y=a( x-h)2y=a (x-h)2+k向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|個(gè)單位2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“同左上加，異右下減 ”三、二次函數(shù) ya x2k 與 y ax2c 的比較hbx請(qǐng)將 y2x24x

17、5 利用配方的形式配成頂點(diǎn)式。請(qǐng)將yax2bx c 配成 y2a x hk 。總結(jié)：從解析式上看，ya xh22bxc是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前k 與 yaxb24acb 2b ，k4ac b2者，即 ya x，其中 h2a4a2a4a四、二次函數(shù) y ax2bx c 圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y ax2bxc 化為頂點(diǎn)式 y a (xh)2k ， 確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖. 一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn) 0，c 、以及 0，c 關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)2h ，c、與 x 軸的交點(diǎn)x1 ，0 ， x2 ，0

18、（若與 x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)）.畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與x 軸的交點(diǎn)，與y 軸的交點(diǎn) .五、二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)1.當(dāng) a0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4 acb22a2a4a當(dāng) xb時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng)xb時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb時(shí)， y 有最2a2a2a小值 4acb24a2.當(dāng) a0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4acb2當(dāng) xb 時(shí)， y2a2a4 a2a隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。划?dāng) xb 時(shí)， y 有最大值 4acb2

19、2a2a4a六、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù) ， a0 ）；2.頂點(diǎn)式： ya( xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù) ， a 0 ）；3.兩根式： ya( xx1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2是拋物線(xiàn)與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線(xiàn)與 x 軸有交點(diǎn)，即b24 ac 0 時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù)a2二次函數(shù)yaxbxc中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0 當(dāng) a 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，a 的值越大，開(kāi)口越小，反之 a 的值越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開(kāi)口越大； a 的值越大，開(kāi)口越大總結(jié)起來(lái)，a 決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向，a 的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a 的大小決定開(kāi)口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) b在二次項(xiàng)系數(shù)a 確定的前提下，