初中數(shù)學各種公式(完整版)

1、.數(shù)學各種公式及性質(zhì)1 乘法與因式分解 (ab)(ab)a2 b2；(ab)2a22abb2； (ab)(a2ab b2) a3b3；(ab)(a2abb2) a3 b3； a2b2(a b)2 2ab；(ab)2(a b)24ab。2 冪的運算性質(zhì)namanam+n；aman am-n；(am)namn；(ab)nan bn；( a )n an ；bba-n 1n ，特別： ()-n( )n；a0 1(a0)。a3 二次根式( )2a(a0)；丨 a丨； ；(a 0， b0)。4 三角不等式|a|-|b| |a b| |a|+|b|（定理）；加強條件： |a|-|b| |a b| 也|a|+

2、|b|成立，這個不等式也可稱為向量的三角不等式（其中a，b 分別為向量 a 和向量 b）|a+b| |a|+|b|；|a-b| |a|+|b|；|a| b- a；b|a-b| |a|-|b|； -|a| a；|a|5 某些數(shù)列前 n 項之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2； 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n2 ；2+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1)； 12+22+32 +42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/6；3333333221*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+ +n(n+1)=n(n+1

3、)(n+2)/3 ；1 +2 +3 +4 +5 +6 + n=n(n+1) /4；6 一元二次方程對于方程： ax2 bx c 0：2求根公式 是xbb4ac ，其中 b2 4ac叫做根的判別式。2a當 0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當 0時，方程沒有實數(shù)根注意：當0時，方程有實數(shù)根。; .若方程有兩個實數(shù)根 x1 和x2，則二次三項式 ax2bxc可分解為 a(x x1 )(xx2)。以a和b為根的一元二次方程是x2(a b)x ab0。7 一次函數(shù)一次函數(shù) y kxb(k 0)的圖象是一條直線 (b是直線與 y軸的交點的縱坐標，稱為截距)。當k0時， y

4、隨x的增大而增大 (直線從左向右上升 )；當k0時， y隨x的增大而減小 (直線從左向右下降 )；特別地：當 b0時， y kx(k0)又叫做正比例函數(shù) (y與x成正比例 )，圖象必過原點。8 反比例函數(shù)反比例函數(shù) y (k 0)的圖象叫做雙曲線。當k0時，雙曲線在一、三象限(在每一象限內(nèi)，從左向右降)；當k0時，雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)。9二次函數(shù)（1）.定義：一般地，如果 yax 2bxc(a,b,c 是常數(shù)， a0) ，那么（2）.拋物線的三要素： 開口方向、對稱軸、頂點。 a 的符號決定拋物線的開口方向：當 a 0 時，開口向上；當 a a 相等，拋物線的開口大

5、小、形狀相同。 平行于 y 軸（或重合）的直線記作 x h .特別地， y 軸記作直線（3）.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：y 叫做 x 的二次函數(shù)。0 時，開口向下；x 0 。函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y ax 2x0（ y 軸）（0,0）yax2k當 a 0 時0（ y 軸）(0,k )xya xh 2開口向上x h(h ,0)y a x h 2k當 a 0時x h( h ,k )2開口向下bb4ac b 2yaxbxcx(，)2a2a4a（4）.求拋物線的頂點、對稱軸的方法; .b24ac b2b4acb2公式法： yax2bx c a x，頂點是（，），對稱軸是2a4a2a4

6、a直線 xb 。2a配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y a x h 2k 的形式，得到頂點為( h , k )，對稱軸是直線 xh 。運用拋物線的對稱性： 由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。x1 x2若已知拋物線上兩點 (x1, y)、(x2 , y)（及 y 值相同），則對稱軸方程可以表示為： x2（ 5） .拋物線 yax 2bx c 中， a, b, c 的作用 a 決定開口方向及開口大小，這與yax2 中的 a 完全一樣。 b 和 a 共同決定拋物線對稱軸的位置 .由于拋物線 yax 2bxc 的對稱軸是直線。xb ，故： b 0時，對稱軸為

7、 y 軸； b0 （即 a 、 b 同號）時，對稱軸在 y 軸2aa左側(cè)； b0 （即 a 、 b 異號）時，對稱軸在 y 軸右側(cè)。a c 的大小決定拋物線 y ax 2bxc 與 y 軸交點的位置。當 x0時， yc ，拋物線 yax 2bx c 與 y 軸有且只有一個交點（ 0， c ）： c0 ，拋物線經(jīng)過原點 ; c0 ,與 y 軸交于正半軸； c0 ,與 y 軸交于負半軸 .以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立 .如拋物線的對稱軸在 y 軸右側(cè)，則b。0（ 6） .用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式a一般式： yax2bxc .已知圖像上三點或三對 x 、 y 的值，通常選擇一般式 .

8、頂點式： ya xh 2k .已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式。交點式：已知圖像與 x 軸的交點坐標 x1、 x2 ，通常選用交點式： y a x x1 xx2 。（7）.直線與拋物線的交點 y 軸與拋物線 yax 2bx c 得交點為 (0, c )。拋物線與 x 軸的交點。二次函數(shù) yax2bxc 的圖像與 x 軸的兩個交點的橫坐標x1 、 x2 ，是對應一元二次方程ax 2bxc0 的兩個實數(shù)根 .拋物線與 x 軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：a 有兩個交點(0 )拋物線與 x 軸相交；b 有一個交點（頂點在x 軸上）(0 )拋物線與 x 軸相切；c 沒有交點

9、(0 )拋物線與 x 軸相離。平行于 x 軸的直線與拋物線的交點; .同一樣可能有0 個交點、 1 個交點、 2 個交點 .當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為 k ，則橫坐標是 ax 2bx c k 的兩個實數(shù)根。一次函數(shù) ykxn k0的圖像 l 與二次函數(shù) y ax 2bx c a0的圖像 G 的交點，由ykxn方程組ax2 bxc的解的數(shù)目來確定：ya 方程組有兩組不同的解時l 與 G 有兩個交點；b 方程組只有一組解時l 與 G 只有一個交點；c 方程組無解時l 與 G 沒有交點。 拋 物 線 與 x 軸 兩 交 點 之 間 的 距 離 ：若 拋 物 線 y ax2bx

10、c 與 x 軸 兩 交 點 為A x ， B x ，則ABx1 x21 02010統(tǒng)計初步（1）概念：所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一個考察對象叫做個體從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量 在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù) (有時不止一個 )，叫做這組數(shù)據(jù)的 眾數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個數(shù) (或兩個數(shù)的平均數(shù) )叫做這組數(shù)據(jù)的 中位數(shù)（2）公式： 設有 n 個數(shù) x1，x2， ，xn，那么：平均數(shù)為： x = x1 + x2 + .+ xn ；n極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱

11、為極差，即：極差=最大值 -最小值；方差：數(shù)據(jù) x1、 x2, xn 的方差為 s2，2輊2-22則 s= 1 犏(x 1 -x ) + ( x 2x ) + . + ( x n -x )n 臌標準差：方差的算術(shù)平方根。數(shù)據(jù) x1、 x2, xn 的標準差 s，1輊222則 s=犏x1 -x)+(x 2 -x)+ . +(x n -x)n(臌; .一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定。11頻率與概率（1）頻率頻率 = 頻數(shù)，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1，頻率分布直方圖中各總數(shù)個小長方形的面積為各組頻率。（ 2）概率如果用 P 表示一個事件 A 發(fā)生的概率，則 0

12、P（A ）1；P（必然事件） =1； P（不可能事件） =0；在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發(fā)生的概率。大量的重復實驗時頻率可視為事件發(fā)生概率的估計值；12 銳角三角形設 A是 ABC 的任一銳角，則 A的正弦： sinA，A的余弦： cosA，A的正切： tanA并且 sin2Acos2A1。0sinA 1， 0 cosA1，tanA0A越大， A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。余角公式 ：sin(90o A)cosA，cos(90oA) sinA。特殊角的三角函數(shù)值： sin30o cos60o ， sin45ocos45o，sin60ocos

13、30o，tan30o，tan45o1， tan60o。鉛垂高度斜坡的坡度： i 設坡角為 ，則 i tan 。水平寬度h13 正（余）弦定理l（1）正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中R 表示三角形的外接圓半徑。正弦定理的變形公式： (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC ； (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c （2）余弦定理 b2 =a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC；注： C所對的邊為 c， B 所對的邊為 b， A 所對的邊為 a14 三角函

14、數(shù)公式（1） 兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA; .cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)（2） 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-

15、1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a（3） 半角公式sin(A/2)=-(1cosA)/2) sin(A/2)=- (1-cosA)/2)cos(A/2)= (1+cosA)/2) cos(A/2)=- (1+cosA)/2)tan(A/2)=-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=- (1-cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)= (1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=- (1+cosA)/(1-cosA)（4） 和差化積sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2c

16、os(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB（5） 積化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)15 平面直角坐標系中的有關(guān)知識（1）對稱性： 若直角坐標系內(nèi)一點P（a，b），則 P 關(guān)于 x

17、軸對稱的點為 P1（a，b）， P 關(guān)于y 軸對稱的點為 P2 （a，b），關(guān)于原點對稱的點為P3（ a， b）。（2）坐標平移： 若直角坐標系內(nèi)一點P（ a， b）向左平移 h 個單位，坐標變?yōu)镻（ah，b），向右平移 h 個單位，坐標變?yōu)镻（ah，b）；向上平移 h 個單位，坐標變?yōu)镻（ a， bh），向下平移 h 個單位，坐標變?yōu)镻（a，bh）.如：點 A （2， 1）向上平移 2 個單位，再向右平移 5 個單位，則坐標變?yōu)锳 （ 7， 1）。16 多邊形內(nèi)角和公式多邊形內(nèi)角和公式： n邊形的內(nèi)角和等于 (n2)180o（n3，n是正整數(shù)），外角和等于360o17 平行線段成比例定理（1

18、）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。; .如圖： abc，直線 l 1 與 l2 分別與直線 a、b、 c 相交與點 A、B、 C 和 D、 E、 F，則有 ABDE,ABDE,BCEF 。BCEFACDFACDF（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。如圖：ABC中，DEBC，DE與AB、AC相交與點D、E，則有：ADAE,ADAEDE,DBECDBECABACBCABACl 1l 2ADaBEbcCFAEDADEBBCC18 直角三角形中的射影定理C直角三角形中的射影定理：如圖： Rt ABC 中， ACB90

19、o，CDAB 于 D，則有：（1） CD 2AD BD （2） AC 2AD AB （3） BC 2BDABADB19 圓的有關(guān)性質(zhì)（1）垂徑定理 ：如果一條直線具備以下五個性質(zhì)中的任意兩個性質(zhì)：經(jīng)過圓心； 垂直弦； 平分弦； 平分弦所對的劣?。?平分弦所對的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個性質(zhì)注：具備 ， 時，弦不能是直徑。（2）兩條平行弦所夾的弧相等。（3）圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。（4）一條弧所對的 圓周角 等于它所對的 圓心角的一半。（5）圓周角等于它所對的弧的度數(shù) 的一半。（6）同弧或等弧 所對的圓周角相等。（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。（8）90o的圓周角所對的弦是 直徑，反之，直徑所對的圓周角是90o，直徑是最長的弦。、（9）圓內(nèi)接四邊形 的對角互補。; .20 三角形的內(nèi)心與外心（1）三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點。（2）三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心三角形的外心就是三邊中垂線的交點常見結(jié)論：RtABC 的三條邊分別為：