初中幾何輔助線大全(很詳細(xì)哦).

1、初中幾何輔助線克勝秘籍等腰三角形1. 作底邊上的高，構(gòu)成兩個全等的直角三角形，這是用得最多的一種方法；2. 作一腰上的高；3 . 過底邊的一個端點作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構(gòu)成直角三角形。梯形1. 垂直于平行邊2. 垂直于下底，延長上底作一腰的平行線3. 平行于兩條斜邊4. 作兩條垂直于下底的垂線5. 延長兩條斜邊做成一個三角形菱形1. 連接兩對角2. 做高平行四邊形1. 垂直于平行邊2. 作對角線把一個平行四邊形分成兩個三角形3. 做高 形內(nèi)形外都要注意矩形1. 對角線2. 作垂線很簡單。無論什么題目，第一位應(yīng)該考慮到題目要求，比如AB=AC+BD.這類的就是想辦法作出另一條AB等

2、長的線段，再證全等說明AC+BD= 另一條AB,就好了。還有一些關(guān)于平方的考慮勾股，A 字形等。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等）。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。解幾何題時如何畫輔助線?見中點引中位線，見中線延長一倍在幾何題中，如果給出中點或中線， 可以考慮過中點作中位線或把中線延長一倍來解決相關(guān)問題。在比例線段證明中，常作平行線。作平行線時往往是保留結(jié)論中的一個比，然后通過一個中間比與

3、結(jié)論中的另一個比聯(lián)系起來。對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有1、過上底的兩端點向下底作垂線2、過上底的一個端點作一腰的平行線3、過上底的一個端點作一對角線的平行線4、過一腰的中點作另一腰的平行線5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交6、作梯形的中位線7、延長兩腰使之相交四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線初中數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件不夠時，添加輔助線

4、構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。一 添輔助線有二種情況：1 按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90 °；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2 按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：（1）平行線是個基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條

5、平行線都相交的等第三條直線（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。（5）三角形中位線基本圖形幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往

6、往添加三角形中位線基本圖形進行證明當(dāng)有中點沒有中位線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。（6）全等三角形：全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等

7、三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行線（8）特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn) 30 ， 45 ，60 ，135 ，150 度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用 45角直角三角形三邊比為1：1： 2 ；30 度角直角三角形三邊比為1 ：2： 3進行證明二基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法方法 1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線， 通過這種方法， 把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法 2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。

8、方法 3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法 4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法， 所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分， 證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂

9、點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。 它是平行四邊形、 三角形知識的綜合， 通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。 輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯

10、形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（9）作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中， 添加的輔助線并不一定是固定不變的、 單一的。通過輔助線這座橋梁， 將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。作輔助線的方法一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn) 180 度，得到全

11、等形， ，這時輔助線的做法就會應(yīng)運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見。 ”托列米定理和梅葉勞定理

12、的證明輔助線分別是造角和平移的代表）九：面積找底高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬銮竺娣e，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀?。三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時， 若直接證不出來， 可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中， 再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 1：已知如圖 1-1 ： D、 E 為

13、ABC內(nèi)兩點 , 求證 :AB ACBD DE CE.證明：（法一） 將 DE兩邊延長分別交AB、 AC 于 M、 N，AMNAM ANMDDENE;1BDMMB MD BD2CENCN NE CE3123AMANMBMD CN NEMD DENEBDCEAB AC BD DE ECAAGFMDENDEBCB圖1C圖1 12（法二：1-2BDACFCEBFGABFGFCGDEABAFBDDGGF1GFFCGECE2DG GE DE3123ABAFGFFCDGGE BDDG GFGE CEDEAB AC BD DE EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時， 可連接兩

14、點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：2-1DABCBDCBACBDCBAC BDCBACAGEDBFCBD ACEBDCEDC圖 21 BDC DEC，同理 DEC BAC， BDC BAC證法二：連接AD，并延長交BC于 F BDF是 ABD的外角 BDF BAD，同理， CDF CAD BDF CDF BAD CAD即： BDC BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，

15、構(gòu)A造全等三角形，如：N例如：如圖 3-1 ：已知 AD為 ABC的中線，且 1 2, 34, 求證： BE CF EF。EF分析：要證 BE CF EF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，1234BDC須把 BE ， CF ，EF 移到同一個三角形中，而由已知 1 2，3圖314，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N ，EF 移到同一個三角形中。證明： 在 DA上截取 DNDB，連接 NE， NF，則 DNDC，在 DBE和 DNE中：DNDB ( 輔助線的作法) 1 2(已知 ) ED ED (公共邊 ) DBE DNE （SAS）BE NE（全等三角形對應(yīng)邊相

16、等）同理可得： CF NF在 EFN中 EN FNEF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE CFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1 ： AD為 ABC的中線，且1 2， 3 4，求證： BE CF EF證明 ：延長 ED至 M，使 DM=DE，連接ACM， MF。在 BDE和 CDM中，BDCD(中點的定義 )EF1對頂角相等)23CDM (4ED輔助線的作法)1CMD (BD BDE CDM （ SAS）又 1 2， 3 4 （

17、已知）1 2 3 4 180°（ 平角的定義 ） 3 2=90°，即 ： EDF90° FDM EDF 90°在 EDF和 MDF中M圖 41EDMD (輔助線的作法 ) EDF FDM (已證 ) DF DF (公共邊 ) EDF MDF （SAS） EF MF （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在 CMF中， CFCM MF（三角形兩邊之和大于第三邊） BE CF EF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：

18、如圖5-1 ： AD為 ABC的中線，求證：AB AC2AD。分析：要證 AB AC 2AD ，由圖想到： AB BD AD,AC CD AD ，所以有AB AC BD CD AD AD 2AD ，左邊比要證結(jié)論多BD ACD ，故不能直接證出此題，而由2AD 想到要構(gòu)造2AD ，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。BDC證明：延長 AD至 E，使 DE=AD，連接 BE，則 AE 2ADAD為 ABC的中線（已知）EBD CD（中線定義）在 ACD和 EBD中已證BD CD()ADC對頂角相等)圖 51EDB (ADED (輔助線的作法 ) ACD EBD （ SAS）EF B

19、E CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）A在 ABE中有：AB BE AE（三角形兩邊之和大于第三邊） AB AC 2AD。（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）BDC圖52練習(xí)：已知 ABC ， AD 是 BC 邊上的中線，分別以AB 邊、 AC 邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證 EF 2AD 。六、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1 ：在 ABC中， AB AC， 1 2， P 為 AD 上任一點。求證： AB ACPB PC。A分析：要證： AB AC PB PC ，想到利用三角形三邊關(guān)1 2NPCDB圖6 1M系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從

20、而想到構(gòu)造第三邊ABAC ，故可在AB 上截取 AN 等于 AC ，得 AB AC BN， 再連接 PN ，則 PC PN ，又在PNB 中， PB PN BN ，即： AB AC PB PC 。證明：（截長法）在 AB上截取 AN AC連接 PN ,在 APN和 APC中ANAC (輔助線的作法 ) 1 2(已知 ) AP AP(公共邊 ) APN APC （ SAS） PC PN （全等三角形對應(yīng)邊相等）在 BPN中，有 PB PN BN （三角形兩邊之差小于第三邊） BP PC AB AC證明：（補短法）延長 AC至 M，使 AM AB，連接 PM，在 ABP和 AMP中ABAM (輔助

21、線的作法) 1 2(已知 ) AP AP (公共邊 ) ABP AMP （ SAS） PB PM （全等三角形對應(yīng)邊相等）又在 PCM中有： CM PMPC(三角形兩邊之差小于第三邊) AB AC PB PC。七、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1 ：已知 ACBD， AD AC于 A ， BC BD于 B，求證： AD BC分析：欲證AD BC ，先證分別含有AD ， BC 的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD ，AOD 與BOC ，ABD 與BAC ，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長DA， CB，它們的延

22、長交于E 點， AD AC BC BD （已知） CAE DBE 90° （垂直的定義）在 DBE與 CAE中E E(公共角 ) DBE CAE(已證 ) BD AC(已知 ) DBE CAE（ AAS） ED EC EB EA （全等三角形對應(yīng)邊相等） ED EA EC EB即： AD BC。EABODC圖71（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖8-1 ： AB CD， ADBC求證： AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明 ：連接

23、 AC（或 BD）AB CD AD BC （已知） 1 2， 3 4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在 ABC與 CDA中AD131已證)2(2AC公共邊)4CA(BC3已證)4(圖8 1 ABC CDA （ASA）AB CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖 9-1 ：在 Rt ABC中， AB AC， BAC 90°， 1 2， CE BD的延長于 E 。求證： BD 2CE分析：要證 BD 2CE ，想到要構(gòu)造線段2CE ，同時FCE 與ABC 的平分線垂直，想到要將其延長。AE證明：分別延長BA， CE交于點 F。D BE CF （

24、已知）1B2C BEF BEC 90° （垂直的定義）圖91在 BEF與 BEC中，1已知2()BE BE(公共邊 )BEF已證BEC() BEF BEC（ ASA） CE=FE=1 CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）2 BAC=90° BE CF （已知） BAC CAF90° 1 BDA 90° 1 BFC 90° BDA BFC在 ABD與 ACF中BACCAF (已證 )BDABFC (已證 )ABAC (已知 ) ABD ACF （ AAS） BDCF （全等三角形對應(yīng)邊相等） BD 2CE十、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖1

25、0-1 ； AC、 BD相交于 O點，且 ABDC， AC BD，求證： A D。分析：要證 AD，可證它們所在的三角形ABO 和DCO 全等，而只有AB DC 和對頂角兩個條件，差一個條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB DC ，AC BD ，若連接BC ，則ABC 和DCB 全等，所以，證得 AD 。證明：連接BC，在 ABC和 DCB中ADOABDC (已知 )ACDB (已知 )BCCB (公共邊 )BC ABC DCB (SSS)圖101 A D ( 全等三角形對應(yīng)邊相等 )十一、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1 ： AB DC， A D 求證： ABC

26、DCB。分析：由 AB DC ，AD ，想到如取AD 的中點 N，連接 NB ， NC ，再由 SAS 公理有ABN DCN ，故 BN CN ，ABN DCN 。下面只需證 NBC NCB ，再取BC 的中點M，連接 MN ，則由 SSS 公理有NBM NCM ，所以NBC NCB 。問題得證。證明：取 AD， BC的中點 N、 M，連接 NB， NM， NC。則 AN=DN， BM=CM，在 ABN和 DCNAN輔助線的作法)ANDDN (中A已知)D(AB已知)DC ( ABN DCN （ SAS）BMC圖111 ABN DCNNB NC （全等三角形對應(yīng)邊、角相等）在 NBM與 NCM

27、中NBNC(已證) BMCM (輔助線的作法 ) NM NM (公共邊 ) NMB NCM，(SSS) NBC NCB（全等三角形對應(yīng)角相等） NBC ABN NCB DCN 即 ABC DCB。巧求三角形中線段的比值例 1. 如圖 1，在 ABC 中， BD： DC1： 3， AE： ED2： 3，求AF： FC。解：過點 D 作 DG/AC，交 BF于點 G所以 DG：FCBD：BC因為 BD：DC1：3所以 BD：BC1：4即 DG： FC1：4，F(xiàn)C 4DG因為 DG：AFDE：AE又因為 AE： ED2：3所以 DG：AF3：2即所以 AF：FC：4DG1：6例 2. 如圖 2，BC

28、 CD， AF FC，求 EF： FD解：過點 C 作 CG/DE交 AB于點 G，則有 EF： GCAF：AC因為 AFFC所以 AF：AC 1： 2即 EF： GC1：2，因為 CG：DEBC：BD所以 BC：BD1：2CG又因為 BCCD：DE1：2即 DE2GC因為 FDEDEF所以 EF： FD小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。 請再看兩例，讓我們感受其中的奧妙！例 3. 如圖 3，BD： DC 1： 3，AE： EB 2： 3，求 AF： FD。解：過點 B 作 BG/AD，交 CE延長線于點 G。所以

29、DF：BGCD：CB因為 BD：DC1：3所以 CD：CB 3： 4即 DF： BG3：4，因為 AF：BGAE：EB又因為 AE：EB2：3所以 AF：BG2：3即所以 AF：DF例 4. 如圖 4，BD： DC 1： 3，AF FD，求 EF： FC。解：過點 D 作 DG/CE，交 AB于點 G所以 EF：DGAF：AD因為 AFFD所以 AF：AD1：2圖 4即 EF： DG1：2因為 DG：CEBD：BC，又因為 BD： CD1：3，所以 BD： BC1：4即 DG： CE1：4，CE 4DG因為 FCCEEF所以 EF：FC1：7練習(xí)：1. 如圖 5， BDDC， AE： ED 1

30、： 5，求 AF：FB。2. 如圖 6， AD：DB 1： 3， AE： EC 3： 1，求 BF： FC。答案： 1、1：10；2. 9：1初中幾何輔助線一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中

31、心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)： a、對稱性； b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平

32、分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下， 出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線； 其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線EA（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與ODC猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能FB圖1-1掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。 下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖 1-1 ，AOC=BOC，如取 OE=OF，并連接 DE、DF，則有 OED OF

33、D，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。A例1 如圖 1-2 ，AB/CD， BE平分 BCD，ECE平分 BCD，點 E 在 AD上，求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利BF用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分圖1-2線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等， 延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達(dá)到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段 BC上截取

34、 BF=AB，再證明 CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。 此題的證明也可以延長 BE與 CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2 已知：如圖 1-3 ，AB=2AC， BAD=CAD，DA=DB，求證 DCACDC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。ACEDB圖 1-3例3已知：如圖 1-4 ，在 ABC中， C=2 B,AD 平分 BAC，求證： AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線， 在證明A中還要用到構(gòu)造全等三角形， 此題還是證明線段的和差倍分問題。 用到的是截

35、取法來證明的， 在長的E線段上截取短的線段， 來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？CBD練習(xí)圖 1-41已知在 ABC中， AD平分 BAC， B=2C，求證： AB+BD=AC2已知：在 ABC中， CAB=2B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC，求證： AE=2CE3已知：在 ABC中， AB>AC,AD為 BAC的平分線， M為 AD上任一點。求證： BM-CM>AB-AC4已知： D是 ABC的 BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證： BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角

36、平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。A例1 如圖 2-1 ，已知 AB>AD, BAC= FAC,CD=BC。求證： ADC+B=180DEBFC圖 2-1分析：可由 C向 BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與 B 之和為平角。例2 如圖 2-2 ，在 ABC中， A=90，AB=AC， ABD= CBD。求證： BC=AB+ADA分析：過 D 作 DEBC于 E，則 AD=DE=CE，則構(gòu)造出D全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，BC從中利用了相當(dāng)于截取的方法。E圖2-2例3 已知如圖 2-3 ， ABC的角平分線BM、CN相交于點 P。求證： BAC的平分線也經(jīng)

37、過點 P。A分析：連接 AP，證 AP平分 BAC即可，也就是證 P 到 AB、AC的距離相等。NMDFBPC練習(xí)：圖 2-31如圖 2-4 AOP=BOP=15 ， PC/OA，PDOBA，C如果 PC=4，則 PD=（）POAA4B3C2 D1D圖2-42已知在 ABC中， C=90， AD平分 CAB，CD=1.5,DB=2.5. 求 AC。3已知：如圖 2-5,BAC=CAD,AB>AD，CEAB，1AAE=2 （ AB+AD）. 求證： D+ B=180。D4. 已知：如圖 2-6, 在正方形 ABCD中， E 為 CD 的中點，ECBF為 BC上的點， FAE=DAE。求證：

38、 AF=AD+CF。5 已知：如圖 2-7 ，在 Rt ABC中， ACB=90 E 平分 CAB交 CD于 F，過 F 作 FH/AB 交 BC于 H。求證圖 2-5,CDAB，垂足為 D，A CF=BH。ADCEBFC圖2-6EFHADB圖 2-7（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1 ， BAD=DAC，AB>AC,

39、CDAD于 D，H 是 BC中點。1（AB-AC）A求證： DH=2分析：延長 CD交 AB于點 E，則可得全等三角形。問題可證。DCEBH例2 已知：如圖 3-2 ， AB=AC， BAC=90 ，AD為 A圖示 3-1FABC的平分線， CEBE.求證： BD=2CE。DE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的B垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角圖3-2C形。例 3已知：如圖 3-3 在 ABC中， AD、AE分別 BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點 B 作 BFAD，交 AD的延長線于 F，連結(jié) FC并延長A交AE于M。M求證： AM=ME。BDCE分析：由 AD

40、、AE 是 BAC內(nèi)外角平分線，可得EAFN圖3-3 AF，從而有 BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖 3-4 ，在 ABC中， AD 平分 BAC， AD=AB，CM AD 交 AD 延長線于 M。求證： AM=1 （AB+AC）2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以 AD為軸作對稱變換，作 AB1D 關(guān)于 AD的對稱 AED，然后只需證DM= EC，另外21由求證的結(jié)果AM= （AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可2AEF嘗試作 ACM關(guān)于 CM的對稱 FCM，然后只需證 DF=C BDnCF 即可。圖 3-4M練習(xí)：1已知：在 ABC中， AB=5， AC=3， D 是 BC中點， AE 是 BAC的平分線，且 CEAE于 E，連接 DE，求 DE。2已知 BE、BF 分別是 ABC的 ABC的內(nèi)角與外角的平分線， AFBF于 F，AE BE于 E，連接 EF分別交 AB、AC于 M、 N，求證 MN=1 BC2