利用虛功對(duì)兩自由度的行星齒輪傳動(dòng)效率的理論研究

1、外文翻譯利用虛功對(duì)兩自由度的行星齒輪傳動(dòng)效率的理論研究Chao Chen ,Teck Teh LiangDepartment of Mechanical and Aerospace, Engineering,Monash University Clayton,Victoria 3802, Australia摘要行星齒輪系傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)的一種基本形式，應(yīng)用廣泛。對(duì)行星齒輪系效率的研究對(duì)其設(shè)計(jì)，優(yōu)化，和使用很關(guān)鍵。眾所周知，這些系統(tǒng)的效率與內(nèi)部功率流有很大關(guān)系。我們應(yīng)用虛功的概念，在其相關(guān)的適用范圍之內(nèi)，來尋找兩自由度傳動(dòng)的效率的解析表達(dá)式。1.簡介行星齒輪傳動(dòng)（EGT）是機(jī)械傳動(dòng)的一種基本形式，

2、在汽車，航天以及制造業(yè)中具有廣泛的應(yīng)用。近年來，行星齒輪傳動(dòng)已經(jīng)在風(fēng)力發(fā)電1，安全機(jī)械手2,3，混合動(dòng)力汽車4以及摩托車5等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。在行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中有一個(gè)現(xiàn)象就是在它的機(jī)械傳動(dòng)效率比普通的齒輪傳動(dòng)要低很多6。在機(jī)械傳動(dòng)中功率損失有齒輪嚙合表面的滑動(dòng)摩擦損失，攪油損失，軸的支撐軸承的摩擦7損失。這里，我們主要關(guān)注由于齒輪嚙合面滑動(dòng)摩擦所引起的功率損失。通過假定齒輪嚙合損失只是一種能量損失，可以提出不同的方法用于評(píng)估行星齒輪系的傳動(dòng)效率。下面簡略的回顧計(jì)算行星齒輪傳動(dòng)效率的具有重大意義的文獻(xiàn)。Radzimovsky7,8提出了在行星齒輪相同的齒輪副中的齒目損失比，簡化了齒輪傳動(dòng)系來計(jì)算功

3、率損失。Macmillan9和Davies10 提出了被用于計(jì)算復(fù)雜行星輪系傳動(dòng)效率分析的功率流理論。第1頁外文翻譯Yu和Beachley11引進(jìn)了潛在能量來評(píng)估具有兩自由度的差動(dòng)輪系的效率。Pennestri和Freudenstein6提出了一個(gè)系統(tǒng)的算法用來計(jì)算直齒輪行星輪系的傳動(dòng)效率， Castillo12通過虛擬齒比和嚙合力獲得了一個(gè)公式來計(jì)算行星齒輪傳動(dòng)效率。Pennestri和Valentini 13提供了一個(gè)全面的回顧和各種現(xiàn)有方法的對(duì)比來計(jì)算行星齒輪傳動(dòng)的機(jī)械效率。Kahraman et al14提出了一種針對(duì)自動(dòng)變速箱行星齒輪傳動(dòng)的廣義公式.Salgdo和 del Casti

4、llo用功率流圖15來分析行星齒輪傳動(dòng)效率。Nslson 和 Cipra提出了一種數(shù)字化的方法來獲得行星齒輪傳動(dòng)的效率16。上面的所有用于推導(dǎo)效率公式的方法都是基于整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力平衡理論并考慮了整體效率的獨(dú)立性。但我們發(fā)現(xiàn)整體效率事實(shí)上是聯(lián)系在一起的。相反，文獻(xiàn)17中的方法提供了一種清晰的功率流通過每個(gè)但自由度行星輪系部件的路線。這種方法將系統(tǒng)放大，并把在相應(yīng)的載體框架上測(cè)得的局部效率看作是獨(dú)立恒定的量文獻(xiàn)【17】中虛擬能量的概念是逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)【9，,18】和潛在功率的派生。我們注意到獲取功率損失的解析表達(dá)式關(guān)鍵是利用圖17中的功率平衡。在這項(xiàng)工作中我們將重點(diǎn)放在具有兩個(gè)輸入一個(gè)輸出的兩自由度的

5、行星齒輪傳動(dòng)。在文獻(xiàn)【13】中可以看到對(duì)這種兩自由度系統(tǒng)的效率計(jì)算的現(xiàn)有公式的綜合總結(jié)。由于這些公式以及相應(yīng)的方法的多樣性和復(fù)雜性，對(duì)推導(dǎo)公式的驗(yàn)證就變得非常重要。這里，在適用的范圍之內(nèi)，我們?yōu)閮勺杂啥菶GT派生了一組新的效率公式集。我們用下面有幾個(gè)特殊的例子來討論驗(yàn)證提出的公式和方法的正確性。這里也給出了，同樣適用于這里討論的系統(tǒng)的現(xiàn)有效率公式的對(duì)比。下面將具體介紹。第二節(jié)給出了最基本的概念，虛擬力，以及虛擬功率傳第2頁外文翻譯動(dòng)比。第三節(jié)我們討論運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。第四，五節(jié)推導(dǎo)出了效率計(jì)算公式。第六節(jié)給出了具體的實(shí)例，驗(yàn)證還有對(duì)比。2 功率和虛擬功率大家都知道，一個(gè)取決于齒輪嚙合的簡單齒輪傳動(dòng)系

6、統(tǒng)的功率損失與輸入功率成正比，如公式L=pl³0 （1）這里是損失因子常數(shù)，P是輸入功率大小。對(duì)簡單齒輪傳動(dòng)的效率的綜合討論可以參考【17，,20】。在理想的條件下，可以把當(dāng)作常量。相同系統(tǒng)的效率則為=1-。注意方程（1）不僅在定軸輪系（地面坐標(biāo)系）而且在動(dòng)軸輪系（行星輪系）中都適用。然而在這兩種例子中，輸入功率的計(jì)算將會(huì)不一樣。通常情況下，功率P表達(dá)式為P=t1w1 （2）當(dāng)齒輪都被安裝t1是作用在輸入齒輪上的扭矩，w1是輸入齒輪的角速度。在定軸，在地面上的觀察者將測(cè)出t1，w1。在后一種情況下，支撐兩個(gè)齒輪的軸以一定的角速度w0旋轉(zhuǎn)，從觀察者的軸【21】的位置上t1保持不變。然0

7、0w1=w1-w0w1而在公式（2）中的將會(huì)變化。我們有公式，其中w1是參照地面參考系輸入齒輪的角速度。此時(shí)，站在行星載體上的觀察者測(cè)量出w1。被站在行星載體上的觀察者測(cè)量出的相應(yīng)的輸入功率稱作潛在功率【11】，或者虛功【17】。注意：通過任意移動(dòng)的軸【17】測(cè)量的功被稱作虛功，這就暗示著潛在功是虛功的一個(gè)特殊形式。另外，只有在齒輪載體上測(cè)功率時(shí)，齒輪嚙合的功率損失因子還有效率才不會(huì)變化。2.1 功率流第3頁外文翻譯在一個(gè)穩(wěn)定的情況（沒有加速或者減速），行星齒輪傳動(dòng)的每個(gè)構(gòu)件都處于扭矩平衡和功率平衡。把摩擦考慮在內(nèi)，得出公式nnåti=1i=0 （3a） lnklTiåP+

8、åLii=1k=1=åti=1wi+åLk=1k=0 (3b)n和 l分別表示轉(zhuǎn)矩的ti序號(hào)和功率損失序號(hào)Lk。另外Pi表示系統(tǒng)和環(huán)w境之間的功率流，i表示轉(zhuǎn)矩ti的角速度。正號(hào)功率流表示功率從環(huán)境流向系統(tǒng)，負(fù)號(hào)表示功率由系統(tǒng)流向外界環(huán)境。2.2 虛擬功率流假設(shè)觀察者站在任意一個(gè)以角速度功Pivwm旋轉(zhuǎn)的構(gòu)件上，行星齒輪傳動(dòng)的虛P(yáng)i=ti(wi-wm)vT wm表示由觀察者測(cè)量得到的虛功。通過減去公式（3a）和公式（3b）中的點(diǎn)積，可以得到虛功流的平衡。nlviåPi=1+åLk=1k=0 （4）從而驗(yàn)證功率損失和原始模型中的保持一致。利用公式

9、（4）我們很容易的可以利用圖形來說明一個(gè)EGT中的虛功流。2.3 虛擬功率比在EGT中還有另外一個(gè)事實(shí)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系保持不變時(shí)，功率損失可能會(huì)影響到扭矩和力的大小。因此，在文獻(xiàn)【】中提出了一個(gè)獨(dú)立摩擦的概念，虛擬功率比a。它被定義為虛擬功率與通過構(gòu)件i的功率的比值，如下：第4頁外文翻譯ai=PivwiPi=ti(wi-wm)tiwi=wi-wmwi （5） 和wmti表示沿著力矩方向的切向角速度，表示自己軸線上的力矩大小。依據(jù)上面的定義，ai僅僅由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系決定，因此，在EGT中ai也與摩擦和功率損失無關(guān)。3 兩自由度行星齒輪傳動(dòng)圖1表示的是兩自由度系統(tǒng)。我們需要兩個(gè)電機(jī)來完全確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。

10、具體的有三種方案：構(gòu)件1和2是輸入構(gòu)件；構(gòu)件1和4是輸出構(gòu)件；構(gòu)件2和4是輸入構(gòu)件。注意第一第三種方案是拓?fù)湎嗤?。因此，我們僅討論第一第二方案。這里我們不考慮一個(gè)輸入兩個(gè)輸出的情況。如圖1所示，ra+rc=rb+rd （6）給出了幾個(gè)約束約束關(guān)系，ra，rb，rc和rd分別是齒輪A,B,C和D的半徑。運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系由式（7）給出，w2(ra+rc)=w3ra+w1rcw2(rb+rd)=w3rb+w4rd （7）這里wi是構(gòu)件i的角速度。另外，齒輪A和C之間的嚙合力為G1，齒輪B和D之間的嚙合力為G2,如圖1所示。第5頁外文翻譯圖1 兩自由度行星齒輪傳動(dòng)w2w1在方案I中，輸入構(gòu)件的角速度比值為

11、k1=我們從方程（6）（7）得到w2w4=k1(1-k1)u+k1（8a）w4w1=(1-k1)u+k1（8b）u=rbrc(rard)不難看出當(dāng)ra>rb時(shí)0<u<1當(dāng)ra<rb時(shí)u>1。圖2表示的是當(dāng)ra>rb時(shí)，系統(tǒng)的靜態(tài)分析。很明顯為了使行星齒輪平衡，接觸力F1和F2必須和構(gòu)件4上的載荷方向一致。因此，從電機(jī)1和電機(jī)2輸入的轉(zhuǎn)矩T1和T2也必須和F1和F2相同的方向。為了保持這連個(gè)電機(jī)輸入給系統(tǒng)正的功率，必須使w1w2>0。因此，k1>0且0<u<1。同理可得，k1<0且u>1。在方案II中，兩個(gè)輸入的角速度比值為

12、k2=第6頁w4w1，根據(jù)方程式（6）和（7），外文翻譯可以推導(dǎo)出w2w1w2w4=u-k2u-1 （9a） =u-k2(u-1)k2 (9b)圖2展示的是其靜態(tài)分析。為了平衡行星齒輪的力矩，接觸力F1和F4必須沿著構(gòu)件2上載荷的相反方向。因此從電動(dòng)機(jī)1,4輸出的力矩也必須沿著相反方向。為了使這兩個(gè)電動(dòng)機(jī)輸出正的功率，我們必須控制使w1w2<0，因此在該方案中k2<0。圖2 方案1中0<u<1時(shí)系統(tǒng)的靜態(tài)分析4 案例I中的功率流分析我們首先將圖1中所示的系統(tǒng)示意圖轉(zhuǎn)化為圖3(a)所示的圖形表達(dá)圖。功率流從一個(gè)構(gòu)件到另外的構(gòu)件通過一個(gè)箭頭表示。文獻(xiàn)【17，22-24】詳細(xì)

13、的給出了行星齒輪傳動(dòng)的這種圖像法的分析討論。第7頁外文翻譯圖3（1）傳動(dòng)的功率流（a）圖3（2）虛擬功率流（b）在這種方案中，圖1中所示的M1和M2為輸入電動(dòng)機(jī)，M4就是一個(gè)發(fā)電機(jī)，系統(tǒng)的功率從M4流出。另外，因?yàn)檫@里的電動(dòng)機(jī)和發(fā)電機(jī)的安裝方式的特殊，它們可以被當(dāng)做一種特殊形式的連接相鄰構(gòu)件的聯(lián)接。比如，M1將構(gòu)件1連接到構(gòu)件5上。這些聯(lián)接的特殊之處在于功率流可以通過它們流進(jìn)或者流出系第8頁外文翻譯統(tǒng)。圖3(a)給出了系統(tǒng)的示意圖，從電動(dòng)機(jī)1和2流出的功率大小分別為M1和M2。不考慮功率損失，所有的功率流進(jìn)發(fā)電機(jī)4。注意在這個(gè)圖中只有一個(gè)可能的功率流方向。固定構(gòu)件2時(shí)，圖3(b)給出了相同系統(tǒng)

14、的虛擬功率流圖。在每個(gè)分支里虛擬功率流有一些可能的方向。然而，只有沿著路徑1-3-4的功率流對(duì)我們的研究是必要的，因?yàn)樵谶@條路徑上存在齒輪嚙合。沿著這條路徑的虛擬功率流的改變將會(huì)改變整個(gè)系統(tǒng)的功率損失。因此，我們區(qū)分出兩個(gè)子方案，IA和IB，圖3(b)展示了它們的功率流方向。4.1 子方案IA圖4表示的是本方案的功率流和虛擬功率流以及它們各自的損失。圖4(1) 子方案IA中的功率流（a）第9頁外文翻譯圖4(2) 帶損失的虛擬功率流(b)通過構(gòu)件1和4的虛擬功率比為V1M1=w1-w2w1=1-k1 (10a)V1-L1-L2M1+M2-L1-L2=w4-w2w4=(1-k1)u(1-k1)u+

15、k1(10b)另外，按照?qǐng)D4(b)所示的虛擬功率流，G1和G2的功率損失為L1=l1V1 (10c) L2=l2(V1-L1) (10d) 求解方程式(10)，可以得到總效率為h=M1+M2-L1-L2M1+M2=1-A1-A+AB1(11)(1-k1)u(1-k1)u+k1這里A=l1+l2-l1l2 ，B1=依照?qǐng)D4中功率流的方向和虛擬功率流的方向以及方程式（10a）（10b）,可以推導(dǎo)出第10頁外文翻譯1-k1>0 (1-k1)u(1-k1)u+k1>0u<k1<1 （12） 可以推出：當(dāng)u>1時(shí)，k1<1；當(dāng)0<u<1時(shí)，u-1將不等式（

16、12）和第三節(jié)的結(jié)果聯(lián)立，可以得出效率公式（11）的應(yīng)用范圍：當(dāng)u>1時(shí)，k1<1；當(dāng)0<u<1時(shí)，0<k1<1 （13）4.2 子方案 IB本方案中的功率流和子方案IA中的一樣。圖5展示本方案中有功率損失的虛擬功率流。圖5 子方案IB有功率損失的虛擬功率流通過構(gòu)件1和4的虛擬功率比分別為P1vP1P4v=-V1M1=w1-w2w1=1-k1 (14a) (1-k1)u(1-k1)u+k1 P4=-V1-L1-L2M1+M2-L1-L2=w4-w2w4= (14b)另外，依據(jù)圖5中的虛擬功率流，發(fā)電機(jī)1和2的功率損失為L1=l1(V1+L1) (14c)第1

17、1頁外文翻譯L2=l2(V1+L1+L2) (14d)求解方程（14），得出本方案的總效率為 h=M1+M2-L1-L2M1+M2=11-AB1(15)(1-k1)u(1-k1)u+k1這里 A=l1+l2-l1l2，B1=依據(jù)圖4中功率和虛擬功率流的方向以及方程（14a）（14b）可以推出1-k1<0(1-k1)u(1-k1)u+k1<0推出若u>1 則1<k1<uu-1（16）若0<u<1則1<k1聯(lián)立不等式（16）和第三節(jié)的結(jié)果，公式（15）的應(yīng)用范圍為若u>1，不能用；若0<u<1則1<k1。 （17） 不等式（1

18、6）說明了效率公式（15）的適用范圍。5 方案II中的功率流分析（構(gòu)件1,構(gòu)件4輸入）在方案II中，圖1中M1和M4為輸入電動(dòng)機(jī)，M2為發(fā)電機(jī)，系統(tǒng)的功率通過M2流出。第12頁外文翻譯圖6 (a) 傳動(dòng)的功率流（a）圖6(b) 虛擬功率流（b）圖6(a)是系統(tǒng)的圖形表示，電動(dòng)機(jī)1和4的功率大小分別為M1，M4。不考慮功率損失，所有的功率都流向發(fā)電機(jī)2。在該圖中功率流只有一個(gè)可能的方向。圖6(b)展示的是固定構(gòu)件2，同一個(gè)系統(tǒng)的虛擬功率流。每一個(gè)分支都會(huì)有一些可能的虛擬功率流方向。然而，只有沿著路徑1-3-4的功率流對(duì)我們的第13頁外文翻譯分析是必要的，因?yàn)檫@條路徑存在齒輪嚙合。這條路徑的虛擬功

19、率流的改變將會(huì)改變整個(gè)系統(tǒng)的功率損失。因此，區(qū)分為子方案IIA和IIB，圖6(b)中有它們各自的功率流向。5.1子方案IIA圖7表示的是本方案的功率和虛擬功率流。構(gòu)件1,4的虛擬功率比分別為P1vP1P4v=V1M1=w1-w2w1=k2-1u-1（18a）u(k2-1)(u-1)k2P1=-(V1-L1-L2)M4=w4-w2w4=(18b)圖7 (1) 方案IIA的功率流（a）另外，依據(jù)圖7(b)中虛擬功率流，G1和G2的功率損失分別為L1=l1V1 (18c)L2=l2(V1-L1) (18d)求解方程（18），可以得到這個(gè)子方案整個(gè)系統(tǒng)的效率為 h=M1+M2-L1-L2M1+M2=1

20、-B2B3AB3+B2(A-1)(19)第14頁外文翻譯圖7 (2)帶損失的虛擬功率流（b）在這里B2=k2-1u-1u(k2-1)(u-1)k2，B3=，A=l1+l2-l1l2根據(jù)圖7中的功率和虛擬功率流的方向和方程（18a）（18b），可以推出k2-1u-1>0u(k2-1)(u-1)k2<0推出若u>1則公式不適用；若0<u<1,則k2<0 (20)不等式（20）和第三節(jié)的結(jié)論一致，說明了效率公式（19）的適用范圍。5.2 子方案IIB本方案中的功率流和方案IIA中的一致。圖8表示的是帶有損失的虛擬功率流。通過構(gòu)件1，4的虛擬功率比分別為P1vP1=

21、-V1M1=w1-w2w1=k2-1u-1（21a）第15頁外文翻譯P4vP4=V1+L1+L2M4=w4-w2w4=u(k2-1)(u-1)k2 (21b)圖8 子方案IIB中帶功率損失的虛擬功率流另外根據(jù)圖5的虛擬功率流，G1和G2的功率損失為L1=l1(V1+L1) (21c)L2=l2(V1+L1+L2) (21d)求解方程（21），可以得到這個(gè)方案的總效率h=這里B2=k2-1u-1,B3=u(k2-1)(u-1)k2,A=l1+l2-l1l2 M1+M2-L1-L2M1+M2=1-B2B3AB2+B3-B3A (22)根據(jù)圖7中功率流和虛擬功率流的方向以及方程式（21a），（21b

22、），可以得k2-1u-1<0 >0 u(k2-1)(u-1)k2 （23）第16頁外文翻譯可以推出：若u>1時(shí)，則k2<0;若0<u<1,為空集。不等式（23），和第三節(jié)中的結(jié)果一致，表示了效率公式（22）的適用范圍。表16 方案I的特殊情況分析首先，以一個(gè)例子開始，討論幾個(gè)特殊的方案。然后得出與其他公式的對(duì)比。假設(shè)圖1中的系統(tǒng)的參數(shù)r=30,r=25,r=20,和rd=25?？梢酝瞥鯽bcu=23。先考慮方案I，構(gòu)件1和2為輸入構(gòu)件。根據(jù)表1，方案IA的范圍為0<k1<1，方案IB的范圍為k1>1。我們進(jìn)一步假設(shè)所有齒輪的效率為h1=h2=90，這也表示齒輪的功率損失為l1=l2=0.1。我們可以看到，在k1的范圍之內(nèi)，總效率在0-1之間。然后，可以利用下面的兩個(gè)特殊條件來驗(yàn)證假設(shè)公式的正確性，正如下面提到的。k1=1：在這個(gè)條件下，圖1所示系統(tǒng)的所有組件都以相同的角速度w1。任第17頁外文翻譯意兩個(gè)嚙合的齒輪之間沒有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。此時(shí)，沒有齒輪嚙合損失，這就表示總效率為1.圖9中給出了相應(yīng)結(jié)果的情節(jié)。k1=0：當(dāng)行星架靜止時(shí)，兩自由度行星齒輪系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)自由度的齒輪傳動(dòng)。因此，總的效率一定是簡單的h1h2=0.81。圖9中也給