（精選）解三角形與數(shù)列Word版

1、解三角形及其數(shù)列專練1(2016·吉林)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量m(cosA，sinA)，n(2cosA，2cosA)，m·n1.(1)若a2，c2，求ABC的面積；(2)求的值解析(1)因為m·n2cos2Asin2Acos2Asin2A12cos(2A)11，所以cos(2A)1.又<2A<2，所以2A，A.由124b22×2×b×cos，得b4(舍負(fù)值)所以ABC的面積為×2×4×sin2.(2)2.2(2016·福建)在ABC中，B，點(diǎn)D在邊A

2、B上，BD1，且DADC.(1)若BCD的面積為，求CD；(2)若AC，求DCA.解析(1)因為SBCD，即BC·BD· sinB，又B，BD1，所以BC4.在BDC中，由余弦定理得，CD2BC2BD22BC·BD·cosB，即CD21612×4×1×13，解得CD.(2)在ACD中，DADC，可設(shè)ADCA，則ADC2，又AC，由正弦定理，有，所以CD.在BDC中，BDC2，BCD2，由正弦定理得，即，化簡得cossin(2)，于是sin()sin(2)因為0<<，所以0<<，<2<，所以

3、2或2，解得或，故DCA或DCA.3(2017·河北)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且(a2b2c2)sinAab(sinC2sinB)，a1.(1)求角A的大?。?2)求ABC的周長的取值范圍解析(1)由(a2b2c2)sinAab(sinC2sinB)，結(jié)合余弦定理可得2abcosCsinAab(sinC2sinB)，即2cosCsinAsinC2sin(AC)，化簡得sinC(12cosA)0.因為sinC0，所以cosA，又A(0，)，所以A.(2)因為A，a1，由正弦定理可得bsinB，csinC，所以ABC的周長labc1sinBsinC1sinBsin

4、(B)1(sinBcosB)1sin(B)因為B(0，)，所以(B)(，)，則sin(B)(，1，則labc1sin(B)(2，1. 4已知函數(shù)f(x)(sinxcosx)·cosx(其中>0)，若f(x)的一條對稱軸離最近的對稱中心的距離為.(1)求yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足(2ba)cosCc·cosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，試判斷ABC的形狀解析(1)f(x)sinx·cosxcos2xsin2x(2cos2x1)sin2xcos2xsin(2x)因為函數(shù)f(x)的一條對稱軸離最近的對

5、稱中心的距離為，所以T，所以，所以1. 所以f(x)sin(2x)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k(kZ)(2)因為(2ba)cosCc·cosA，由正弦定理，得(2sinBsinA)cosCsinC·cosA，即2sinBcosCsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinB，因為sinB0，所以cosC，所以C.所以0<B<，0<2B<，<2B<.根據(jù)正弦函數(shù)的圖像，可以看出f(x)的最大值為f(B)1，此時2B，即B，所以A，所以ABC為等邊三角形5(2017·山西)已

6、知f(x)cosx(sinxcosx)cos2(x)1(>0)的最大值為3.(1)求函數(shù)f(x)的對稱軸；(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若不等式f(B)<m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解析(1)f(x)cosx(sinxcosx)cos2(x)1sinxcosxcos2xsin2x1sin2xcos2x1.1，由題意知： 13，212，>0，2.f(x)sin2xcos2x12sin(2x)1.令2xk，解得x，(kZ)函數(shù)f(x)的對稱軸為x(kZ)(2)，由正弦定理，可變形得，sin(AB)2cosAsinC，即sinC2cosAsinC，si

7、nC0，cosA，又0<A<，所以A.f(B)2sin(2B)1，只需f(B)max<m，0<B<，<2B<，<sin(2B)1，即0<f(B)3. m>3.數(shù)列小題專練一、選擇題1等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S1122，則a3a7a8()A18 B12 C9 D6 答案D解析由題意得S1122，即a15d2，所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6，故選D.2古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺

8、，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為()A7 B8 C9 D10 答案B解析設(shè)該女子第一天織布x尺，則5，得x，前n天所織布的尺數(shù)為(2n1)由(2n1)30，得2n187，則n的最小值為8.3各項均為正數(shù)的等差數(shù)列an中，a4a936，則前12項和S12的最小值為()A78 B48 C60 D72 答案D解析S126(a1a12)6(a4a9)6×272，當(dāng)且僅當(dāng)a4a96時等號成立5已知anlogn1(n2)(nN*)，觀察下列算式：a1·a2log23·log34·2；a1·

9、;a2·a3·a4·a5·a6log23·log34··log78···3，；若a1·a2·a3··am2 016(mN*)則m的值為()A22 0162 B22 016 C22 0162 D22 0164 答案C解析由于a1·a2·a3··am····2 016，可得lg(m2)2 016lg2lg22 016，可得m222 016，解得m22 0162.7(2016

10、3;福建質(zhì)檢)已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為Tn，且a2a4a3，則使得Tn>1的n的最小值為()A4 B5 C6 D7 答案C解析通解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>1)，因為a2a4a3，所以a32a3，又an>0，所以a31，所以等比數(shù)列an的前n項積Tna1·a2·a3·a4··an··a3·a3q··a3qn3qq，則使得Tn>1的n的最小值為6，故選C.優(yōu)解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>1)，因為a2a4a3，所以a32a3，又

11、an>0，所以a31，所以T4a1·a2·a3·a4··a3·a3q<1，排除A；T5·a3q21，排除B；T6T5·a3q3q3>1，故選C.8(2016·長沙調(diào)研)已知數(shù)列an的前n項和為Sn(Sn0)，a1，且對任意正整數(shù)n，都有an1SnSn10，則a1a20()A. B. C. D. 答案A解析由條件可得an1SnSn1，即Sn1SnSnSn1，所以1，則數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，故(n1)×12n1n1，故Sn，則a20S20S19，故a1a20.9(2016

12、83;鄭州預(yù)測)正項等比數(shù)列an中的a1、a4 031是函數(shù)f(x)x34x26x3的極值點(diǎn)，則loga2 016()A1 B2 C. D1 答案A解析因為f(x)x28x6，且a1、a4 031是方程x28x60的兩根，所以a1·a4 031a2 01626，即a2 016，所以loga2 0161，故選A.10(2015·洛陽調(diào)研)已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S36，S5，則數(shù)列的前n項和為()A1 B2 C2 D2 答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Snna1d，因為S36，S5，所以解得所以ann1，設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，則Tn，Tn，兩式相減得Tn()

13、(1)，所以Tn2.11在等差數(shù)列an中，a12 017，其前n項和為Sn，若2，則S2 017的值等于()A2 016 B2 017 C2 015 D2 018 答案B解析2，2，故a12a104.2d4，d2，S2 0172 017a1×d2 017×(2 017)2 017×2 0162 017.12(2016·長沙四校)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，g(x)f(x)1，即ang()，則數(shù)列an的前2 013項和為()A2 014 B2 013 C2 012 D2 011 答案B解析因為f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱，則函

14、數(shù)yg(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(，1)對稱，故函數(shù)g(x)滿足g(x)g(1x)2.設(shè)Sg()g()g()，倒序后得Sg()g()g()，兩式相加后得2Sg()g()g()g()g()g()2 013×2，所以S2 013.二、填空題15設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，an12Sn3，則S4_答案66解析依題an2Sn13(n2)，與原式作差得，an1an2an，n2，即an13an，n2，可見，數(shù)列an從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，a25，所以S4166.16若等比數(shù)列an滿足a2a420，a3a540，則公比q_；前n項和Sn_答案22n12解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5(a

15、2a4)q，解得q2，又a2a4a1(qq3)20，a12. Sn2n12.17設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a11，an1n2n，nN*.則a2_，an_答案4n2解析依題意，2S1a21，又S1a11，所以a24.當(dāng)n2時，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1.又1，故數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列所以1(n1)×1n.所以ann2.18等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S100，S1525，則nSn的最小值為_49解析由Snna

16、1d，得解得a13，d.則Sn3n·(n210n)，所以nSn(n310n2)令f(x)(x310x2)，則f(x)x2xx(x)，當(dāng)x(1，)時，f(x)遞減；當(dāng)x(，)時，f(x)遞增，又6<<7，f(6)48，f(7)49，19已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，數(shù)列xn是一個公差為2的等差數(shù)列，滿足f(x8)f(x9)f(x10)f(x11)0，則x2 017_答案4 015解析因為f(x)是奇函數(shù)，在R上是增函數(shù)，且數(shù)列xn是遞增數(shù)列，所以由f(x8)f(x9)f(x10)f(x11)0可得x8x11x9x100.由數(shù)列an的公差為2，得x117，所以xnx

17、1(n1)d2n19.所以x2 0172×2 017194 015.20.已知an是等差數(shù)列，設(shè)Tn|a1|a2|an|(nN*)某同學(xué)設(shè)計了一個求Tn的部分算法流程圖(如圖)，圖中空白處理框中是用n的表達(dá)式對Tn賦值，則空白處理框中應(yīng)填入：Tn_答案n29n40解析由流程圖可知該等差數(shù)列的通項公式是an2n10或an2n10.不妨令an2n10，則當(dāng)n6時，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an20n29n40.1在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_答案20解析方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3a82a19d10，3a5a74a118d2(2a19d)20

18、.方法二：an為等差數(shù)列，3a5a72a5(a5a7)2a52a62(a5a6)2(a3a8)20.2已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d(d1)，且a1b1，a4b4，a10b10，則a1和d的值分別為()A.， B， C， D.， 答案D3設(shè)數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則()A3 B4 C6 D7 答案D解析由S1，S2，S4成等比數(shù)列，得S22S1S4，即為(2a1d)2a1(4a16d)又d0，故可化簡為d2a1，所以7.4已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7 B5 C5 D7 答案D解

19、析an為等比數(shù)列，a5a6a4a78.聯(lián)立可解得或當(dāng)時，q3，故a1a10a7q37；當(dāng)時，q32，同理，有a1a107.數(shù)列大題專練1(2016·湖北)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足an23Sn(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog2an，求數(shù)列anbn的前n項和Tn.解析(1)當(dāng)n2時，由an23Sn，得an123Sn1，即得4anan1，而當(dāng)n1時，a123a1，故a1.因而數(shù)列an是首項為，公比為的等比數(shù)列，其通項公式為an·()n1()2n1(nN*)(2)由(1)得bnlog2an12n(nN*)數(shù)列anbn的前n項和Tna1b1a2b2

20、anbn(a1an)(b1bn)n2×()n，(nN*)2設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a12，對任意nN*，都有2Sn(n1)an.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn<1.解析(1)因為2Sn(n1)an，當(dāng)n2時，2Sn1nan1，兩式相減，得2an(n1)annan1，即(n1)annan1，所以當(dāng)n2時，所以. 因為a12，所以an2n.(2)因為an2n，令bn，nN*，所以bn.所以Tnb1b2bn(1)()()1.因為>0，所以1<1.因為f(n)在nN*上是遞減函數(shù)，所以1在nN*上是遞增的，所以當(dāng)n1時，Tn取最

21、小值. 所以Tn<1.3(2016·長沙調(diào)研)已知數(shù)列an與bn滿足an1an2(bn1bn)(nN*)(1)若a11，bn3n5，求數(shù)列an的通項公式；(2)若a16，bn2n(nN*)，且an>2nn2對一切nN*恒成立，求實數(shù)的取值范圍解析(1)因為an1an2(bn1bn)，bn3n5，所以an1an2(bn1bn)2(3n83n5)6，所以an是首項為a11，公差為6的等差數(shù)列所以an6n5(nN*)(2)因為bn2n，所以an1an2(2n12n)2n1，當(dāng)n2時，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12262n12，當(dāng)n1時，a16，符

22、合上式，所以an2n12(nN*)，由an>2nn2得>，所以當(dāng)n1，2時，取最大值，故的取值范圍為(，)4(2016·衡中一調(diào))已知數(shù)列an滿足an2qan(q為實數(shù)，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差數(shù)列(1)求q的值和an的通項公式；(2)設(shè)bn，nN*，求數(shù)列bn的前n項和解析(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1)，又因為q1，所以a2a3. 由a3qa1，得q2.當(dāng)n2k1(kN*)時，ana2k12k12；當(dāng)n2k(kN*)時，ana2k2k2，所以

23、數(shù)列an的通項公式為an(2)由(1)得bn，nN*. 設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Sn，則Sn1×2×3×(n1)×n×，Sn1×2×3×(n1)×n×，上述兩式相減，得Sn2，整理，得Sn4，nN*.5已知數(shù)列an的前n項的和為Sn，且a1，an1an.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求通項公式an與前n項的和Sn；(3)設(shè)bnn(2Sn)，nN*，若集合Mn|bn，nN*恰有4個元素，求實數(shù)的取值范圍解析(1)因為a1，an1an，當(dāng)nN*時，0.又因為，(nN*)為常數(shù)，所以是以為首項，為公

24、比的等比數(shù)列(2)由是以為首項，為公比的等比數(shù)列，得×()n1()n. 所以ann×()n.由錯位相減法得Sn2()n1n()n.(3)因為bnn(2Sn)(nN*)，所以bnn()n1n2()n.因為bn1bn(3n2)()n1，所以b2>b1，b2>b3>b4>.因為集合Mn|bn，nN*恰有4個元素，且b1b4，b22，b3，b5，所以<.數(shù)列專練(二)·1(2017·長沙模擬)已知數(shù)列an滿足a12n1，(1)求an的通項公式；(2)求an的前n項和解析(1)當(dāng)n1時，由題設(shè)知a14；當(dāng)n2時，由題設(shè)a12n1知a1

25、2n，兩式相減得2n12n， 即ann×2n(n2)，故an的通項公式為an(2)設(shè)an的前n項和為Sn，則Sn1×222×22n×2n，2Sn1×232×23(n1)×2nn×2n1，兩式相減得Snn×2n1(22232n)n×2n14×(2n11)(n1)×2n14.2(2016·四川)已知等比數(shù)列an的首項a1，前n項和Sn滿足S1，2S2，3S3成等差數(shù)列(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn2()，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：Tn<.解析(1)因為S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，所以4S2S13S3，當(dāng)q1時，不符合；當(dāng)q1時，得4a13，故q或q0(舍去)綜上可知，an()n.(2)由(1)知an()n，所以bn2211(1)(1)，由<，>得<，所以bn<，從而Tnb1b2bn<()()()<，因此Tn<.3(2016·湖南)已知ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積S4，B60°，且a2c22b2；等差數(shù)列an中，a1a，公差db.數(shù)列bn的前n項和為Tn，且Tn2bn30，nN*.(1)求數(shù)列an、bn的通項公式；(2)設(shè)cn求數(shù)列cn的前2n1