對(duì)稱式與輪換對(duì)稱式

1、 八年級(jí)實(shí)驗(yàn)班競(jìng)賽專題 -對(duì)稱式與輪換對(duì)稱式1 基本概念【定義1】一個(gè)元代數(shù)式，如果交換任意兩個(gè)字母的位置后，代數(shù)式不變，即對(duì)于任意的（），都有那么，就稱這個(gè)代數(shù)式為元對(duì)稱式，簡(jiǎn)稱對(duì)稱式。例如，都是對(duì)稱式。如果元對(duì)稱式是一個(gè)多項(xiàng)式，那么稱這個(gè)代數(shù)式為元對(duì)稱多項(xiàng)式。由定義1知，在對(duì)稱式中，必包含任意交換兩個(gè)字母所得的一切項(xiàng)，例如，在對(duì)稱多項(xiàng)式中，若有項(xiàng)，則必有項(xiàng)；若有項(xiàng)，則必有，項(xiàng)，這些項(xiàng)叫做對(duì)稱式的同形項(xiàng)，同形項(xiàng)的系數(shù)都相同。根據(jù)對(duì)稱多項(xiàng)式的定義，可以寫出含個(gè)字母的對(duì)稱多項(xiàng)式的一般形式，例如，含有三個(gè)字母的二次對(duì)稱多項(xiàng)式的般形式是：【定義2】如果一個(gè)元多項(xiàng)式的各項(xiàng)的次數(shù)均等于同一個(gè)常數(shù)，那么稱

2、這個(gè)多項(xiàng)式為元次齊次多項(xiàng)式。由定義2知，元多項(xiàng)式是次齊次多項(xiàng)式，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意實(shí)數(shù)有。例如，含三個(gè)字母的三元三次齊對(duì)稱式為： 。 【定義3】一個(gè)元代數(shù)式，如果交換任意兩個(gè)字母的位置后，代數(shù)式均改變符號(hào)，即對(duì)于任意的，都有那么就稱這個(gè)代數(shù)式為元交代式。例如，均是交代式?！径x4】如果一個(gè)交代數(shù)式，如果將字母以代，代代代后代數(shù)式不變，即那么稱這個(gè)代數(shù)式為元輪換對(duì)稱式，簡(jiǎn)稱輪換式。顯然，對(duì)稱式一定是輪換式，但輪換式不一定是對(duì)稱式。例如，是對(duì)稱式也是輪換式；是輪換式，但不是對(duì)稱式。對(duì)稱式、交代式、輪換式之間有如下性質(zhì)：（1）兩個(gè)同字母的對(duì)稱式的和、差、積、商仍是對(duì)稱式； （2）兩個(gè)同字母的交代式的和、

3、差是交代式它們的各、商是對(duì)稱式； （3）同字母的對(duì)稱式與交代式的積、商是交代式； （4）兩個(gè)同字母的輪換式的和、差、積、商是交代式； （5）多變無的交代多項(xiàng)式中必有其中任意兩變?cè)畹囊蚴??！径x5】下面?zhèn)€對(duì)稱多項(xiàng)式稱為元基本對(duì)稱多項(xiàng)式。 例如，二元基本對(duì)稱多項(xiàng)式是指，三元基本對(duì)稱式是指當(dāng)你學(xué)完了高等代數(shù)的時(shí)候就會(huì)知道，任何一個(gè)元對(duì)稱多項(xiàng)式都可以表示為基本對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式。這個(gè)結(jié)論對(duì)解題的指導(dǎo)作用。2對(duì)稱式、輪換式、交代式在解題中的應(yīng)用 為了初中學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，我們?cè)诒局v里主要介紹二元和三元的情形，對(duì)于多元的情形，只需作類似的處理即可。 下面是利用對(duì)稱式、輪換式、交代式解題的一些常用技巧（1

4、）若是對(duì)稱式，則在解題中可設(shè)。（為什么？） （2）若是對(duì)稱式，則當(dāng)滿足性質(zhì)時(shí)，也滿足性質(zhì)。 （3）若是輪換式，則在解題中可設(shè)最大（?。荒茉O(shè)。（為什么？） （4）若是輪換式，且滿足性質(zhì)，則也滿足性質(zhì)。 （5）若是交代多項(xiàng)式，則是的因式，即其中是對(duì)稱式。其中是對(duì)稱式。 在利用對(duì)稱式作因式分解時(shí)，齊次對(duì)稱多項(xiàng)式，齊次輪換對(duì)稱多項(xiàng)式，齊次交代多項(xiàng)式是常用的。 齊次對(duì)稱多項(xiàng)式的一般形式：（1）二元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式一次：， 二次： 三次：（2）三元齊次對(duì)稱多項(xiàng)式 一次： 二次： 三次： 判定是否為多項(xiàng)式，的因式的方法是：令，計(jì)算，如果，那么就是的因式，在實(shí)際操作時(shí)，可首先考慮的如下特殊情形：【例1】：已知多項(xiàng)式 （1）求證：是齊次式；（2）求證：是輪換式； （3）求證：是交代式；（4）分解因式。(4) 是交代多項(xiàng)式， 是它的因式。又因?yàn)槭?次齊次式，所以它還有一個(gè)一次對(duì)稱式因式。于是，可表示為【例2】：分解因式。【例3】：分解因式?！纠?】：分解因式【例5】：分解因式?！纠?】：分解因式。 故對(duì)稱式與輪換對(duì)稱式練習(xí)題：1已知（1）求證：為5次齊次式； （2）求證：為輪換式；（3）求證：為交代式； （4）分解因式。2分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）練習(xí)答案與提示：