屆高三五市十校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷

1、“湖南省五市十校教研教改共同體”2017屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）?？荚図樌⒁馐马?xiàng)：1、答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置2、選擇題作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)均無效3、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)均無效4、選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定位置用2B鉛筆涂黑答案寫在答題卡對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)均無效姓 名：_準(zhǔn)考證號(hào)：_“湖南省五

2、市十校教研教改共同體”2017屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）本試題卷共6頁，23題（含選考題）全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘命題單位：湖南省寧鄉(xiāng)縣第一高級(jí)中學(xué)第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）設(shè)集合，則（ ）ABCD（2）已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）ABC D（3）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則“”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分且不必要條件ABCDP（4）在矩形中，在上任取一點(diǎn)，的最大邊是的概率是（ ）AB CD333正視圖側(cè)視圖俯視圖（5）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表

3、面積為（ ）A B CD（6）若變量滿足約束條件，則的最小值是_ _ABCD（7）已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)，已知是等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（ ）ABCD（8）是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，向量，滿足，則向量，的夾角為（ ）ABCD輸出開始結(jié)束是否（9）執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸出的值為，則條件框內(nèi)應(yīng)填寫（ ）ABCD（10）等差數(shù)列的前和為，且，若存在自然 數(shù)，使得，則當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系是（ ）ABCD大小不能確定（11）已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖，則（ ）ABCD（12）已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）ABCD第II卷 本卷

4、包括必考題和選考題兩部分第（13）（21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第（22）、（23）題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分（13）已知直線與圓相交，弦長(zhǎng)為，則_（14）在的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是_（用數(shù)字作答）（15）有共同底邊的等邊三角形和所在平面互相垂直，則異面直線和所 成角的余弦值為_（16）有一支隊(duì)伍長(zhǎng)米，以一定的速度勻速前進(jìn)排尾的傳令兵因傳達(dá)命令趕赴排頭，到達(dá)排頭后立即返回，且往返速度不變?nèi)绻麄髁畋氐脚盼埠?，整個(gè)隊(duì)伍正好前進(jìn)了米，則傳令兵所走的路程為_三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟（

5、17）（本小題滿分12分）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且（I）求；（II）若為邊上的中線，求的面積ABCD（18）（本小題滿分12分）為響應(yīng)國(guó)家“精準(zhǔn)扶貧，產(chǎn)業(yè)扶貧”的戰(zhàn)略，進(jìn)一步優(yōu)化能源消費(fèi)結(jié)構(gòu)，某市決定在一地處山區(qū)的A縣推進(jìn)光伏發(fā)電項(xiàng)目在該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取50戶，統(tǒng)計(jì)其年用電量得到以下統(tǒng)計(jì)表以樣本的頻率作為概率用電量（度）戶數(shù)（I）在該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取戶，記其中年用電量不超過度的戶數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；（II）已知該縣某山區(qū)自然村有居民300戶若計(jì)劃在該村安裝總裝機(jī)容量為300千瓦的光伏發(fā)電機(jī)組，該機(jī)組所發(fā)電量除保證該村正常用電外，剩余電量國(guó)家電網(wǎng)以元/度進(jìn)行收購經(jīng)測(cè)算以每千瓦裝機(jī)容量

6、年平均發(fā)電1000度，試估計(jì)該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接收益多少元？ （19）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，且，（I）求證：；（II）在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成的角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說明理由PBCDMA（20）（本小題滿分12分）如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為（I）求點(diǎn)的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)的軌跡為，點(diǎn)、是軌跡為上不同于的兩點(diǎn)，且滿足，求證：的面積為定值BAPOxy（21）（本小題滿分12分），函數(shù)（，）（I）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；（II）若函數(shù)在上不單調(diào)時(shí)：（i）記在

7、上的最大值、最小值分別為、，求；（ii）設(shè)，若對(duì)恒成立，求的取值范圍請(qǐng)考生在第（22）、（23）題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一個(gè)題記分（22）（本小題滿分10分）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)、（I）若，求線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（II）若直線的斜率為，且過已知點(diǎn)，求的值（23）（本小題滿分10分）（選修4-5：不等式選講）已知函數(shù)（）（I）若不等式的解集為或，求的值（II）若對(duì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍“湖南省五市十校教研教改共同體”2017屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）參考答案1命題依據(jù)：以一元二次、

8、一元一次不等式的解法切入，然后考查集合的交并運(yùn)算答案：D2命題依據(jù)：考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式及其乘法、除法、模運(yùn)算答案：A，故選A3命題依據(jù)：具體情境中識(shí)別數(shù)列的性質(zhì)，充分條件與必要條件答案：B若，則，故數(shù)列不是等比數(shù)列；若數(shù)列是等比數(shù)列，則，由，得選B4命題依據(jù)：幾何概型ABDPCP1P2答案：D分別以、為圓心，為半徑作弧，交于、，則當(dāng)在線段間運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使得的最大邊是，易得，即的最大邊是的概率是5命題依據(jù)：由三視圖認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積計(jì)算答案：B由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正方體切割成的一個(gè)四棱錐，則該幾何體的外接球的半徑為，從而計(jì)算得表面積為故選B6命題依據(jù)：線性規(guī)劃的應(yīng)用答案：B

9、作出可行域?yàn)殚_放區(qū)域，在直線與直線的交點(diǎn)處取得最小值故選B7命題依據(jù)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，離心率求解答案：C由已知，即，得，解得，故選C8命題依據(jù)：平面向量基本定理，向量的數(shù)量積運(yùn)算答案：C易得9命題依據(jù)：算法，程序框圖答案：D10命題依據(jù)：等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的單調(diào)性答案：C若，存在自然數(shù)，使得，則因?yàn)槿簦瑒t數(shù)列是遞減數(shù)列，則，不會(huì)有由于，當(dāng)，有，則，而，顯然故選C11命題依據(jù)：的圖象與性質(zhì)答案：B易得，由五點(diǎn)法作圖可知，得即故，故選BOxy12命題依據(jù)：函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的關(guān)系答案：B由題意得即方程有正根，即有正根，作函數(shù)與的圖象，則可知時(shí)，故故選B13命題依據(jù)：直線方程

10、，圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系答案：由已知可得圓心到直線的距離為，所以，解得14命題依據(jù)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用答案：15命題依據(jù)：線線角，面面垂直答案：16命題依據(jù)：數(shù)學(xué)應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模答案：思路一：設(shè)傳令兵的速度為，隊(duì)伍行進(jìn)速度為，則傳令兵從隊(duì)尾到排頭的時(shí)間為，從排頭到隊(duì)尾的時(shí)間為，往返共用時(shí)間為，則傳令兵往返路程由于傳令兵回到排尾后，整個(gè)隊(duì)伍正好前進(jìn)了米，則故 ，可得即，解得，傳令兵所走的路程為思路二：設(shè)傳令兵的速度為，隊(duì)伍行進(jìn)速度為，則傳令兵從隊(duì)尾到排頭的時(shí)間為，從排頭到隊(duì)尾的時(shí)間為，則易得，化簡(jiǎn)得，得，由于隊(duì)伍與傳令兵行進(jìn)時(shí)間相等，故傳令兵所走路程為17命題依據(jù)：三解形中的恒等變換，正、余弦

11、定理【分析】（I）利用正弦定理將邊的關(guān)系化為角的關(guān)系，利用三角恒等變換求出值（II）先根據(jù)兩角和差的正弦公式求出，再根據(jù)正弦定理得到邊長(zhǎng)的比值關(guān)系，再在或利用余弦定理可求的值，再由三角形面積公式可求結(jié)果【解答】（I）因?yàn)?，由正弦定理得：，即，3分化簡(jiǎn)得：，所以5分在中，所以，得6分（II）在中，得7分則8分由正弦定理得9分設(shè)，在中，由余弦定理得：，則，解得，即，11分故12分18命題依據(jù)：統(tǒng)計(jì)與概率，離散型隨機(jī)變量的期望，統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象與應(yīng)用意識(shí)解：（I）記在該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取戶，其年用電量不超過度為事件由抽樣可知，3分由已知可得從該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取戶，記其中年用電量不超過度

12、的戶數(shù)為服從二項(xiàng)分布，即，故6分（II）設(shè)該縣山區(qū)居民戶年均用電量為，由抽樣可得（度）10分則該自然村年均用電約度又該村所裝發(fā)電機(jī)組年預(yù)計(jì)發(fā)電量為度，故該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約度，能為該村創(chuàng)造直接收益元12分19命題依據(jù)：垂直的判定與證明，空間角的求解，空間向量的應(yīng)用【分析】（I）利用幾何圖形的特點(diǎn)，將空間問題平面化后，找出垂直關(guān)系，進(jìn)行證明；（II）假設(shè)存在點(diǎn)，利用二面角的大小為確定點(diǎn)的位置，再利用平面的法向量求線面角ADBC【解答】（I）如圖，由已知得四邊形是直角梯形，由已知，可得是等腰直角三角形，即，又平面，則，所以平面，所以4分（II）存在法一：（猜證法）觀察圖

13、形特點(diǎn)，點(diǎn)可能是線段的中點(diǎn)下面證明當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為5分過點(diǎn)作于，則，則平面過點(diǎn)作于，連接，則是二面角的平面角PBCDMNGAzxy因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，則，在四邊形求得，則8分在三棱錐中，可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離是，則，解得10分在中，可得設(shè)與平面所成的角為，則12分法二：（作圖法）過點(diǎn)作于，則，則平面過點(diǎn)作于，連接，則是二面角的平面角若，則，又，易求得即是線段的中點(diǎn)8分（以下同解法一）法三：（向量計(jì)算法）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)（），則的坐標(biāo)為6分設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，得，則可取8分又是平面的一個(gè)法向量，所以解得即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)10分此時(shí)平面的一個(gè)法向量可取，與平面所成

14、的角為，則12分20命題依據(jù)：橢圓的方程、軌跡的求解，解析幾何中的定值問題，運(yùn)算能力?！痉治觥浚↖）由題意易得；（II）此題本質(zhì)利用對(duì)于橢圓上一點(diǎn)有這一結(jié)論，得到，再利用直線與橢圓的位置關(guān)系，建立的表達(dá)，雖然直線的位置不確定，由于，則其斜率與在軸上的截距必定滿足方程關(guān)系，代入的面積表達(dá)式則可求得的面積【解答】（I）由已知設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為5分（II）由題意、是橢圓上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，則直線，斜率必存在且不為又由已知因?yàn)?，所?分設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得， 7分設(shè)、的坐標(biāo)分別為，則、是方程的兩根，則，8分又，9分所以，得10分又所以，即的面積為定值12分21命題依

15、據(jù)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不等式的應(yīng)用，分類討論的數(shù)學(xué)思想【分析】【解答】由已知得， 1分令，則，所以在上必為增函數(shù)；2分令，則令，得，所以在和上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)3分（I）因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以在為增函數(shù)，所以4分（II）因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以 （i） 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，5分當(dāng)，即時(shí)，；6分當(dāng)，即時(shí)，；7分 當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，所以，故 綜上得8分（ii）對(duì)恒成立，即在上的值域是的子集當(dāng)時(shí)，即所以令，易得在上是增函數(shù)，則，所以10分當(dāng)時(shí)，即，所以令，易得在上是增函數(shù)，則，所以11分當(dāng)時(shí)，即，即所以，所以綜上得12分22命題依據(jù)：參數(shù)方程化成普通方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程【分析】（I）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，利用的幾何意義求解；（II）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，化為：，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出【解答】解：（I）由曲線（為參數(shù)），可得的普通方程是2分當(dāng)時(shí)，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線的普通方程，得，3分得，則線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的，故線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 5分（II）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，化簡(jiǎn)得，7分則，9分由已知得，故10分23命題依據(jù)：絕對(duì)值不等式的解法【分析】（I）通過討論的范圍，求出不等