流體力學(xué)備課一

1、3.3 連續(xù)方程質(zhì)量守恒方程在流體力學(xué)中稱連續(xù)方程。1 直角坐標(biāo)系連續(xù)方程的推導(dǎo) (a)空間三維流動(dòng)圖 (b)在內(nèi)的投影圖圖 3-5 微六面體上的質(zhì)量守恒取微六面體為控制體如圖3-5所示。微六面體體積，中心點(diǎn)為，M處速度，在x，y，z向的分量分別為，；M處密度為。x，y向的流入和流出控制體的速度和密度表示如圖3-5(b)所示。在時(shí)間內(nèi)，x向的流入質(zhì)量、流出質(zhì)量可表示為x向的凈流出質(zhì)量為同樣y和z向的凈流出質(zhì)量和為，故微六面體的凈流出質(zhì)量和為微六面體內(nèi)質(zhì)量為，由于固定，空間坐標(biāo)固定，質(zhì)量的流出必然導(dǎo)致密度的降低，即密度的變化率，因密度的變化而導(dǎo)致的質(zhì)量減少量為，按質(zhì)量守恒定律則有故可得對(duì)于穩(wěn)定流

2、，則有 對(duì)于不可壓縮流體const，則有 在以上諸式中，令，可得二維流連續(xù)方程；令，可得一維流連續(xù)方程，不另述，讀者試列之。特別強(qiáng)調(diào)的是微流束上的管流即是一維流。參看圖3-6，按質(zhì)量守恒定律不難證明：圖 3-6 微流束上的連續(xù)方程(1)時(shí)間內(nèi)微段流束上凈流出質(zhì)量(2)微段流束上的質(zhì)量減少量(3）不計(jì)流體可壓縮性，按質(zhì)量守恒條件， (4)對(duì)于定常流 (5)積分上式 =const(6)對(duì)不可壓縮流體 =const上式是在工程中廣為引用的連續(xù)方程。2 連續(xù)方程的運(yùn)用條件 流體必須是連續(xù)的，中間沒有間隙。 流體必須是不可壓縮的。 流體必須是恒定流，非恒定流不能運(yùn)用。 管道或河渠有分叉時(shí)，流體仍然遵循連

3、續(xù)性原理。3.4 相鄰點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析1 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)類型剛體平移、旋轉(zhuǎn)流體平移、旋轉(zhuǎn)、變形（線變形、角變形）2 相鄰點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何圖形描述 平移速度：ux，uy，uz 線變形速度（指的是單位時(shí)間微團(tuán)相對(duì)線變形量）產(chǎn)生原因：存在各質(zhì)點(diǎn)在連線方向的速度梯度是產(chǎn)生線變形的原因x方向線變形 即x向線變形速度 同理 旋轉(zhuǎn)角速度（角平分線的旋轉(zhuǎn)角速度）逆時(shí)針方向的轉(zhuǎn)角為正順時(shí)針方向的轉(zhuǎn)角為負(fù)微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角度微團(tuán)繞平行于oz軸的旋轉(zhuǎn)角速度 同理 故 角變形速度（直角邊與角平分線夾角的變化速度）存在不在質(zhì)點(diǎn)連線方向的速度梯度是產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)和角變形的原因微團(tuán)的角變形： 微團(tuán)在xoy平面上的角變形速度 同理 3.5 流體質(zhì)點(diǎn)的加速度本節(jié)僅研究流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)加速度而不涉及動(dòng)力。加速度定義為。按Enler描述法，速度。根據(jù)數(shù)學(xué)分析，則增量為同除，則有其中，為在三個(gè)坐標(biāo)方向的分速度。在上式中代入并對(duì)求偏導(dǎo)。按矢量相等原理或依次點(diǎn)乘可得向分速度如下： 或簡記為 ，上式也可寫成矩陣形式：或者 事實(shí)上更容易理解的方法是根據(jù)按分別導(dǎo)出。圖 3-16 流體質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的另一描述法是追蹤流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（跡線）進(jìn)行分析和研究參看圖3-16，設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻位于，經(jīng)過時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到相鄰點(diǎn)其中，。可以設(shè)想流體質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)過程中。經(jīng)過一個(gè)假想狀態(tài)，即，即質(zhì)點(diǎn)從的運(yùn)動(dòng)可以看作相鄰點(diǎn)的等時(shí)運(yùn)動(dòng)和變時(shí)運(yùn)動(dòng)兩部分組成