合情推理學(xué)案（人教A版選修2-2）(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上21合情推理與演繹推理21.1合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理(重點(diǎn)、難點(diǎn))2了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.學(xué)法指導(dǎo)歸納和類比是合情推理常用的思維方法合情推理的結(jié)論不一定正確，但它在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著重要作用.1歸納推理和類比推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比)特征歸納推理是由部分到整體

2、、由個(gè)別到一般的推理類比推理是由特殊到特殊的推理2.合情推理含義歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理我們把它們統(tǒng)稱為合情推理通俗地說(shuō)，合情推理是指“合乎情理”的推理過(guò)程1判斷：(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用()(2)由個(gè)別到一般的推理為歸納推理()答案：(1)×(2)2數(shù)列5,9,17,33，x，中的x等于()A47 B65C63 D128答案：B3下面類比推理中恰當(dāng)?shù)氖?)A“若a·3b·3，則ab”類比推出“若a·0b·0，

3、則ab”B“(ab)cacbc”類比推出“(a·b)cac·bc”C“(ab)cacbc”類比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”類比推出“(ab)nanbn”答案：C4各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an中，a11，a23，a36，a410，猜想數(shù)列an的通項(xiàng)為_答案：an數(shù)、式中的歸納推理(1)由下列各式：1312，132332，13233362請(qǐng)你歸納出一般結(jié)論(2)已知數(shù)列an的第1項(xiàng)a11，且an1(n1,2,3，)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式(鏈接教材P71例1)解(1)由左、右兩邊各項(xiàng)冪的底數(shù)之間的關(guān)系：11，123，1236，123410，可

4、得一般結(jié)論：132333n3(123n)2，即132333n32.(2)當(dāng)n1時(shí)，a11；當(dāng)n2時(shí)，a2；當(dāng)n3時(shí)，a3；當(dāng)n4時(shí)，a4.通過(guò)觀察可得，數(shù)列的前四項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)，由此歸納出an.方法歸納由已知數(shù)、式進(jìn)行歸納推理的方法(1)要注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律(2)要注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論1(2013·高考陜西卷)觀察下列等式：(11)2×1，(21)(22)22×1×3，(31)(32)(33)23×1

5、5;3×5，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_解析：第n個(gè)等式可為：(n1)(n2)(n3)(nn)2n·1·3·5·(2n1)答案：(n1)(n2)(n3)(nn)2n·1·3·5·(2n1)幾何圖形中的歸納推理根據(jù)下圖中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為_解析分別求出前4個(gè)圖形中線段的數(shù)目，并加以歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜想圖形中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29.因?yàn)?223,5233,13243,29253，因此可猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為2813509.答案509方法歸納解決圖形中歸納推理的

6、方法解決與圖形有關(guān)的歸納推理問(wèn)題常從以下兩個(gè)方面著手：(1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系(2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化2在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，凸六邊形有9條對(duì)角線，由此猜想凸n邊形有幾條對(duì)角線？解：凸四邊形有2條對(duì)角線；凸五邊形有5條對(duì)角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對(duì)角線，比凸五邊形多4條；于是猜想凸n邊形比凸n1邊形多n2條對(duì)角線，因此凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為2345(n2)n(n3)(n4，nN*)類比推理及其應(yīng)用(1)若Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則有S2n1

7、(2n1)an，類似地，若Tn是等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積，則有T2n1_.(2) 在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2AC2BC2”拓展到空間(如圖)，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的結(jié)論是_.(鏈接教材P74例3)解析(1)T2n1b1·b2·b3··b2n1b.(2)類比條件：兩邊AB、AC互相垂直側(cè)面ABC、ACD、ADB互相垂直結(jié)論：AB2AC2BC2SSSS.答案(1)b(2)設(shè)三棱錐A­BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則SSSS方法歸納(1

8、)對(duì)于數(shù)列中的類比問(wèn)題，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列是一類重要的類比對(duì)象外，還可以將等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)等進(jìn)行推廣，與其他相關(guān)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行類比(2)平面與空間的類比是一種常見的類比，一般地：平面圖形中的點(diǎn)與空間圖形中的線(線段)相類比；平面圖形中的線與空間圖形中的線或平面相類比；平面圖形中的周長(zhǎng)與空間圖形中的表面積相類比；平面圖形中的面積與空間圖形中的體積相類比；平面中的三角形、正方形與空間中的四面體、正方體相類比；平面中的圓與空間中的球相類比等3類比實(shí)數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)解：(1)兩實(shí)數(shù)相加后，結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)；兩向量相加后，結(jié)果仍是一個(gè)向量(2)從運(yùn)算律的角度考慮

9、，它們都滿足交換律和結(jié)合律即abba，abba.(ab)ca(bc)，(ab)ca(bc)(3)從逆運(yùn)算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，即加法運(yùn)算ax0與ax0都有唯一解，xa與xa.(4)在實(shí)數(shù)加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小，即a0a.在向量加法中，任意向量與零向量相加，既不改變?cè)撓蛄康拇笮?，亦不改變?cè)撓蛄康姆较?，即a0a.易錯(cuò)警示對(duì)歸納推理的特征掌握不準(zhǔn)確致誤對(duì)任意正整數(shù)n，猜想2n與n2的大小關(guān)系是_解析當(dāng)n1時(shí)，2112；當(dāng)n2時(shí)，2222；當(dāng)n3時(shí)，2332；當(dāng)n4時(shí)，2442；當(dāng)n5時(shí)，2552；當(dāng)n6時(shí)，2662，所以可以猜想當(dāng)n3時(shí)，2nn2；當(dāng)nN*，且n3時(shí)，2nn2.答

10、案當(dāng)n3時(shí)，2nn2；當(dāng)nN*，且n3時(shí)，2nn2錯(cuò)因與防范1.解答的易錯(cuò)點(diǎn)是只列舉了n1,2,3時(shí)的情況，直接猜想結(jié)論，從而所得結(jié)論不一定正確2在進(jìn)行歸納推理時(shí)，為避免出現(xiàn)以偏概全的情形，對(duì)于特殊項(xiàng)要多驗(yàn)證幾項(xiàng)，如本例n3驗(yàn)證后，再驗(yàn)證n4，n5，n6，再作猜想，以掌握更多歸納特征，同時(shí)要根據(jù)變化規(guī)律和趨勢(shì)作判斷4在數(shù)列an中，a10，an12an2，則猜想an()A2n2 B2n2C2n11 D2n14解析：選B.因?yàn)閍10212，所以a22a122222，a32a22426232，a42a3212214242，猜想an2n2.故應(yīng)選B.單獨(dú)成冊(cè)學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練1下列說(shuō)法正確的是()A由合情推

11、理得出的結(jié)論一定是正確的B合情推理必須有前提有結(jié)論C合情推理不能猜想D合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤解析：選B.根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提有結(jié)論2下列平面圖形中，與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適的是()A三角形 B梯形C平行四邊形 D矩形答案：C3類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等A BC D解析：選C正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰

12、兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故都對(duì)4觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)等于()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析：選D由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)5觀察下列各式：7249,73343,742 401，則72 015的末兩位數(shù)字為()A01 B43C07 D49解析：選B.因?yàn)?17,7249,73343,742 401,7516 8

13、07,76117 649，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T4.又2 0154×5033，所以72 015的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同，為43.6設(shè)f(x)，x11，xnf(xn1)(n2)，則x2，x3，x4分別為_猜想xn_.解析：x2f(x1)，x3f(x2)，x4f(x3)，xn.答案：，7(2014·晉中高二檢測(cè))在平面上“等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值”，類比猜想在空間中有_解析：根據(jù)平面幾何與立體幾何中的類比規(guī)律，邊類比成面，三角形類比成四面體，所以正三角形類比成正四面體故類比猜想在空間中有：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定

14、值答案：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值8(2014·銀川高二檢測(cè))已知 2， 3， 4，若 6(a，bR)，則ab_.解析：根據(jù)題意，由于2，3， 4，那么可知 6，a6，b6×6135，所以ab41.答案：419已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2·an(n2)，而a11，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an.解：Snn2·an(n2)，a11，S24·a2a1a2，a2.S39a3a1a2a3，a3.S416a4a1a2a3a4，a4.猜想an.10. 如圖所示，在ABC中，ab·cos Cc·cos B，其中a，b

15、，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想解：如圖所示，在四面體P­ABC中，S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小猜想SS1·cos S2·cos S3·cos .高考水平訓(xùn)練1古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)比如：圖(1)圖(2)他們研究過(guò)圖(1)中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289 B1 024

16、C1 225 D1 378解析：選C記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為an，則a11，a2312，a36123，a4101234，可得通項(xiàng)公式為an123n.同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為bnn2.將四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，使得n都為正整數(shù)的只有1 225.2在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為12，則它們的體積比為_解析：兩個(gè)正三角形是相似的三角形，它們的面積之比是相似比的平方同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，它們的體積比為18.答案：183我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了等比數(shù)列，你有沒(méi)有想到是否也有等

17、積數(shù)列呢？(1)類比“等比數(shù)列”，請(qǐng)你給出“等積數(shù)列”的定義(2)若an是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a12，公積為6，試寫出an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式解：(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的乘積是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，其中，這個(gè)常數(shù)叫做公積(2)由于an是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a12，公積為6，所以a23，a32，a43，a52，a63，即an的所有奇數(shù)項(xiàng)都等于2，偶數(shù)項(xiàng)都等于3，因此an的通項(xiàng)公式為an其前n項(xiàng)和公式Sn4(2014·聊城高二檢測(cè))某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)sin213°cos217°sin 13°cos 17°sin215°cos215°sin 15°cos 15°sin218°cos212°sin 18°cos 12°sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解