機(jī)械振動(dòng)學(xué)習(xí)題解答(二)

1、機(jī)械振動(dòng)學(xué)機(jī)械振動(dòng)學(xué)習(xí)題解答（二）習(xí)題解答（二）2013-04-1941 如圖所示，質(zhì)量為 m 的油缸與剛度為k的彈簧相連，通過阻尼系數(shù)為 c 的黏性阻尼器以運(yùn)動(dòng)規(guī)律 y = A sin t的活塞給予激勵(lì)，求油缸運(yùn)動(dòng)的振幅以及它相對于活塞的相位。解：解：設(shè)油缸位移為 x，活塞位移為 y，對油缸建立方程即方程的解為x的振幅而活塞的運(yùn)動(dòng)為所以x相對于y的相位差ycmkxmxc xykx cosmxcxkxcyc At2arctan2ckm222()()c AXkmccos()xXt2arctanckmsin()cos(/ 2)yAtAt相位42 如圖所示，質(zhì)量可忽略的直角剛性桿可繞鉸鏈O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，

2、彈簧一端有簡諧位移擾動(dòng) A cos t 。試導(dǎo)出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：解：設(shè)剛性桿向順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)角，則圖中B點(diǎn)的位移和速度分別為對剛性桿用動(dòng)量矩定理cmkA cos t2sincoscosBBmLmg Lcxk xAtamgaL222cosmLcakamgLakAt由 化簡得微分方程Bxsin,cos1Bsin, cosBBxaaxaa 122tan1rr222cosmLcakamgLakAt222222cosakAtkamgLmLca22221cos(1)(2)akAtkamgLrr2222arctancakamgLmL微分方程穩(wěn)態(tài)響應(yīng)其中或其中2222/()/kag

3、rkamgLmLmLL222()caL m kamgL43 求彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)在庫侖阻尼和簡諧激勵(lì)力 F0 sin t 作用下的振幅。在什么條件下運(yùn)動(dòng)能繼續(xù)？解：解：庫侖阻尼的等效阻尼系數(shù)振幅上式可化簡為要使運(yùn)動(dòng)能繼續(xù)，X不能為虛數(shù)，所以4eNcX02224FXNkmX2222204 NkmXF220224/ FNXkm2204/0FN0 4NF45 帶結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度系統(tǒng)，若剛度和阻尼的作用可用復(fù)數(shù)形式 表示，系統(tǒng)的等效質(zhì)量為 m，求系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的響應(yīng)。解：解：系統(tǒng)的微分方程為設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，代入上式得20ikk e2200imXk eXFiXX e200ii tmxk exF ei

4、txXe2000cos2sin2kmikXF020sin2arctancos2kkm解得()i titxXeX e022200cos2sin2FXkmk所以其中47 彈性支承的車輛沿高低不平的道路運(yùn)行可用圖示單自由度系統(tǒng)模擬。若每經(jīng)過距離為 L 的路程，路面的高低按簡諧規(guī)律變化一次，試求出車輛振幅與運(yùn)行速度 v 之間的關(guān)系，并確定最不利的運(yùn)行速度。解：解：將路面看成簡諧激勵(lì)，其周期 ，則角頻率系統(tǒng)方程為2 vL22sin2/kYvxtLkWv L/TL v穩(wěn)態(tài)響應(yīng)()0Wxk xy振幅22/kYXkWv L系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)為最不利的情況2 2nvkLkvLWW2sinvWxkxkYtL48 圖示

5、系統(tǒng)中，集中質(zhì)量 m = 20 kg，彈簧剛度 k = 3.5 kN/m，阻尼器的黏性阻尼系數(shù)為c = 0.2 kNs/m，凸輪的轉(zhuǎn)速為60r/min，行程為0.01m。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：解：設(shè)凸輪的行程為a，則凸輪的位移可表示為 ，并由題意知：a = 0.01m，周期 = 1s。將x0(t)展開為Fourier級(jí)數(shù)其中所以0000012( )cossin, nnnx taantbnt0( )ax tt0000122d, cosd0,222sindnnaaaat tatnttaabtnttn 0011( )sin2naax tntn00.511.5200.51奇函數(shù)的奇函數(shù)的Fourie

6、r級(jí)數(shù)只有正弦項(xiàng)，偶函數(shù)只有余弦項(xiàng)。級(jí)數(shù)只有正弦項(xiàng)，偶函數(shù)只有余弦項(xiàng)。系統(tǒng)的微分方程為即于是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)0()mxcxkxk xx 0011112sin2nmxcxkxkxkantn022220400arctanarctan2700080ncnnkmnn0222210022221sin/ 21( )22()sin23510.0025700080(400)nnnnntkakax tknkmncnntnnn靜載荷靜載荷多個(gè)簡諧激勵(lì)多個(gè)簡諧激勵(lì)02其中49 一個(gè)彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)從傾斜角為30的光滑斜面下滑。求彈簧從開始接觸擋板到脫開擋板的時(shí)間。解：解：設(shè)彈簧接觸擋板的時(shí)刻為t=0，此后質(zhì)量塊做無阻尼自由振

7、動(dòng)，以彈簧平衡位置為原以彈簧平衡位置為原點(diǎn)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)方程為t=0時(shí)的初速度初始位移（即彈簧自由長度與靜平衡長度的差值）質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為求出運(yùn)動(dòng)規(guī)律后，要求彈簧從開始接觸擋板到脫開擋板的時(shí)間，有兩種辦法。0mxkx00cossinnnnxxxtt02sin30 xgSgS0sin302mgmgxkk mkS/nk m解法二：解法二：將此簡諧運(yùn)動(dòng)寫作式中由圖可見，彈簧從接觸擋板到脫離的時(shí)間為00cossincos()nnnnxxxttAt0004arctanarctannxkSxxmg222222242arctanntTmkSkmg 解法一：解法一：設(shè)彈簧運(yùn)行至最低點(diǎn)時(shí)t = ，則彈簧脫離擋板的

8、時(shí)刻應(yīng)為t = 2。令 ，可得彈簧從接觸擋板到脫離的時(shí)間為 。( )0 x00sincos0nnnxx 14tanmkSkmg2t 20 x055 機(jī)器質(zhì)量為453.4kg，安裝時(shí)使支承彈簧產(chǎn)生的靜變形為5.08mm，若機(jī)器的旋轉(zhuǎn)失衡為0.2308kgm，求：在1200 r/min時(shí)傳給地面的力；在同一速度下的動(dòng)振幅。解：解：旋轉(zhuǎn)失衡的微分方程為振幅其中所以傳給地面的力2sinMxcxkxmet222222/1(1)(2)mekmerXMrrr312005.08 1022.861609.8nMrkg220.23080.58453.4 1rXmmr22233453.4 9.80.58 10507

9、.35.08 10TMgXFXkckXN56 如果題5-5的機(jī)器安裝在質(zhì)量為1136kg的大混凝土基礎(chǔ)上，增加基礎(chǔ)下面彈簧的剛度，使彈簧靜變形為5.08mm，則動(dòng)振幅將是多少？解：解：頻率比振幅312005.08 1022.861609.8rg224220.23081.65 100.165453.4 113611merrXmmmMrr（與上題相同）（與上題相同）（比上題小了）（比上題小了）57 質(zhì)量為113kg的精密儀器通過橡皮襯墊裝在基礎(chǔ)上，基礎(chǔ)受到頻率為20Hz、幅值為15.24cm/s2的加速度激勵(lì)，設(shè)橡皮襯墊有如下參數(shù)：k=2802N/cm，=0.1，問：傳給精密儀器的加速度是多少？解

10、：解：微分方程位移傳遞率式中加速度傳遞率所以mxcxkxcyky22221(2)(1)(2)rXYrr21130.1, 2202.5242802 10mrk22XXXYYY20.208 15.243.18/XXYcm sY59 機(jī)器重2500kN，彈簧剛度k=800kN/m，阻尼比=0.1，干擾力頻率與發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速相等。試問：在多大轉(zhuǎn)速下，傳遞給基礎(chǔ)的力幅大于激振力幅；傳遞力幅為激振力幅20%時(shí)的轉(zhuǎn)速是多大？解：解： 力傳遞率于是故最大轉(zhuǎn)速為力傳遞率于是33800 1022.504rad/s2500 10 /9.8krm22221 (2)1 2(1)(2)TrFrFrr2.504 60=23.9

11、r/min220% 2.57TFrF4.551rad/skrm轉(zhuǎn)速4.55 60=43.5r/min2510 一儀器要與發(fā)動(dòng)機(jī)的頻率從1600到2200r/min范圍實(shí)現(xiàn)振動(dòng)隔離，若要隔離85%，儀器安裝在隔振裝置上時(shí)，隔振裝置的靜變形應(yīng)為多少？解：解：根據(jù)傳遞率與頻率比的關(guān)系曲線，要在r1, r2的頻率區(qū)間內(nèi)使隔振達(dá)到85%，只要在r1時(shí)傳遞率Tr0.15即可。222221212122211 (2)0.15(1)(2)1320 1203123/3 9.82.676m21600/60rnrTrrrrrmgggk 511 懸掛系統(tǒng)的固有頻率為0.5Hz，箱子從0.5m高處落下，求所需的振蕩空間。

12、解：解：設(shè)x為質(zhì)量m的絕對位移，y為箱子的絕對位移，z為質(zhì)量m相對于箱子的位移，當(dāng)箱子做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，微分方程：即此系統(tǒng)受到階躍激勵(lì)，其響應(yīng)為（課本p.110）此運(yùn)動(dòng)一直持續(xù)到箱子落地的時(shí)刻，設(shè)此時(shí)刻為t1，則將t1代入z(t)的表達(dá)式，可得此時(shí)的位移和速度，分別記為12htg()()mxk xyc xymzczkzmymg 2( )1(cossin)1ntddmgz tettk11()()z tz t和箱子落地后，相對速度 瞬間增加了gt1，而相對位移不變，即此后，質(zhì)量m做有阻尼自由振動(dòng)，初始條件即為其響應(yīng)為（課本p.54, 式(3-53)）求此響應(yīng)的最大幅值即為箱子所需的振蕩空間。111

13、()()( )()cossin)ntndddz tz tz tez ttt11()()z tz t和z +11111()= (), ()= ()z tz tz tz tgt兩大通用方法：1 Duhamel積分2 Laplace變換特殊函數(shù)激勵(lì)的響應(yīng)（無阻尼系統(tǒng)）：1 單位脈沖響應(yīng)2 階躍激勵(lì)F(t)=F0的響應(yīng)3 斜坡激勵(lì)F(t)=at的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)瞬態(tài)激勵(lì)下的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)瞬態(tài)激勵(lì)下的響應(yīng)()01( )( )sin()nttddx tfetdm0( )(1 cos)nFx ttk1( )sinnnax tttk( ), ( )mxcxkxf tf t為任意函數(shù)2( )()( ) ( )

14、( )mxcxkxf tmscsk X sL f tF S12( )( ), ( )( )F sX sx tLX smscsk1( )sinnnx ttm解：解：t t0時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)有兩種解法。解法一：將激勵(lì)看成兩個(gè)階躍函數(shù)的疊加，其響應(yīng)分別為411 如圖所示，一彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，從t = 0開始作用一不變的F0力，作用時(shí)間為t0。求系統(tǒng)在t t0兩種情況下的響應(yīng)，并找出t t0時(shí)最大位移與t0/的關(guān)系。如果t0與系統(tǒng)自振周期相比很小，最大位移為多少？請與脈沖響應(yīng)函數(shù)比較。00( )(1 cos), nFx ttttk00120( )(1 cos), ( )1 cos()nnFFx ttx tt

15、tkk 01200( )cos()cos, nnFx txxtttttk0tt( )f t0F=+0t0t0F0F0F于是解法二： t t0時(shí)系統(tǒng)作自由振動(dòng)，初始條件為0000( )(1 cos)nFxx ttk000( )2sinsin22nnFttx ttk0000( )sinnnFxx ttk000000( )cos()sin()cos()cosnnnnnxFx txtttttttk于是為求t t0時(shí)的最大位移，上式可用和差化積公式和差化積公式改寫為2n最大值當(dāng) 時(shí)，t0很小的階躍響應(yīng)與脈沖響應(yīng)類似，但由于階躍激勵(lì)的瞬時(shí)值是有限值，而脈沖激勵(lì)的瞬時(shí)值是無窮大，故二者仍有區(qū)別： t0很小的階躍響應(yīng)最大值趨近于0，而脈沖響應(yīng)不是。0000max2sin2sin2nFtFtxkk0/1tmax0 x412 如圖所示，一單自由度無阻尼彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，受到圖示力的激勵(lì)，用杜哈美積分求系統(tǒng)在t t1兩種情況下的響應(yīng)，并概略圖示之。解：解：t t1時(shí)，系統(tǒng)受到的激勵(lì)可看成兩個(gè)斜坡函數(shù)的疊加101( ), , /f tatttaFt0111( )sin, nnFx tttttkt12101( ), ( )(), /f tatf ta ttaFt 1tt( )f t0F1t0F=+1t1( )f ta