高中數(shù)學計數(shù)原理知識點總結及練習教案-學生

1、明軒教育 您身邊的個性化輔導專家 電話： 教師： 學生： 時間：_ 2016 _年_ _月 日 段 第_ 次課教師學生姓名 上課日期 月 日學科數(shù)學年級高二教材版本人教版類型知識講解： 考題講解：本人課時統(tǒng)計第（ ）課時共（ ）課時學案主題選修2-3第一章計數(shù)原理復習課時數(shù)量第（ ）課時授課時段 教學目標1明確分類和分步計數(shù)原理及應用； 2掌握排列組合概念和計算，以及二項式定理和應用教學重點、難點排列組合及計數(shù)原理的應用。掌握二項式定理和應用。教學過程知識點復習【知識點梳理】計數(shù)原理基本知識點1.分類計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦

2、法中有種不同的方法，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法2.分步計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 3排列的概念：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列4排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示5排列數(shù)公式：（）6階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定7排列數(shù)的另一個計算公式：= .8組合的概念：一般地，從個不同

3、元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合9組合數(shù)的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 個不同元素中取出個元素的組合數(shù)用符號表示10組合數(shù)公式：或11 組合數(shù)的性質1：規(guī)定：；12組合數(shù)的性質2：+ 1二項式定理及其特例：（1），（2）.2二項展開式的通項公式： 3求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性 4二項式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項式系數(shù)，當依次取時，二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和5二項式系數(shù)的性質：（1）對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式

4、系數(shù)相等（）直線是圖象的對稱軸（2）增減性與最大值：當是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當是奇數(shù)時，中間兩項，取得最大值（3）各二項式系數(shù)和：，令，則 特別提醒1. 在運用二項式定理時一定要牢記通項公式，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一面時卻是不相同的，所以我們一定要注意順序問題。另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的（字母）系數(shù)是兩個不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分。2在使用通項公式時，要注意：（1）通項公式是表示第r1項，而不是第r項.（2）展開式中第r+1項的二項式系數(shù)C與第r+1項的系數(shù)不同.（3）通項公式中含有a，b，n，r，T五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求

5、出第五個元素.在有關二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)且rn.排列組合復習鞏固1.分類計數(shù)原理(加法原理)完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法2.分步計數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別 分類計數(shù)原理方法相互獨

6、立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列.練習題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰

7、好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 三.不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端練習題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 四.定序問題倍縮空位插入策略例4. 7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理練習題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少

8、排法？ 五.重排問題求冪策略例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種練習題：1 某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法 六.環(huán)排問題線排策略例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排

9、列共有練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？七.多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 八.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2

10、人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 九.小集團問題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？練習題：.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,幅油畫,幅國畫, 排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 2. 5男生和女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有 種十.元素相同問題隔板策略例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？ 將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可

11、以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為練習題：1 10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？ 2 .求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.練習題：我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?十二.平均分組問題除法策略例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？平均分成的

12、組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復計數(shù)。練習題：1 將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊, 有多少分法？ 3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉 入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_ 十三. 合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練習題：1.

13、從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. 本題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經(jīng)得到正確結果十四.構造模型策略例14. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？一

14、些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決練習題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？ 十五.實際操作窮舉策略例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結果練習題：1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有

15、多少種？2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有 種十六. 分解與合成策略分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結構,用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案 ,每個比較復雜的問題都要用到這種解題策略例16. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除練習:正方體的8個頂點可連成多少對異面直線？十七.化歸策略例17. 25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，

16、通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題 練習題:某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？十八.數(shù)字排序問題查字典策略例18由0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復的比324105大的數(shù)？數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。 練習:用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第71個數(shù)是 十九.樹圖策略例19人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方

17、式有_對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結果練習: 分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中號人不坐號椅（）的不同坐法有多少種？ 二十.復雜分類問題表格策略例20有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標有A、B、C、D、E五個字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法一些復雜的分類選取題,要滿足的條件比較多, 無從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復遺漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿足的條件,能達到好的效果.二十一：住店法策略解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的

18、元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例21.七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有 .排列組合易錯題正誤解析1沒有理解兩個基本原理出錯排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.例1 從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有 種.例2 在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種.（A）          （B）

19、       （C）         （D）2判斷不出是排列還是組合出錯在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例3 有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？ 3重復計算出錯在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復計數(shù)，產(chǎn)生錯誤。例4 5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）（A）480 

20、種         （B）240種       （C）120種         （D）96種例5 某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）種.（A）5040          （B）1260   

21、0;   （C）210         （D）63001，34遺漏計算出錯在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而出錯。13254例6 用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（ ）（A）36個        （B）48個     （C）66個       （D）72個5忽視題設條

22、件出錯在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解.例7 如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答）例8 已知是關于的一元二次方程，其中、，求解集不同的一元二次方程的個數(shù).6未考慮特殊情況出錯在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.例9 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（ ）(A)1024種(B)1023種(C)1536種(D)1535種7題意的理

23、解偏差出錯 例10 現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種.（A）   （B）  （C）   （D）8解題策略的選擇不當出錯例11 高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）.（A）16種 （B）18種 （C）37種 （D）48種排列與組合習題16個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為()A40 B50 C60 D702有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同

24、坐法有()A36種 B48種 C72種 D96種3只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A6個 B9個 C18個 D36個4男女學生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有()A2人或3人 B3人或4人 C3人 D4人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有()A45種 B36種 C28種 D25種6某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能

25、全分在同一個部門，則不同的分配方案共有()A24種 B36種 C38種 D108種7已知集合A5，B1,2，C1,3,4，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為()A33 B34 C35 D368由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是()A72 B96 C108 D1449如果在一周內(周一至周日)安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續(xù)參觀兩天，其余學校均只參觀一天，那么不同的安排方法有()A50種 B60種 C120種 D210種10安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值

26、班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_種(用數(shù)字作答)11今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有_種不同的排法(用數(shù)字作答)12將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務，不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答)13要在如圖所示的花圃中的5個區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有_種不同的種法(用數(shù)字作答)14. 將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中若每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（ ）（A）12種 （B）18種 （C）

27、36種 （D）54種15. 某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有A. 504種 B. 960種 C. 1008種 D. 1108種 16. 由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 17. 在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為（ ）A.10 B.1

28、1 C.12 D.1518. 現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加。甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙丁戌都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是（ ）A152 B.126 C.90 D.5419. 甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學。若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有( )（A）150種 （B）180種 （C）300種 (D)345種 20. 將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同

29、一個班，則不同分法的種數(shù)為（ ） 21. 2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A. 60 B. 48 C. 42 D. 3622. 從10名大學生畢業(yè)生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位為（ ）A 85 B 56 C 49 D 28 23. 3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 24. 12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組（每組4個隊），則3個強隊恰好被分在同一組的概率為（ ）ABCD 25. 甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站