第一講二重積分三重積分ppt課件

1、二重積分、三重積分 、曲線積分、曲面積分的題型和分值分布二重積分三重積分第一類曲線積分第二類曲線積分第一類曲面積分第二類曲面積分總和2019104142019114152019441018200944410222019941320194410182019412143020191215272019441220第九章一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分重 積 分 二、二重積分的性質(zhì)二、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、二重積分的定義與可積性一、二重積分的定義與可積性 三、二重積分的應(yīng)用三、二重積分的應(yīng)用 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二

2、重積分的概念與性質(zhì) 第九章 DyxfVd),(曲頂柱體體積:DyxMd),(平面薄板的質(zhì)量:一定義 假如 在D上可積,),(yxf.dd),(DyxyxfDyxyxfdd),(Dyxyxdd),(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、二重積分的性質(zhì)二、二重積分的性質(zhì)Dyxfkd),(. 1( k 為常數(shù))Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為D 的面積, 那么 ),(2121無公共內(nèi)點DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 特別, 由于)

3、,(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(那么Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(則有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 7.(二重積分的中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),),(D在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點使連續(xù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 8.二重積分的對稱性定理（1如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，f(x,y) 為y的奇偶函數(shù)，那么x10, ( , )( , )2( , )( , )DDf x yyf x y df x y df x

4、 yy關(guān)于 為奇函數(shù)，關(guān)于 為偶函數(shù)(,)(,)Dfxy dfd (2)如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，f(x,y) 為x的奇偶函數(shù)，n(3)輪換對稱性：( ,)(,)xyDDyxfx y dfy x d10, ( , )( , )2( , )( , )DDf x yf x y df x y df x y關(guān)于x為奇函數(shù)，關(guān)于x為偶函數(shù)（4如果積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，那么0,( ,)( , )( ,)2( ,)( ,)( , )DDf x yfy xf x y df x y df x yfy x ，(5)如果積分區(qū)域D關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點對稱的兩部分為12DD和10, ( ,)( , )(

5、, )2( , )( ,)()DDfx yf x yf x y df x y dfx yf x ， y111cos sin(cos sin )DDDxydxdyxydxdyxyxy dxdy(A)2 (B)2 (C)4 (D) 011. 91- -(cos sin )DDxyxy dxdy（ ）設(shè)D是平面上以（1,1）（1,1）（1， 1）為頂點的三角形區(qū)域，D 是 在第一象限的部分，則等于（ ）2222()Dxyab2（94）計算dxdy 2222122222:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz3.(00)正確的是：（ ）12().4Axdvxdv12( ).4Bydvydv12

6、( ).4Czdvzdv12( ).4Dxyzdvxyzdv2215.(05)cos.DIxy d222cos()DIxy d2223cos()DIxyd321( ).A III123().B III213().C III312()D III221cosDIxy d22(,)1Dxyxy 144.(09)1,1cos,maxkkkkkDxyDIyxdxdyI 區(qū)域（x.y）被對角線劃分成四個區(qū)域（k=1,2,3.4）,則22206.(90)yxdx edy交換積分次序01127.(01)( , )ydyf x y dx交換積分次序101108.(95)()0,1()()().xfxfx dxA

7、dxfxfy dy設(shè)在上 連 續(xù) ， 且，求14009.(06)( , )( cos , sin )f x ydf rrrdr設(shè)是連續(xù)函數(shù)，下列積分化為直角坐標(biāo)下的積分為22max,10.(02),( , ) 01,01x yDedxdy Dx yxy 計算2211.(06)1,( , ) 01,01DxydDx yxy計算2222112.(06),( , )1,01DxydxdyDx y xyxxy計算真題研討( ,) 01, 01( ,)DxyDdxdyx yxyxy fx y dxdy13.(11)已 知 f(x,y)具 有 二 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ，且 f(1,y)=f(x,1)=

8、0， f(x,y)=a,D=,計 算 I=例例1. 計算計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如下圖)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (cossin)Dxyxy dxdy()0D1()2cossinDAxydxdy1() 2DCx y d x d y 1()4(cossin)DBxyxy dxdy例2設(shè)D是平面上以1,1),（-1

9、,1）,（-1，-1為頂點的三角形區(qū)域， D1 是D在第一象限的部分，那么*三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二重積分的計算法 第九章 一、利用直角坐標(biāo)計算二重積一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分分bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D為 X 型區(qū)域 那么)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()

10、()(21dcydDyxyxfdd),(那么機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 oxy說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型型區(qū)域區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計算方便,可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD那么 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rr

11、rrf設(shè),)()(:21rD那么Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對對20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 假設(shè) f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd考慮考慮: 下列各圖中域下列各圖中域 D 分別與分別與 x , y 軸相切于原點軸相切于原點,試試答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第三節(jié)一、三重積分的概念 和性質(zhì) 二、三重積分的計算二、三重積分的計算機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

12、 完畢 三重積分 第九章 定義定義. 設(shè)設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10vzyxfd),(稱為體積元素, vd.dddzyx在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如 中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 為 的體積, 記作記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 對稱性的應(yīng)用關(guān)于yoz面對稱，10, ( , , )( , , )2( , , ) , ( , , )f x y zf x y z dvf x y z dv f x y z關(guān)于x為奇函數(shù)關(guān)于x為偶函數(shù)12 若1

13、0z是的部分若 關(guān)于yoz(xoz)平面對稱，也有類似結(jié)論若區(qū)域關(guān)于原點對稱，且f(x,y,z)關(guān)于(x,y,z)是奇函數(shù)，那么( , , )0f x y z dv若被積函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于x,y,z具有輪換對稱性( )( )=( )f x dvf y dvf z dv二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標(biāo)計算三重積分利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后,

14、推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元線密度記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDy

15、xz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為zD以xyz該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd機(jī)動

16、 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 oxyz2. 利用柱坐標(biāo)計算三重積利用柱坐標(biāo)計算三重積分分 ,R),(3zyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱為點M 的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面oz),(zyxM)0 ,(yx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 如下圖, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zzdddzvdddd因而zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.zdddxyzodd機(jī)動 目

17、錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 利用球坐標(biāo)計算三重積利用球坐標(biāo)計算三重積分分 ,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱為點M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,ZOMMoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xyzo如下圖, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表

18、示時方程簡單;2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離.dddsin2rrd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 考研真題研討22221. 97(0yzxyvx（ ）計算I=）d ， 為繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面z=8所圍成的區(qū)域。22222.( , , )1zx y z xyz（ 09） 計 算 I=dxdydz ，22223.()1xzzxyxy（89）計算I=dv， 由與z=所圍區(qū)域.2222222222222224. 03()(),( )()():,:2( )tttDttDttf xyzdvf xydG tf xydf xdxxyztDxytG t（ ）設(shè)f(x)連續(xù)且恒大于零,F(

19、t)=(1).討論F(t)在(0,+ )上的單調(diào)性;(2).證明:當(dāng)t0,F(t) 三重積分的計算更要關(guān)注利用球坐標(biāo)或柱面坐標(biāo)的計算，在第二類曲面積分中，常常利用高斯公式來解決問題，而高斯公式的應(yīng)用很多時候都用球坐標(biāo)或者柱面坐標(biāo)來計算。xyz例例3. 計算三重積分計算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 其中為由例例4. 計算三重積計算三重積分分zyxyxzdd

20、d22xyx2220),0(, 0yaazz所圍解解: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圓柱體.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 o oxyz例例5. 計算三重積計算三重積分分解解: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42rzvdddd原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例

21、例6. 設(shè)設(shè), 1:222zyx計算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用對稱性利用對稱性原式 = 122ddyxyx0奇函數(shù)222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 zoxy2例例7. 設(shè)設(shè)由錐面由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計算.d)(2vzyxI提示提示:4利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第三節(jié)一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動慣量四、物體的轉(zhuǎn)動慣量 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 重積分的應(yīng)用 第九章 一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域 的立體的體積為zyxVddd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二.曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,)