第一節(jié)向量及其線性運算8-1ppt課件

1、數(shù)量關系數(shù)量關系 第八章第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中在三維空間中: :空間形式空間形式 點點, , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標法坐標法; 向量法向量法坐標坐標, , 方程組）方程組）空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù) 第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運算向量及其線性運算教學內容教學內容 1 向量的概念與向量的線性運算向量的概念與向量的線性運算; 2 空間直角坐標系空間直角坐標系; 3 利用坐標作向量的線性運算利用坐標作向量的線性運算; 4 向量的模，方向角，投影向量的模，方向角，投影;本節(jié)考研要求本節(jié)考研要求

2、1 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示; 2 掌握向量的線性運算，理解單位向量，方向角與掌握向量的線性運算，理解單位向量，方向角與方向余弦，向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進方向余弦，向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算方法行向量運算方法. 向量矢量）：向量矢量）： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .有有向向線線段段. 1M2M a21MM模長為模長為1 1的向量。的向量。零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小單位向量：單位向量：一、向量的概念一、向量的

3、概念或或或或黑黑體體（印印刷刷體體） 或或 字字母母上上面面添添加加箭箭頭頭 （手手寫寫體體） 向量的記法：向量的記法：（方向任意）。（方向任意）。向量的表示：向量的表示：規(guī)定規(guī)定: 零向量與任何向量平行零向量與任何向量平行 ;若向量若向量 a 與與 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 則稱則稱 a 與與 b 相等相等,記作記作 ab ;若向量若向量 a 與與 b 方向相同或相反方向相同或相反,則稱則稱 a 與與 b 平行平行, ab ;與與 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量稱為但方向相反的向量稱為 a 的負向量的負向量,記作記作因平行向量可平移到同一直線上因平行向量可平移到同一

4、直線上, 故兩向量平行又稱故兩向量平行又稱 兩向量共線兩向量共線 .假設假設 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此則稱此 k 個向量共面?zhèn)€向量共面 .記作記作a ;二、向量的線性運算二、向量的線性運算1. 向量的加法向量的加法三角形法則三角形法則:平行四邊形法則平行四邊形法則:運算規(guī)律運算規(guī)律 : 交換律交換律結合律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加三角形法則可推廣到多個向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的減法向量的減法三角不

5、等式三角不等式ab)( ab有時特別當,ab aa)( aababaabababa0baba* *例例1 1 試證：任一個三角形的三條中線向量可以構試證：任一個三角形的三條中線向量可以構成一個三角形。成一個三角形。證證 . FED ABC （如如圖圖所所示示）、的的三三條條邊邊的的中中點點依依次次為為設設 ABCDEF DC AEBC21AB BFCA21BC BFEACD BCBAAC)CACBBA(21 , 0 . ABC 三三角角形形的的三三條條中中線線可可構構成成一一個個 . 證畢證畢BA21CA aa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù)是一個數(shù) ,.a規(guī)定規(guī)定 :時，0，同向

6、與aa,0時,0時.0a;aa;1aa可見;1aa;aa 與與 a 的乘積是一個新向量的乘積是一個新向量, 記作記作，反向與aa總之總之:運算律運算律 : 結合律結合律)(a)(aa分配律分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因而aaa 定理定理1. 設設 a 為非零向量為非零向量 , 那那么么( 為唯一實數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的唯一性 .那么,0故.即abab設 abba取正號, 反向時取負號, a , b 同向時那么 b 與 a 同向,設又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而“ ”那么,0 時當例例1. 設設 M 為為MBACD解解:A

7、BCD 對角線的交點,0 時當ba,0 時當,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMDxyz三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系. 坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 o ,o 坐標面 卦限(八個)面xoy面yozzox面面1. 空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念xyzo向徑在直角坐標系下 11坐標軸上的點 P, Q , R ;坐

8、標面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標 :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB( ,0, )C xz(稱為點 M 的坐標)原點 O(0,0,0) ;rrM坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2. 向量的坐標表示向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點 M , ),(zyxM那么沿三個坐標軸方向的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標為此式稱為向量 r 的坐標分解式

9、,rkzjyix稱為向量,r任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC向徑向徑OM有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11),(zyxM xyzo稱為稱為(x, y, z)向徑向徑OM的坐標的坐標,點點M 11點點M的坐標。的坐標。xyzxyzo向量向量AB的坐標的坐標 =向徑向徑OM的坐標的坐標A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)M(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)=AB的終點坐標的終點坐標(x2,y2,z2)- -起點坐標起點坐標(x1,y1,z1)(x1,y1,z1)=(x2 - x1, y2 - y1, z2 -

10、z1),(zyxM xyzoijk以以kji,分分 別別 表表 示示沿沿 x、y、z 軸軸正正向向的的單單位位向向量量（標標準準基基向向量量） ), 0 , 0(zD)0 , 0 ,(xA)0 ,(yxB)0 , 0(yC，、對對 ),(),(22221111zyxMzyxM OMMM21kzzjyyixx)()()(121212 按基本單位向量的分解式按基本單位向量的分解式.),(1111zyxM),(2222zyxM BMABOAkzj yi x ODOCOA四、利用坐標作向量線性運算四、利用坐標作向量線性運算),( zyxaaaa 設設),(zyxbbbb )()(kbjbibkajai

11、abazyxzyx ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa 即即),(zzyyxxbababa kbajbaibazzyyxx)()()( ).,(),(),(zzyyxxzyxzyxbabababbbaaa ，時時）由由（ 0 a 定定理理1 1ba/ab ),(zyxbbb),(zyxaaa .zzyyxxababab ab,0 時當aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab即：即： 平行向量對應坐標成比平行向量對應坐標成比例例:例例2. 求解以向量為未知元的線性方程組ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32)1

12、0, 1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(例例3. 已知兩點已知兩點在AB直線上求一點 M , 使解解: 設設 M 的坐標的坐標為為, ),(zyx如下圖ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實數(shù), 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM )(OMOBOMOBOA(說明說明: 由由得定比分點公式:,121xx,121yy121zz,1時當點 M 為 AB 的中點 , 于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點公式

13、中點公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx),(zyxr 設則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxA因AB得兩點間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對兩點與, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA例例4. 求證以求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM

14、2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點例例5. 在在 z 軸上求與兩軸上求與兩點點)7, 1 ,4(A等距解解: 設該點為設該點為, ),0,0(zM,BMAM因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點為及)2,5,3(B. ),0,0(914M考慮考慮: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?離的點 . 提示提示:(1) 設動點為, )0,(yxM利用

15、,BMAM得,028814 yx(2) 設動點為, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6. 已知兩點已知兩點)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABAoyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設有兩非零向量 ,ba任取空間一點 O ,aOA作,bOBOAB稱 =AOB (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標軸的夾角 , , rr稱為其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦. 記作),(baoyzxrco

16、srx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質:的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos例例7. 已知兩點已知兩點)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例例8. 設點設點 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 知知角依次為,43求點 A 的坐標 . ,43那么222coscos1cos41因點 A 在第一卦限 ,故,cos21于是(6,21,

17、22)21)3,23,3(故點 A 的坐標為 . )3,23,3(向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且OAOAAO例例 6 6 求求與與kjia676 平平行行的的單單位位向向量量的的分分解解式式. 所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向。同向，一個反向。a222)6(76| a,11 ae ,116117116kji 或或ae .116117116kji |aa 解解(1)空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u MM3、向量在軸上的投影與投影定理、向量在軸上的投影與投影定理(2) 空間向量空間向量(向徑向徑)在軸上的投影在軸上的投影uMMOe過點作u軸,O

18、Mr 給定的垂直平面交u軸于,M則向量OM稱為向量r在u軸上的分向量設,OMe 則數(shù)稱為向量r在u軸上的投影,記為Pr.uj r由此定義,向量a在Oxyz坐標系中的坐標,xyza a a就是a在三坐標軸上的投影,即Pr,xxaj aPr,yyaj aPr.zzaj a注注 空間向量在軸上的投影空間向量在軸上的投影uAA BB ABjuPr.BA 關于向量的投影定理關于向量的投影定理(1)(1)ABjuPr cos|AB 證證uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u ABAB 定理定理1 1的說明：的說明：,20)1( 投影為正；投影為正；,2)2( 投影為負；投影為負；,2)3( 投影為零；投影為零；uabc(4) (4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等；關于向量的投影定理關于向量的投影定理(2)(2).PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a投影的性