高中數(shù)學(xué)經(jīng)典50題(附答案)

1、高中數(shù)學(xué)題庫(kù)1. 求下列函數(shù)的值域:2-sinxi.(1»=：；(加二匚口營(yíng)十 mt2+sin x4解法 1F= 1 十：,'/ IWsiru 工 1, :' 1W7 + sinxW3,2十51n汗9W'一W4,. LwyW%即的薇的值域?yàn)榧阂?2 + sin 齊33解法z 由原能 得£e亞22卜皿I買(mǎi)L /. I組/降1,即 1 十*1+y田一/)|碼1+尸1.此不等式等汩4(一丁下委(1+7*解之，工解法1;。州9=1-fin% 二了=一$皿1+5mx+1 =一0皿一!y+工3431119,.' 1 筆3H 冠 L /一 乏 51nx/一

2、，/. 0 壺(anr應(yīng)一* 22 224<-2)+2起了笑j即函數(shù)的值域?yàn)?1,-.9444解法 2 令 t =sin x,則 f(t) =- t2+t + 1, . |sin x| <1,，| 11 w 1.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的二次函數(shù)f(t)在閉區(qū)間1,1上的最值.1/拋物線y中力的對(duì)稱(chēng)軸坨=Lull注又拋物線開(kāi)口向e 故，皿=屋)=2.224比較負(fù)一 19五1)的大小，得公=-1.1JELL -.4本例題(2)解法2通過(guò)換元，將求三角函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的，這就是轉(zhuǎn)換的思想.善于從不同角度去觀察問(wèn)題，溝通數(shù)學(xué)各學(xué)科之間的內(nèi)

3、在聯(lián)系，是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵， 轉(zhuǎn)換的目的是將數(shù)學(xué)問(wèn)題由陌生化熟悉，由復(fù)雜化簡(jiǎn)單，一句話：由難化易.可見(jiàn)化歸是轉(zhuǎn)換的目的，而轉(zhuǎn)換是實(shí)現(xiàn)化歸段手段。2.設(shè)有一顆慧星沿一橢圓軌道繞地球運(yùn)行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此慧星離4地球相距m萬(wàn)千米和2 m萬(wàn)千米時(shí)，經(jīng)過(guò)地球和慧星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角分別為3和一，求該慧星與地球的最近距離。2322解：建立如下圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)地球位于焦點(diǎn)F( c,0)處，橢圓的方程為 三 七 1a b(圖見(jiàn)教材P132頁(yè)例1)。當(dāng)過(guò)地球和彗星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角為能滿足 xFA (或xFA/3-)。作 AB時(shí)，由橢圓的幾何意義可知，彗星3一一 1.2Ox于B,則

4、 FB - FA m213故由橢圓第二定義可知得2c am(c)a c2 c a 一(一 a c2m) 31 兩式相減得- m32c m. a3-m, a a 312c.代入弟一式得m - (4c c)2 c cm.3 ，2 一，答：彗星與地球白最近距離為 £m萬(wàn)千米。3說(shuō)明：(1)在天體運(yùn)行中，彗星繞恒星運(yùn)行的軌道一般都是橢圓，而恒星正是它的一個(gè)焦點(diǎn)，該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 一個(gè)是近地點(diǎn)，另一個(gè)則是遠(yuǎn)地點(diǎn)， 這兩點(diǎn)到恒星的距離一個(gè)是 a c, 另一個(gè)是a c.(2)以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。另外，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的解決在數(shù)學(xué)

5、化的過(guò)程中也要時(shí)刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識(shí)地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)。3. A, B, C是我方三個(gè)炮兵陣地， A在B正東6Km , C在B正北偏西30，相距4 Km ,P為敵炮陣地，某時(shí)刻 A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于 B, C兩地比A距P地遠(yuǎn)， 因此4s后，B, C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1Km/s, A若炮擊P地，求炮擊的方位角。(圖見(jiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)教師用書(shū) P249例2)解：如圖，以直線BA 為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，則 B( 3,0), A(3,0),C( 5,2 J3),因?yàn)镻B PC ,所以點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上。因?yàn)?kBCJ3,BC中點(diǎn)D

6、( 4,6),所以直線PD的方程為y J3 J(x 4)(1)3又PB PA 4,故P在以A, B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上。設(shè)P(x,y),則雙曲線方程為所以21(x 0)5(2)。聯(lián)立(1) (2),得 x 8, yP(8,5 J3).因此 kPA5 3 可3 ,故炮擊的方位角北偏東8 330 。說(shuō)明：本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，另外還要求學(xué)生掌握方位角的基本概念。4.河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬度為 8米，一小船寬4米，高212 / 48米，載貨后船露出水面的部分高0.75米，問(wèn)水面上漲到與拋物線拱頂距多少時(shí)，小船開(kāi)始不能通行？解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拱橋型拋物線方程為x2

7、2 py (p 0)。將B (4,-5)代入得 P=1.6x23.2y船兩側(cè)與拋物線接觸時(shí)不能通過(guò)則 A(2,yA),由 22=-3.2 yA 得 yA = - 1.25因?yàn)榇冻鏊娴牟糠指?.75米所以 h= I yA | +0.75=2 米答：水面上漲到與拋物線拱頂距2米時(shí)，小船開(kāi)始不能通行思維點(diǎn)拔注意點(diǎn)與曲線的關(guān)系的正確應(yīng)用和用建立拋物線方程解決實(shí)際問(wèn)題的技巧。5.如圖所示，直線li和12相交于點(diǎn)M, li I2,點(diǎn)N 1/以A、B為端點(diǎn)的曲線段 C上任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等。若 AMN為銳角三角形，AM <17, AN 3,且NB =6 ,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段

8、C的方程。解：以直線1i為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由條件可知，曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中 點(diǎn)。設(shè)曲線段C的方程為y2 2px(p 0)(xA x xB,y橫坐標(biāo)，p MN|,所以 M( -,0), N(-p,0),由 AM(Xa 鏟 2pxA17p 2(Xa 當(dāng)2pXA 94 p 2 或p ，因?yàn)?Xa 241由點(diǎn)B在曲線段C上，得xB2y 8x(1 x 4, y 0)解得Xa以p(1)(2), (1) (2)聯(lián)立解得XaAMN為銳角三角形，所以A、B分別為曲線段C的端0),其中XA,XB為 A、B的v17, AN 3,得4 一 ，、一一

9、,代入(1)式，并由p 0pp 2衛(wèi) xA,故舍去，所2Xa 2BN f4,綜上，曲線段C的方程為思維點(diǎn)拔本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路，考查了定義法，待定系數(shù)法求曲線方程的步驟,綜合考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。6.設(shè)拋物線y2 4ax (a 0)的焦點(diǎn)為A,以B(a+4,0)點(diǎn)為圓心，I AB |為半徑，在 x軸上方畫(huà)半圓，設(shè)拋物線與半圓相交與不同的兩點(diǎn)M, N。點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)。(1)求 | AM | + | AN | 的值(2)是否存在實(shí)數(shù)a,恰使| AM | | AP | | AN |成等差數(shù)列？若存在，求出 a,不存在， 說(shuō)明理由。解：(1)設(shè)M,N,P在拋物線準(zhǔn)線上白寸影分別為

10、M' ,N' ,P'.I AM I + I AN | = | MM '| + | NN '| =xm+xn+2a又圓方程x (a 4)2 y2 16將 y2 4ax代入得 x2 2(4 a)x a2 8a 0xm xn 2 4a 得 I AM I + I AN | =8(2)假設(shè)存在a因?yàn)?I AM | + | AN | = | MM ' | + | NN ' | =2 | PP' |27.拋物線y所以| AP | = | PP' |, P點(diǎn)在拋物線上，這與 P點(diǎn)是MN的中點(diǎn)矛盾。故a不存在。2 Pxp 0上有兩動(dòng)點(diǎn)A ,

11、 B及一個(gè)定點(diǎn)M, F為焦點(diǎn)，若AF , MF , BF(1)成等差數(shù)列求證線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn) Q(2)若MF4, OQ 6 (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求拋物線的方程。(3)對(duì)于(2)中的拋物線，求 AQB面積的最大值。A Xi, y1 , B X2, y2 , M Xo , yo ,則AFXiBFX2MFy1pXo ,由題意得Xo2XiX2一 )AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為Xo, ty22kAByXiMF0 (否則AFy2X2XoMFy y2122-y1 y22p，即 t X XoBF0),4, OQ 6,得 x02Py1 y2衛(wèi)，故AB typ 0,可知其過(guò)定點(diǎn) Q xop,04,x0 P 6 ,

12、聯(lián)立解得 p 4, Xo28x。AB :代入 y2 一 _2_ 2_8x 得 y 2ty 2t 16 0 ,yi2y2yi2 y24y1y2264 4t22 t2x1x2162y1 y2i16 t2AB22.x1x2y1y21 256 t42又點(diǎn) Q 6,0 到AB距離 d,16t2，S AQB 2ABd41256t4 16t21244096 256t2 16t44t6令 u 4096 256t2 16t43u 512t 64t6t5512t 64t3 6t5 0 ,得 t0或t2t21633664S AQB = 6 6。9思維點(diǎn)拔設(shè)而不求法和韋達(dá)定律法是解決圓錐曲線中的兩大基本方法，必須熟練

13、掌握，對(duì) 定點(diǎn)問(wèn)題和最值的處理也可由此細(xì)細(xì)的品味。8、已知直線l:y tan(x 22)交橢圓x2 9y29于A、B兩點(diǎn)，若(1AB的長(zhǎng)不小于短軸的長(zhǎng)，求將1的方程9tan2 )x2 36.2 tan的取值范圍。x 72tan2方程聯(lián)立AB V1 tan2X2X1.1 tan2v2(1 9tan )6 tan21 9 tan2由 AB 2,得 tan2、3tan 3的取值范圍是0,6思維點(diǎn)拔對(duì)于弦長(zhǎng)公式一定要能熟練掌握、靈活運(yùn)用民。本題由于l的方程由tan給出,所以可以認(rèn)定否則涉及弦長(zhǎng)計(jì)算時(shí)，還要討論2一時(shí)的情況。29、已知拋物線y2 x與直線y k(x 1)相交于A、B兩點(diǎn)(1)(2)(1)

14、(2)求證：OA OB當(dāng) OAB的面積等于v10時(shí)，求k的值。2證明：圖見(jiàn)教材P127頁(yè)，由方程組 yy設(shè)A(x yi), B(X2, y2),由韋達(dá)定理得2y1x1,2y22x2, y12y2x x2kOAkOBy1x1解:設(shè)直線與y2X2x軸交于y1x1N,y2OABS OAN S OBNOABk(xyy2y1 y21)1,又顯然k 0,令y-ON|y12 1 (y1 y2)2消去x后，整理得kyOAA, B在拋物線y2 x 上,OB0,則x 1,即N1,1,2ON|y2#N|y124y1y24(-1,0)y2OABJ10, Tic 1，4 4,解得 k 即 m2-k 2-9<02

15、. k26思維點(diǎn)拔本題考查了兩直線垂直的充要條件，三角形的面積公式，函數(shù)與方程的思想，以 及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。10、在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線 y=kx+3對(duì)稱(chēng)，求k的取值范圍。0Po設(shè) B C關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱(chēng)，直線BC方程為x=-ky+m代入y2=4x得:y2+4ky-4m=0,設(shè) B (x1, y。、C (x2v2BC中點(diǎn) M (x°, y°),則y0= (y+y2)/2=-2k 。 x0=2k2+nrj丁點(diǎn) M (x。，y。)在直線上。-2k (2k2+n)+3,_ 3_2k 2k 3. m=2k 2k又BC與拋物線交于不 k2k3同兩點(diǎn)，/

16、=16k +16m>0把m代入化間得 一_2_2k 3 。即(k 1)(k k 3) 0kk解得-1<k<0思維點(diǎn)拔對(duì)稱(chēng)問(wèn)題要充分利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)特點(diǎn)。11、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1 (0,-2叵),對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 y=-9逅，且離心率e滿足:42/3 , e, 4/3成等比數(shù)列。(1) 求橢圓方程；1 一(2) 是否存在直線l ,使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M N,且線段MN恰被直線x二-一平 2分。若存在，求l的傾斜角的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。-2.2R解依題意e= * 設(shè) M (xi, yi)、N(X23(1)-c= 92- -2 72=出，又 e=22a =3, c=

17、2 <2 , b=1,又 Fi ( 0, -2 22 ),c 4439 2對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=- 9-。，橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為: 42匕=1 9(2)假設(shè)存在直線,依題意l交橢圓所得弦MN x=-平分，直線l的斜率存在。設(shè)2直線l ： y kxkx m消去V,整理得2匕=19(k29)x2 2kmxm2 9=0直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn) MNI '.力=4k2ni-4(k2+9)(m2-9)>0y2).xi x22kmk2k2 92k把代入可解得:.3或 k，直線l傾斜角思維點(diǎn)拔傾斜角的范圍，實(shí)際上是求斜率的范圍。3x y 6 012、設(shè)x, y滿足約束條件 x y

18、2 0,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by (a>0, b>0)的值是最大x 0, y 0值為12,則一9的最小值為()a ba. 25 6B.C.11D. 4答案：A解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線ax+by= z （a>0, b>0）過(guò)直線 x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4,6）時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z=ax+by （a>0, b>0）取得最大12,23 ,23、2a3b 13,ba、13。25身、生即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,叩_ =（_） -（_）一2故選a b a b 66 a b 66A.點(diǎn)評(píng)：本題綜合地考查了線性規(guī)劃

19、問(wèn)題和由基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題.要求能準(zhǔn)確地畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值，對(duì)于形如已知2a+3b=6,求a b最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答.13、本公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來(lái)的收益分別為0. 3萬(wàn)元和0. 2萬(wàn)元.問(wèn)該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是 萬(wàn)元.答案：70解析：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總

20、收益為zx y< 300,元，由題意得 500x 200y < 90000, x > 0, y > 0.目標(biāo)函數(shù)為z 3000x 2000y.x y 0 300,二元一次不等式組等價(jià)于5x 2y 0 900,x > 0, y > 0.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.如圖：作直線 l:3000x 2000y 0 ,即 3x 2y 0 .平移直線，從圖中可知， 當(dāng)直線過(guò)M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值. x y 300聯(lián)立 y解得x 100, y 200 . 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200).5x 2y 900.zmax 3000x 2000y 7000

21、00 (元).點(diǎn)評(píng)：本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，需要通過(guò)審題理解題意， 找出各量之間的關(guān)系,找出線性約束條件，寫(xiě)出所研究的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合解答問(wèn)題.用線性規(guī)劃的方法解 決實(shí)際問(wèn)題能提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，隨著課改的深入，這類(lèi)試題應(yīng)該是高考的熱點(diǎn)題型之一.14、設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x) 2x2 (x a) | x a |.(i)若f(0) 1,求a的取值范圍；設(shè)函數(shù) h(x) f (x),x (a,(2)求f (x)的最小值;)，直胃寫(xiě)出(不需給出演算步驟)不等式h(x) 1的解集.a 0解析：(1)若 f (0) 1,則 a |a| 12 a 1 ；a 1(2)當(dāng) x

22、a 時(shí)，f (x)-2-23x 2ax a , f(x)minf(a),a 0吟a 032a2,a2a2,a28 / 48當(dāng) x a時(shí)，f (x) x2 2ax a2, f(x)minf( a),a 0 2a2,a 0f (a), a 02a2,a 02a2,a 0綜上 f (x)min2a2；,a 03(3) x (a,)時(shí)，h(x) 1 得3x2 2ax a2 1 0,2_2_ 24a 12(a1) 12 8a當(dāng) a 或a 時(shí)， 0, x (a,)；當(dāng)當(dāng)a咚時(shí)，得：(xy”" x a0.一 ,、2 、6a 3 2a23討論G當(dāng)a膏,學(xué)時(shí)，解集為(a,)；a 3 2a2時(shí)，解集為(

23、a,3當(dāng)a :當(dāng)時(shí)，解集為個(gè)亙，I點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查 靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力.132_15、知函數(shù) f (x) x x 2.3(I)設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn,其中ai3.若點(diǎn)(an,a212a01) (ncn*)在函數(shù)y f (x)的圖象上，求證：點(diǎn)(n,Sn)也在y f (x)的圖象上；(n)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a 1,a)內(nèi)的極值.解析：(l)證明： 因?yàn)?f(x) 1x3 x2 2,所以 f'(x) x2 2x, 32'22由點(diǎn)(an,an 1 2an

24、 1)(n N )在函數(shù) y f(x)的圖象上，an1 2an 1 an 2an(an 1 an)(an 1 an) 2(an an 1), 又an 0(n N ) ,所以an1 an 2, an是a1 3,d 2的等差數(shù)列，所以 Sn 3n n(n 1) 2=n2 2n,又因?yàn)?f'(n) n2 2n,所以 Sn f (n), 2 '故點(diǎn)(n,Sn)也在函數(shù)y f (x)的圖象上.(n )B： f (x) x2 2x x(x 2),令 f (x) 0,得 x 0或x2 .當(dāng)x變化時(shí)，f (x)、f (x)的變化情況如下表x(-00 ,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x

25、)極大值注意到(a 1) a1 2,從而2當(dāng)a 12 a,即 2 a1時(shí),f(x)的極大值為f( 2)2,此時(shí)f(x)無(wú)極小3值；當(dāng)a 1 0 a,即0 a 1時(shí),f(x)的極小值為f (0)2 ,此時(shí)f (x)無(wú)極大值；當(dāng)a2或1 a 0或a 1時(shí),f (x)既無(wú)極大值又無(wú)極小值.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識(shí)，考查分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.16、設(shè)a 0,b 0.若73是3a與3b的等比中項(xiàng)，則 n 1* (n)設(shè) 0 c -,證明：an 1 (3c) ,n N ； 12222(出)設(shè) 0 c 一，證明：a a2 L an n 1

26、 , n N31 3c 1的最小值為()a b1A. 8B. 4C. 1D.-4答案：B解析：因?yàn)?a 3b 3 ,所以ac c b ab2 2j4,當(dāng)且僅當(dāng)一a bab 1, 1 1 (a b)(11)2 2 月a ba b a ba即a b 1時(shí)“=”成立，故選擇B.點(diǎn)評(píng)：本小題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化,以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通b2能力.17、設(shè)數(shù)列 an滿足a。0, an1ca3 1 c,c N*,其中c為實(shí)數(shù).解析:(1)必要性:0,：a2 1 c ,又a2 0,1, ：0 1 c 1 ,即， 、 、一II. * .、.(I)證明：an0,1對(duì)任意n N成立的充分必要條件

27、是 c 0,1；c 0,1 、i-/-.*充分性設(shè)c 0,1,對(duì)n N用數(shù)學(xué)歸納法證明an 0,1當(dāng) n 1時(shí)，為 0 0,1 .假設(shè) ak 0,1(k 1)i r33貝U akcak 1 c c 1 c 1,且 akcak 1 c 1 c 0*. ak i 0,1,由數(shù)學(xué)歸納法知 an 0,1對(duì)所有n N成立.1，(2)設(shè)0 c ,當(dāng)n 1時(shí)，ai0,結(jié)論成立.3當(dāng) n 2 時(shí)，:anca31 1 c,：1anc(1an1)(1an1a21)_1,八八 /2-,八- 0 C ，由(1)知 an1 0,1,所以 1 an 1 an 13 且 1 an 1031 an3c(1 an 1)_2_

28、n1一 n11 an3c(1 an 1)(3c) (1 an 2) L (3c) (1 a) (3c) n 1*. an 1 (3c) (n N )1.02設(shè)0 c 一，當(dāng)n 1時(shí)，a12 0 2 ,結(jié)論成立，31 3c當(dāng) n 2 時(shí)，由(2)知 an 1 (3c)n 1 02n 1、2n 12(n 1)n 1 an (1 (3c) )1 2(3c)(3c)1 2(3c)22222_2_ n1 . a2 a2 L a2a2 L a2 n 1 23c (3c)2 L (3c) n 1 2(1幽門(mén)n1 3c21 3c點(diǎn)評(píng)：該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、充分必要條件和數(shù)學(xué)歸納法等

29、，具有較高的難度，對(duì)邏輯推理能力的考查要求較高.18、將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（）I111A . -B . -C . -D .-91215IS解析：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有6M個(gè)，其中為等差數(shù)列有三類(lèi)：（1）公差為0的有6個(gè)；（2）公差為1或-1的有8個(gè)；（3）公差為2或-2的有4個(gè), 共有18個(gè)，成等差數(shù)列的概率為 與二3 ,選B.612點(diǎn)評(píng)：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開(kāi)生面，有采取分類(lèi)討論，分類(lèi)時(shí)要做到不遺漏，不重復(fù).19、等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別用Sn和Tn表示, 若 Sn4n ，則 an 的值為（Tn 3n 5bna

30、4n 2B8n3C6n 3D6n23n16n28n 28n3答案：a解析：S2n 1(2n 1)亙a2n21(2n 1)an；T2n1(2n 1)bn»anS2n 14(2n 1) 8n 4 4n 2bnT2n 13(2n 1) 5 6n 2 3n 1點(diǎn)評(píng)：考查等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和的變形。20、已知x>0, y>0, x, a, b, y成等差數(shù)列，x, c, d, y成等比數(shù)列，則 包芋）-的最小 Cd值是.答案：4解析：（a3=3：J2JM=4.cd xy xy點(diǎn)評(píng)：考查等差等比數(shù)列的基本知識(shí)，均值不等式。21、命題p：實(shí)數(shù)x滿足x2 4ax 3a2 0 ,其中a 0

31、 ,命題q :實(shí)數(shù)x滿足x2 x 6 0或x2 2x 8 0,且 p是 q的必要不充分條件，求 a的取值范圍.解析：設(shè) a x|x2 4ax 3a2 0(a 0) x|3a x a , 2-_r、2_2,2_B x | xx 60或x2x 80x | x x60x | x 2x 8 0x | 2x 3x | x4或x2 =x|x4或x2因?yàn)?p是 q的必要不充分條件，所以 q p,且 p推不出 q而 CrBx| 4x 2,CrAx | x3a,或xa所以x | 4 x2 ? x|x 3a或x a,則3a 2或a 4a 0 a 02即2 a 0或a 4.3點(diǎn)評(píng)：考查邏輯用語(yǔ)，一元二次方程及其含參

32、數(shù)的解集。22、已知二次函數(shù) f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為 a ,且不等式 f(x) 2x的解集為(1 , 3).(1)若方程f(x) 6a 0有兩個(gè)相等的根，求 f(x)的解析式;2x a(x 1)(x 3)且 a 0.(2)若f (x)的最大值為正數(shù)，求 a的取值范圍.解析：(1)因?yàn)閒(x) 2x 0的解集為(1, 3),所以f(x)因而 f(x) a(x 1)(x 3) 2x ax2 (2 4a)x 3a(1)由方程 f (x) 6a 0 得：ax2 (2 4a)x 9a 0(2)因?yàn)榉匠?2)有兩個(gè)相等的根.所以 (2 4a)2 4a 9a 0 ,即 5a2 4a 1 0.1解得：a 1

33、(舍去)或a 1,5將a 1代入(1)得f(x)的解析式為：f(x) 1 x2- x-,5555221 2a、2 a 4a 1 f(x) ax 2(1 2a)x 3a a(x ),aa有a < 0,可得f (x)的最大值為2a 4a 1a2a 4a 1所以 > 0 ,且a < 0.解得：a 2 J3或 2 73 a 0,故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,2 T3)U( 2 73,0).點(diǎn)評(píng)：含參數(shù)的未知一元二次方程，求函數(shù)表達(dá)式以及參數(shù)的取值范圍。計(jì)算量比較大，且 要求對(duì)一元二次函數(shù)的知識(shí)熟練。23、已知數(shù)列 an中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn 1 4an

34、2(n 1,2,L),a1 1,設(shè)數(shù)列bnan 1 2an(n 1,2,),求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；a設(shè)數(shù)列Cn-n-,(n 1,2,),求證：數(shù)列Cn是等差數(shù)列；2求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。分析：由于b n和c n中的項(xiàng)都和an中的項(xiàng)有關(guān)，a n 中又有Sn1=4an+2,可由Sn 2-Sn 1作切入點(diǎn)探索解題的途徑斛：(1)由 S n 1 =4a n 2 , S n 2 =4a n 1 +2 ,兩式相減，得 S n 2 -S n 1 =4(a n 1 -a n ),即 an 2=4an 1-4an .(根據(jù)bn的構(gòu)造，如何把該式表示成bn 1與bn的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變

35、形能力的訓(xùn)練 )an 2 -2a n 1=2(a n 1 -2a n ),又 b n =a n 1-2a n，所以 b n 1 =2b n已知 S2=4a1+2, a1=1, a1 +a2 =4a1 +2,解得 a2 =5, b1 =a2 -2a1 =3由和得，數(shù)列bn是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，故bn=3-2n1.0因?yàn)?=知正班所以小公=舞-募=氏舍=: L£ Z£Z3 ""3=2 血=H .又巧=B ，故數(shù)列CJ是百項(xiàng)為:，公差是:的等差數(shù)列， 31因?yàn)椤岸?、?二支；所以費(fèi)=苫-；、/ =(丸-1)* 2門(mén)3當(dāng) n>2 時(shí)，Sn =4

36、a n 1+2=2 n 1 (3n-4)+2 ;當(dāng) n=1 時(shí)，SI二a1=1 也適合上式.綜上可知，所求白求和公式為Sn =2 n 1(3n-4)+2 .說(shuō)明：1.本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列 通項(xiàng)與前n項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件Sn 1 4an 2得出遞推公式。2.解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后 面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用.24、設(shè)實(shí)數(shù)a 0,數(shù)列an是首項(xiàng)為a,公比為a的等比數(shù)列，記*、bn an1g |an | (n N ), Sn “ b?f ,求證：當(dāng)a 1時(shí)，對(duì)任意自然數(shù) n都有Sn= aa! 1

37、 ( 1)n1(1 n na)an (1 a)3n 2 n 1n 2 nn 1 n 1+得(1 a)s a a a ( 1) a ( 1) a ( 1) na n 1 n 1Qa 1, (1 a)S ()a ( 1)n 1n an 1解：an a1qn 1 a( a)n 1( 1)n 1 an obnan lg I anI ( 1)n1anlg 1( 1)n1anl (1)n1nanlg|a|Snalg | a |2a2lg |a|3a1 (1 a) lg lai (1)n 2(n 1)an1lg|a|( 1)n1nanlg|a|a 2a2 3a3( 1)n 2(n 1)an 1( 1)n 1

38、nanlg | a |23n 2n 1n1n 記 S a 2a 3a ( 1) (n 1)a( 1) na 23n 3n 1n 2nn 1 n 1as a 2a ( 1) (n 2)a( 1) (n 1)a( 1) na n 1 n 1n 1n 1a ( 1) a (1 a) ( 1) n a(1 a)2a (1 n na) ( 1)n1an1 a1 (1 n na)( 1)n 1 an22(1 a)2(1 a)2s 當(dāng)1 (1尸(1 n na)an說(shuō)明：本例主要復(fù)習(xí)利用錯(cuò)位相減解決差比數(shù)列的求和問(wèn)題。關(guān)鍵是先研究通項(xiàng)，確定Cn an bn，an是等差數(shù)列，bn等比數(shù)列。a4 =16.25、設(shè)

39、正數(shù)數(shù)列a n 為一等比數(shù)列，且 32=4,求！,工電+1 +坨而上二-9 -戶(hù)口 一 3口解設(shè)數(shù)列%的公比為顯然/3包由于%>0, aaE N,故q = 2.于是為二立二2一故二藥* q1M=因此 q坨。+H-片.+1g 2+ig2-(n+1)45 + 2) +42口=空182f 3r 十口 (3i?+口)¥3原式= lim 2 ' 12 =Lg2 ' hm 3=司坨2Q-前 2nI 3s 2Ir2n , -Tn說(shuō)明：這是2000年全國(guó)高考上海試題，涉及對(duì)數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等 比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)計(jì)算，求數(shù)列極限等基

40、礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.26、(2004年北京春季高考 20)下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”47()()()a1 j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差數(shù)列，aj表示位于第i行第j列的數(shù)。(I)寫(xiě)出a45的值；(II)寫(xiě)出aj的計(jì)算公式；(III )證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是 1的正整數(shù)之積。分析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問(wèn)題 和解決問(wèn)題的能力。解：(I) a45 4 9aij4 3( j第二行是首項(xiàng)為 a2

41、j 7 5( j(II)該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4,公差為3的等差數(shù)列：1)7,公差為5的等差數(shù)列:1)第i行是首項(xiàng)為4 3(i 1),公差為2i 1的等差數(shù)列，因此aij 4 3(i 1) (2i 1)(j 1)2ij i ji(2j1)j(III )必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù) i, j使得N i(2j 1) j從而 2N 1 2ij(21) 2j 1(21)(2j 1)即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個(gè)不是 1的正整數(shù)之積。充分性：若2N+1可以分解成兩個(gè)不是 1的正整數(shù)之積，由于 2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k, 1,使得2N 1 (2k)(21

42、 1),從而 N k(21 1) 1 ak1可見(jiàn)N在該等差數(shù)陣中。綜上所述，正整數(shù) N在該等差數(shù)陣中白充要條件是 2N+1可以分解成兩個(gè)不是 1的正整數(shù)之 積。27、已知點(diǎn)的序列4 (%，0),理曰R ,其中工1=0,邑="9 >, A是線錢(qián)AA的中點(diǎn),A4是線段A2A的中點(diǎn)，An是線段4與4T的中點(diǎn)，。(I )寫(xiě)出/與/-1、工才-。之間的關(guān)系式(融>3)(II )設(shè)1修"五+1 一'"計(jì)算皂1 , % , 外 ,由此推測(cè)數(shù)列4 的通項(xiàng)公式，并加以證明r _十勺T(I )解：當(dāng)n>3時(shí)，2(II )解：121由此推測(cè)工X十五-1八 7,

43、） A. = X證法一：因?yàn)槔濉慷? ,且21%.1)（22）所以證法二：（用數(shù)學(xué)歸納法證明：）(i )當(dāng)時(shí),（ii ）假設(shè)當(dāng)建二化時(shí)，公式成立，即那么當(dāng)建二上+ 1時(shí),根據(jù)（i ）與（ii ）可知，對(duì)任意五院1 +方此1 /、“七*1 =工g2 _元川= 2_工比制=_萬(wàn)（4嗣一工1）r 1、陽(yáng)戶(hù)11 al ,J 式仍成立。評(píng)注：本小題主要考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、等比數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力28、（94年全國(guó)理）設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為Sn,并且對(duì)所有自然數(shù) n, an與2 的等差中項(xiàng)等于 Sn與2的等比中項(xiàng).（1）寫(xiě)出數(shù)列 an的前三項(xiàng);（2）求數(shù)列 an的通項(xiàng)

44、公式（寫(xiě)出推證過(guò)程）；(3)令 bn=，an+l 1.an art+l j(n£N),求：bi+匕+ b-n.% + 2解：（1）由題意 &=J】an>0ftj + 2令n=1時(shí)， =a1 Si=ai解得ai=2的十2§令n=2時(shí)有="工=ai+& 解得a2=6令 n=3 時(shí)有 2=)況3 S3=a1+a2+a3 解得 a3=10故該數(shù)列的前三項(xiàng)為2、6、10.（2）解法:由（1）猜想數(shù)列 an有通項(xiàng)公式an=4n-2,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 an=4n-2( nc N)1°當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?X1 -2 =2,又在

45、（1）中已求得a1=2,所以上述結(jié)論正確2°假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論正確，即有ak=4k-2由題意有工'跖得ak=4k-2,代入上式得2k=或醛，解彳S S<=2k2由題意有 =Sk+1=&+ak+1得&=2k2代入得2、/ =2(ak+1+2k)整理 a2k+1-4 ak+1+4-16k 2=0由于 ak+1>0,解得： &+1=2+4k所以 ak+i=2+4k=4(k+1)-2這就是說(shuō)n=k+1時(shí)，上述結(jié)論成立.根據(jù)1。，2。上述結(jié)論對(duì)所有自然數(shù)n成立.解法二：由題意有,% + 2r-=:；-1(n N) 整理得 &=宮(an+2)2

46、由此得 Sn+1= X ( an+1+2)所以 an+1 = Sn+1-S n = ( an+1 +2) -( An+2)整理得(an+1+an)( an+1- an-4) = 0 由題息知 an+1 +an0,所以 an + 1- an=4即數(shù)列 an為等差數(shù)列，其中a1=2,公差 d=4,所以 an=a1+ ( n-1) d=2+4( n-1)即通項(xiàng)公式an=4n-2.(3)令 Cn=b-1,11+則 Cn= - 'Nt! + 1-2n-l2計(jì)1b1+b2+ b- n=c+C2+ Cn說(shuō)明：該題的解題思路是從所給條件出發(fā)，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后再對(duì)歸

47、納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.對(duì)于含自然數(shù) n的命題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，該題著重考查了歸納、概括和數(shù)學(xué)變換的能力29、(江蘇18)如圖，在平面直角坐標(biāo)系22xoy中,MiO點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C,連接AC,并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) B,設(shè)直線PA的斜率為k(1)當(dāng)直線PA平分線段MN ,求k的值；(2)當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d;(3)對(duì)任意k>0,求證：PAXPB直線的垂直關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離16分.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，滿分解：(1)由題設(shè)知，

48、a2,b三,故“(2,0),N(0,衣，所以線段mN中點(diǎn)的坐標(biāo)為由于直線PA平分線段MN ,故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以,221(2)直線ypa的方程2x代入橢圓方程得2y21,解得2.2 49 因此 Pq,0A(2,-)3 3嗚0),直線AC的斜率為1,故直線AB的方程為x3 0.因此,d 133|12(3)解法一:將直線PA的方程kx代入則 P( , k),A(k),于是C(.0)1,解得x22k2故直線AB的斜率為其方程為X解得于是直線因此k1 k解法二:y 2（x工代入橢圓方程得（2 k2）x2 2 k(3k 22)或x因此B(2 k2(3k2 2) k32

49、k2,2 k2)PB的斜率2_2-(3k2)0,ki1,所以PAk32 k2 kZ2Z-(3k2)2 k232k k(2 k )Z2Z""2-3k2 (2 k )PB.設(shè) P（X1,y1），B（X2, y2）,則X10,X2 0,X1X2,A( X1, y1),C(X1,0)設(shè)直線PB, AB的斜率分別為k2k1, k2因?yàn)镃在直線AB上，所以0 (y1)X1( X1)y k2x12從而k1k 1 2k1k2yiX2X1V2( y1)1X2( X1)222y2 2y；22X2 X1(X22 2y2)2X22X1因此k1 k1,所以PAPB.30、（安徽理21)設(shè)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1）,點(diǎn)B在拋物線y X上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q滿足BQ QA,經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)與M x軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)P滿足QM MP求點(diǎn)P的軌跡方程